Dieses Buch dient als Brücke zwischen Schul- und Hochschulmathematik. Zum einen hilft es Schülerinnen und Schülern sowie Studienanfängern, grundlegende Rechenfertigkeiten zu erwerben, die man bei jedem naturwissenschaftlich-technischen Studiengang beherrschen muss, wie z.B. (Un)Gleichungen lösen, Grenzwerte bestimmen oder Integrale knacken. Hat man sich diese Fertigkeiten bereits vor Studienbeginn angeeignet, so ist der Sprung ins kalte Uni-Wasser deutlich weniger erschreckend. Andererseits eröffnet dieser Text auch freundlich geschriebene Einblicke in die Schönheit der reinen Mathematik: Wir lernen logisch zu argumentieren und Beweise zu führen, erfreuen uns am Körper der komplexen Zahlen, beginnen uns in Vektorräumen wohl zu fühlen und machen erste rigorose Bekanntschaften mit dem Unendlichen. Aufgrund der vielen Beispiele zusammen mit den zahlreichen Aufgaben inklusive ausführlichen Lösungen eignet sich dieses Buch sowohl zum Selbststudium wie auch als Unterrichtstext für Lehrerinnen und Lehrer, die hier viel nützliches Material zur Vertiefung des Unterrichts finden.
/ AUS DEM INHALT: / / /
I Formales Fundament 1
1 Ein wenig Logik 3
1.1 Aussagenlogik 3
1.1.1 Aussagen 3
1.1.2 Junktoren 5
1.1.3 "nicht" 6
1.1.4 "und" 7
1.1.5 "(entweder) oder" 7
1.1.6 "wenn ..., dann ..." 7
1.1.7 "... genau dann, wenn ..." 8
1.1.8 Aussagenlogische Formeln 9
1.1.9 Aussagenlogische Äquivalenz 10
1.2 Ausblick auf die Prädikatenlogik 14
1.2.1 Prädikate und Individuen 14
1.2.2 Der AlLquantor 15
1.2.3 Der Existenzquantor 16
2 Beweismethoden 19
2.1 Exkurs: Grundwissen über Zahlen 19
2.2 Direkter Beweis 21
2.3 Indirekter Beweis 25
2.3.1 Kontraposition 25
2.3.2 Widerspruchsbeweis 27
2.4 Beweis durch vollständige Induktion 30
3 Mengen und Abbildungen 37
3.1 Mengen 37
3.1.1 Der Mengenbegriff 37
3.1.2 Teilmengen und Mengenoperationen 39
3.2 Abbildungen 44
3.2.1 Der Abbildungsbegriff 45
3.2.2 Bild- und Urbildmenge 46
3.2.3 In-, Sur- und Bijektivität 48
3.2.4 Verkettung und Umkehrabbildung 50
3.2.5 Mächtigkeitsvergleiche unendlicher Mengen 54
II Anfänge der Analysis 59
4 Grenzwerte von Folgen und Reihen 61
4.1 Folgen 61
4.1.1 Der Grenzwertbegriff 61
4.1.2 Die Grenzwertsätze 69
4.1.3 Exkurs: Die Vollständigkeit von R 72
4.1.4 Ausblick: Cauchyfolgen 74
4.1.5 Monotone Folgen 75
4.1.6 Rekursive Folgen 77
4.2 Reihen 83
4.2.1 Reihen als spezielle Folgen 83
4.2.2 Die geometrische Reihe 86
4.2.3 Die eulersche Zahl 91
4.2.4 Konvergenzkriterien für Reihen 94
4.2.5 Ausblick: Potenzreihen 98
4.2.6 Ausblick: e-Funktion und natürlicher Logarithmus 101
5 Grundwissen Differenzialrechnung 105
5.1 Die Ableitung 105
5.1.1 Die Steigung einer Kurve 105
5.1.2 Der Grenzwert der Sekantensteigungen 107
5.1.3 Die Tangentengleichung 111
5.1.4 Lineare Approximation 113
5.1.5 Differenzierbarkeit 114
5.2 Ableitungsregeln 120
5.2.1 Faktor- und Summenregel 120
5.2.2 Die Potenzregel 121
5.2.3 Die Ableitung von Sinus und Cosinus 122
5.2.4 Die Produktregel 125
5.2.5 Die Kettenregel 127
5.2.6 Ableitung der Umkehrfunktion 131
5.2.7 Die Quotientenregel 134
