/ AUS DEM INHALT: / / /
Vorwort 5
Aus dem Vorwort zur ersten Auflage 11
ERSTER TEIL
Elemente der Logik. Deduktive Methode
I. Über den Gebrauch der Variablen
1. Konstanten und Variablen 17
2. Ausdrücke, die Variablen enthalten: Satz- und Bezeichnungsfunktionen 18
3. Aufstellung von mathematischen Lehrsätzen mit Hilfe von Variablen. Generelle und existenzielle Sätze 21
4. Der Allquantor und der Existenzquantor; freie und gebundene Variablen 23
5. Die Bedeutung der Variablen für die Mathematik 26
Übungsaufgaben 27
II. Über den Aussagenkalkül
6. Logische Konstanten; die alte und die neue Logik 31
7. Der Aussagenkalkül; die Negation eines Satzes, die Konjunktion und die Disjunktion von Sätzen 32
8. Die Implikation oder der Bedingungssatz; die Implikation in materialer Bedeutung 36
9. Der Gebrauch der Implikation in der Mathematik 41
10. Die Äquivalenz von Sätzen 45
11. Die Formulierung von Definitionen und ihre Regeln 46
12. Lehrsätze des Aussagenkalküls 49
13. Symbolik des Aussagenkalküls; Wahrheitsfunktionen und Wahrheitstafeln 51
14. Anwendung von Lehrsätzen des Aussagenkalküls in mathematischen Beweisen 57
15. Schlußregeln, vollständige Beweise 59
Übungsaufgaben 61
III. Über die Theorie der Identität
16. Logische Begriffe außerhalb des Aussagenkalküls; Begriff der Identität 66
17. Wichtigste Lehrsätze aus der Theorie der Identität 67
18. Identität von Dingen und Identität ihrer Bezeichnungen; der Gebrauch von Anführungsstrichen 69
19. Die Gleichheit in der Arithmetik und Geometrie und ihre Beziehung zu der logischen Identität 72
20. Numerische Quantoren 74
Übungsaufgaben 76
IV. Über die Klassentheorie
21. Mengen und ihre Elemente 79
22. Mengen und Satzfunktionen einer freien Variablen 80
23. Die AUklasse und die Nullklasse 83
24. Grundbeziehungen zwischen Mengen 84
25. Operationen mit Mengen 87
26. Gleichmächtige Mengen, Anzahl der Elemente einer Menge, endliche und unendliche Mengen; Arithmetik als Teil der Logik 89
Übungsaufgaben 92
V. Über die Relationstheorie
27. Beziehungen, ihre Bereiche und Gegenbereiche; Beziehungen und Satzfunktionen mit zwei freien Variablen 97
28. Der Relationskalkül 99
29. Einige Eigenschaften von Relationen 103
30. Beziehungen, die zugleich reflexiv, symmetrisch und transitiv sind 104
31. Ordnungsbeziehungen; Beispiele anderer Beziehungen 106
32. Eindeutige Beziehungen oder Funktionen 108
33. Umkehrbare Funktionen und eineindeutige Zuordnungen. 112
34. Mehrgliedrige Beziehungen; Funktionen von mehreren Variablen und Operationen 114
35. Die Bedeutung der Logik für andere Wissenschaften 117
Übungsaufgaben 118
VI. Über die deduktive Methode
36. Fundamentale Bestandteile einer deduktiven Theorie: Grundbegriffe und definierte Begriffe, Axiome und Theoreme 126
37. Modell und Interpretation einer deduktiven Theorie 129
38. Deduktionsgesetz; formaler Charakter deduktiver Wissenschaften 134
39. Wahl der Axiome und Grundbegriffe; ihre Unabhängigkeit. 139
40. Formalisierung von Definitionen und Beweisen, formalisierte deduktive Theorien 141
41. Widerspruchsfreiheit und Vollständigkeit einer deduktiven Theorie; das Entscheidungsproblem 143
42. Der erweiterte Begriff einer Methodologie der deduktiven Wissenschaften 147
Übungsaufgaben 149
ZWEITER TEIL
Anwendungen der Logik und der Methodologie beim Aufbau mathematischer Theorien
VII. Aufbau einer mathematischen Theorie: Sätze über die Anordnung von Zahlen
43. Grundbegriffe der aufzubauenden Theorie; Axiome für die Grundbeziehungen zwischen Zahlen 162
44. Sätze der Irreflexivität für die Grundbeziehungen; indirekte Beweise 164
45. Weitere Sätze über die Grundbeziehungen 166
46. Andere Beziehungen zwischen Zahlen 169
Übungsaufgaben 172
VIII. Aufbau einer mathematischen Theorie: Sätze über Addition und Subtraktion
47. Axiome für die Addition; allgemeine Eigenschaften von Operationen, Begriffe der Gruppe und der Abelschen Gruppe 175
48. Kommutative und assoziative Gesetze für eine größere Anzahl von Summanden 177
49. Monotoniegesetze der Addition und ihre Umkehrungen. 178
50. Geschlossene Systeme von Sätzen 183
51. Folgerungen aus den Sätzen der Monotonie 184
52. Definition der Subtraktion; inverse Operationen 187
53. Definitionen, deren Definiendum das Gleichheitszeichen enthält 188
54. Theoreme über die Subtraktion 190
Übungsaufgaben 192
IX. Methodologische Betrachtungen über die aufgestellte Theorie
55. Elimination überflüssiger Axiome aus dem ursprünglichen Axiomensystem 198
56. Unabhängigkeit der Axiome des vereinfachten Systems 201
57. Elimination überflüssiger Grundbegriffe und Vereinfachung des Axiomensystems; Begriff der geordneten Abelsehen Gruppe 203
58. Weitere Vereinfachung des Axiomensystems; mögliche Umformungen des Systems der Grundbegriffe 206
59. Das Problem der Widerspruchsfreiheit der aufgestellten Theorie 210
60. Das Problem der Vollständigkeit der aufgestellten Theorie . . 211
Übungsaufgaben 213
X. Erweiterung der aufgebauten Theorie - Grundlagen der Arithmetik der reellen Zahlen
61. Erstes Axiomensystem für die Arithmetik der reellen Zahlen 219
62. Nähere Charakterisierung des ersten Axiomensystems; methodologische Vorteile und didaktische Nachteile desselben 220
63. Zweites Axiomensystem für die Arithmetik der rellen Zahlen 223
64. Nähere Charakterisierung des zweiten Axiomensystems; der Begriff des Körpers und des geordneten Körpers 224
65. Äquivalenz der beiden Axiomensysteme; methodologische Nachteile und didaktische Vorteile des zweiten Systems 226
Übungsaufgaben 227
Literaturhinweise 232
Personen- und Sachverzeichnis 276