Lehr- und Arbeitsbuch für Studierende ingenieur-, wirtschafts- und naturwissenschaftlicher sowie informations- und kommunikationstechnischer Fachrichtungen.
Vorlesungen zur Linearen Algebra gehören zu den Pflichtveranstaltungen der mathematischen Grundausbildung von allen Studenten der ingenieurwissenschaftlichen, wirtschaftswissenschaftlichen, naturwissenschaftlichen sowie informations- und kommunikationstechnischen Fachrichtungen an Hochschulen und Universitäten.
Das Arbeits- und Übungsbuch zur Linearen Algebra in der Reihe Mathematik-Studienhilfen gibt eine knappe, konzentrierte Darstellung der wesentlichen Begriffe, Ergebnisse und Methoden und stellt das Einüben und Trainieren dieser anhand zahlreicher Beispiele mit vollständigen Lösungen in den Mittelpunkt. Das Buch eignet sich daher insbesondere zum Selbststudium und zur Prüfungsvorbereitung.
Im vorliegenden Band reichen die Themen von Vektoren, Matrizen, analytischer Geometrie, linearen Gleichungssystemen und linearen Abbildungen bis zu Eigenwerten und Eigenvektoren.
/ AUS DEM INHALT: / / /
1 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen 9
1.1 Lineare Gleichungssysteme 9
1.2 Matrizen 12
1.3 Elementare Umformungen und Zeilenstufenformen 13
1.4 Das Gauß- und Gauß-Jordan-Verfahren 16
1.5 Mehr über Matrizen 23
1.6 Rechnen mit Matrizen 26
1.7 Die Matrixform eines linearen Gleichungssystems 39
1.8 Lösen quadratischer Systeme durch Matrixinvertierung 40
1.9 Potenzen von Matrizen 43
1.10 Weitere Bemerkungen und Hinweise 44
2 Vektoren in der Ebene und im Raum 48
2.1 Geometrische Vektoren 48
2.2 Arithmetische Vektoren 52
2.3 Die Länge von Vektoren 59
2.4 Das Skalarprodukt 61
2.5 Orthogonale Projektionsvektoren 68
2.6 Die Komponentenform eines Vektors 71
2.7 Das Kreuzprodukt 72
2.8 Weitere Bemerkungen und Hinweise 77
3 Geometrische Modelle in der Ebene und im Raum 80
3.1 Darstellungen von Geraden 80
3.2 Darstellungen von Ebenen 85
3.3 Parameterdarstellungen als Funktionen, Bewegungen 90
3.4 Weitere Bemerkungen und Hinweise 91
4 Reelle Vektorräume und Unterräume 93
4.1 Die Vektorraum-Definition 93
4.2 Der Vektorraum Rn 95
4.3 Weitere Beispiele von reellen Vektorräumen 97
4.4 Untervektorräume 98
4.5 Der Nullraum und homogene lineare Gleichungssysteme 101
4.6 Linearkombinationen, lineare Hülle 102
4.7 Die vier Fundamentalräume einer Matrix 106
4.8 Der Spaltenraum und lineare Gleichungssysteme 107
4.9 Lineare Unabhängigkeit und Abhängigkeit 108
4.10 Basis und Dimension . 110
4.11 Die Struktur der Lösungsmenge von Ax = b 114
4.12 Lineare Gleichungssysteme, Zeilen- und Spaltenbild 117
4.13 Basen für die vier Fundamentalräume 118
4.14 Die Dimensionen der vier Fundamentalräume 123
4.15 Summe und direkte Summe von zwei Unterräumen 126
4.16 Weitere Bemerkungen und Hinweise 128
5 Lineare Abbildungen von Mn nach 132
5.1 Definition und Beispiele 132
5.2 Darstellung von linearen Abbildungen durch Matrizen 135
5.3 Weitere Beispiele 137
5.4 Weitere Bemerkungen und Hinweise 140
6 Der Euklidische Vektorraum Rn 142
6.1 Orthogonal- und Orthonormalbasen 145
6.2 Summe und Orthogonalität der vier Fundamentalräume 151
6.3 Weitere Bemerkungen und Hinweise 156
7 Determinanten 158
7.1 Die Determinante einer (2,2)-Matrix 158
7.2 Verallgemeinerung auf (n, n)-Matrizen 160
7.3 Determinanten und lineare Gleichungssysteme 164
7.4 Weitere Bemerkungen und Hinweise 168
8 Eigenwerte und Eigenvektoren 170
8.1 Eigenräume und Basen von Eigenvektoren 175
8.2 Diagonalisierung einer Matrix 177
8.3 Orthogonale Matrizen 182
8.4 Diagonalisierung mit orthogonalen Matrizen 185
8.5 Weitere Bemerkungen und Hinweise 188
Musterlösungen der Aufgaben 191
Literaturverzeichnis 203
Sachwortverzeichnis 204