Die Topologie beschäftigt sich mit den qualitativen Eigenschaften geometrischer Objekte. Ihr Begriffsapparat ist so mächtig, dass kaum eine mathematische Struktur nicht mit Gewinn topologisiert wurde.
Dieses Buch versteht sich als Brücke von den einführenden Vorlesungen der Analysis und Linearen Algebra zu den fortgeschrittenen Vorlesungen der Algebraischen und Geometrischen Topologie. Es eignet sich besonders für Studierende in einem Bachelor- oder Masterstudiengang der Mathematik, kann aber auch zum Selbststudium für mathematisch interessierte Naturwissenschaftler dienen.
Die Autoren legen besonderen Wert auf eine moderne Sprache, welche die vorgestellten Ideen vereinheitlicht und damit erleichtert. Definitionen werden stets mit vielen Beispielen unterlegt und neue Konzepte werden mit zahlreichen Bildern illustriert. Über 170 Übungsaufgaben (mit Lösungen zu ausgewählten Aufgaben auf der Website zum Buch) helfen, die vermittelten Inhalte einzuüben und zu vertiefen. Viele Abschnitte werden ergänzt durch kurze Einblicke in weiterführende Themen, die einen Ausgangspunkt für Studienarbeiten oder Seminarthemen bieten.
Neben dem üblichen Stoff zur mengentheoretischen Topologie, der Theorie der Fundamentalgruppen und der Überlagerungen werden auch Bündel, Garben und simpliziale Methoden angesprochen, welche heute zu den Grundbegriffen der Geometrie und Topologie gehören.
/ AUS DEM INHALT: / / /
1 Grundbegriffe der Topologie 1
1.1 Metrische Räume 1
1.2 Topologische Räume 7
1.3 Abgeschlossene Teilmengen 11
1.4 Die Kategoriensprache 14
2 Universelle Konstruktionen 19
2.1 Teilräume 19
2.2 Produkte 23
2.3 Summen 27
2.4 Identifizierungen und Quotienten 30
3 Zusammenhang und Trennung 41
3.1 Zusammenhang 41
3.2 Trennung und stetige Fortsetzbarkeit 46
4 Kompaktheit und Abbildungsräume 55
4.1 Kompaktheit 55
4.2 Eigentliche Abbildungen 63
4.3 Der Satz von Tychonoff 67
4.4 Abbildungsräume 70
4.5 Lokal kompakt erzeugte Räume 76
5 Transformationsgruppen 83
5.1 Grundbegriffe der äquivarianten Topologie 83
5.2 Homogene Räume 88
5.3 Eigentliche Operationen 94
6 Wege und Schleifen '99
6.1 Wegeräume und Schleifenräume 99
6.2 Der Wegekomponentenfunktor 103
6.3 Der HomotopiebegrifF 108
6.4 Selbstabbildungen des Kreises 114
7 Die Fundamentalgruppe 123
7.1 Das Fundamentalgruppoid 123
7.2 Der Satz von Seifert und van Kämpen 132
7.3 Flächen 143
8 Überlagerungen 151
8.1 Die Kategorie der Überlagerungen 151
8.2 Der Hochhebungssatz 158
8.3 Fasertransport 162
8.4 Der Klassifikationssatz 166
8.5 Topologische Galois-Theorie 170
9 Bündel und Faserungen 181
9.1 Faserbündel 181
9.2 Prinzipalbündel 187
9.3 Prinzipalbündel mit diskreter Strukturgruppe 191
9.4 Vektorraumbündel 195
9.5 Faserungen 197
10 Garben 205
10.1 Prägarben und Garben 205
10.2 Halme und Etalräume 208
10.3 Garbifizierung und Pullbacks 212
11 Simpliziale Mengen 217
11.1 Simpliziale Objekte und Morphismen 217
11.2 Singulare Simplizes und Realisierungen 222
11.3 Ausblicke 230
Literatur 237
Sachverzeichnis 239
Verfasser*innenangabe:
Gerd Laures ; Markus Szymik
Jahr:
2015
Verlag:
Berlin [u.a.], Springer Spektrum
Aufsätze:
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Systematik:
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ISBN:
978-3-662-45952-2
2. ISBN:
3-662-45952-3
Beschreibung:
2., überarb. Aufl., XIV, 242 S. : Ill., graph. Darst.
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Fußnote:
Literaturverz. S. 237 - 238.
Mediengruppe:
Buch