5.2.8 Vermischte Übungen 135
5.3 Ausblick: Ableiten von Potenzreihen 136
5.4 Ausblick: Taylorreihen 137
6 Grundwissen Integralrechnung 143
6.1 Stammfunktionen 143
6.2 Das bestimmte Integral 147
6.2.1 Die Streifenmethode 147
6.2.2 Das Darboux-Integral 152
6.2.3 Das Riemann-Integral 156
6.2.4 Integral und Fläche 161
6.3 Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung 163
6.4 Uneigentliche Integrale 168
III Rechenfertigkeiten 171
7 Lösen von (Un)Gleichungen 173
7.1 Polynom(un)gleichungen 173
7.1.1 Lineare und quadratische Gleichungen 173
7.1.2 Gleichungen höheren Grades 174
7.1.3 Polynomungleichungen 177
7.2 Bruch(un)gleichungen 181
7.2.1 Bruchgleichungen 181
7.2.2 Bruchungleichungen 182
7.3 Wurzel(un)gleichungen 186
7.3.1 Wurzelgleichungen 186
7.3.2 Wurzelungleichungen 187
7.4 Betrags(un)gleichungen 188
7.4.1 Betragsgleichungen und Betragsfunktionen 188
7.4.2 Betragsungleichungen 192
7.5 Exponential(un)gleichungen 193
7.5.1 Exponentialgleichungen 193
7.5.2 Exponentialungleichungen 196
8 Die Kunst des Integrierens 198
8.1 Produktintegration 198
8.2 Integration durch Substitution 203
8.2.1 Die Substitutionsregel 203
8.2.2 Trigonometrische Substitution 206
8.2.3 Hyperbolische Substitution 214
8.3 Integration durch Partialbruchzerlegung 217
8.4 Vermischte Übungen 221
IV Abstrakte Algebra 223
9 Komplexe Zahlen 225
9.1 Überblick über die bekannten Zahlbereiche 225
9.2 Einführung der komplexen Zahlen C 226
9.2.1 Konstruktion von C 226
9.2.2 Rechnen mit komplexen Zahlen 230
9.2.3 Komplexe Konjugation und Betrag 233
9.3 Der Körper der komplexen Zahlen 236
9.3.1 Was ist ein Körper? 236
9.3.2 Unmöglichkeit der Anordnung von C 241
9.3.3 Ausblick: Der Quaternionenschiefkörper 242
9.4 Polarform komplexer Zahlen 245
9.4.1 Polarkoordinaten 245
9.4.2 Eulers Identität 246
9.4.3 Multiplikation in Polarform 248
9.4.4 Komplexe Quadratwurzeln 249
9.4.5 Exkurs: Beweis trigonometrischer Identitäten 254
9.5 Algebraische Gleichungen in C 255
9.5.1 Quadratische Gleichungen 255
9.5.2 Die Kreisteilungsgleichung 257
9.5.3 Ausblick: Der Fundamentalsatz der Algebra 260
10 Grundzüge der Linearen Algebra 263
10.1 Vektorräume 263
10.1.1 Zwei nur auf den ersten Blick verschiedene Beispiele 263
10.1.2 Die Vektorraumaxiome 265
10.1.3 Beispiele für Vektorräume 267
10.1.4 Untervektorräume 272
10.1.5 Basis und Dimension 275
10.2 Lineare Abbildungen 282
10.2.1 Definition und Beispiele linearer Abbildungen 283
10.2.2 Kern und Bild einer linearen Abbildung 287
10.2.3 Isomorphie 293
10.3 Matrizen 297
10.3.1 Die Matrix einer linearen Abbildung 297
10.3.2 Das Matrixprodukt 306
10.4 Ausblick: LGS und Determinanten 311
10.4.1 Homogene LGS 311
10.4.2 Die Determinante 315
10.4.3 Inhomogene LGS 317
V Anhang 321
11 Lösungen zu den Übungsaufgaben 32
11.1 Lösungen zu Kapitel 1 323
11.2 Lösungen zu Kapitel 2 328
11.3 Lösungen zu Kapitel 3 340
11.4 Lösungen zu Kapitel 4 349
11.5 Lösungen zu Kapitel 5 364
11.6 Lösungen zu Kapitel 6 369
11.7 Lösungen zu Kapitel 7 373
11.8 Lösungen zu Kapitel 8 388
11.9 Lösungen zu Kapitel 9 408
11.10 Lösungen zu Kapitel 10 423