Praxisnah und gut lesbar geschrieben, vermittelt dieses Werk einen Einblick in die Wissenschaft, die sich mit Zufallserscheinungen befasst. Der Leser lernt die „Mathematik des Zufalls“ kennen und verstehen. In der vorliegenden überarbeiteten und durch Aufnahme von zwei Kapiteln zur Statistik erweiterten dritten Auflage werden gründlich u. a. folgende zentrale Themen behandelt:
* Deskriptive Statistik: Historische Entwicklung, Erhebung und Aufbereitung von Daten (Lage- und Streuungsparameter), Lineare Regression und Korrelation* Genese der Wahrscheinlichkeitstheorie mit ihren faszinierenden Beispielen aus dem 17. Jahrhundert* Axiomatischer Aufbau der Wahrscheinlichkeitstheorie im 20. Jahrhundert* Grundbegriffe der Kombinatorik* Simulation von Zufallsexperimenten* Diskrete Zufallsvariable* Allgemeine Wahrscheinlichkeitsräume* Stetige Verteilungsfunktionen* Induktive Statistik: Schätztheorie, Testtheorie (ein- und zweiseitige Tests, Gütefunktionen), Konfidenzintervalle. Besonderer Wert wird auf das Modellieren gelegt, d. h. auf die Kompetenz, Sachverhalte der Alltagswirklichkeit in mathematische Modelle zu übertragen.
Beispiele und Übungsaufgaben – für das Verstehen von Mathematik von eminenter Bedeutung – nehmen in diesem Buch einen breiten Raum ein. Im Anhang sind Lösungen angegeben.
Das Buch wendet sich an Lehramts-Studierende, die Mathematik als eines ihrer Fächer haben, an Studierende in den Bachelor- und Masterstudiengängen und an Lehrende mit dem Fach Mathematik.
Univ.-Prof. Herbert Kütting und Dr. rer. nat. Martin J. Sauer lehren und forschen am Fachbereich Mathematik und Informatik der Universität Münster.
/ AUS DEM INHALT: / / /
1 Beschreibende Statistik 1
1.1 Die historische Entwicklung der Statistik - ein kurzer Abriss 1
1.1.1 Die Amtliche Statistik 2
1.1.2 Die Politische Arithmetik 5
1.1.3 Die Universitätsstatistik und ihre Weiterentwicklung 5
1.2 Grundbegriffe der beschreibenden Statistik und Aufbereitung der Daten 8
1.2.1 Statistische Erhebung, Daten, Merkmale, Merkmalsausprägungen 8
1.2.2 Graphische Darstellungen von Daten 14
1.2.3 Lageparameter 29
1.2.4 Streuimgsparameter 45
1.2.5 Lineare Regression 53
1.2.6 Korrelation 61
1.2.7 Fehler und Manipulationsmöglichkeiten 65
1.2.8 Aufgaben und Ergänzungen 65
2 Wahrscheinlichkeit 71
2.1 Zufall und Wahrscheinlichkeit 71
2.2 Mathematik des Zufalls 72
2.3 Entwicklung der klassischen Wahrscheinlichkeit 76
2.3.1 Berühmte historische Beispiele und einige interessante Briefwechsel 76
2.3.2 Aufgaben und Ergänzungen 84
2.4 Zur geschichtlichen Entwicklung der Stochastik 85
2.5 Schritte zur Mathematisierung 89
2.5.1 Zum Modellbildungsprozess 89
2.5.2 Aufgaben und Ergänzungen 96
2.6 Endliche Wahrscheinlichkeitsräume (Teil 1) 97
2.6.1 Das Axiomensystem von Kolmogoroff 97
2.6.2 Folgerungen aus dem Axiomensystem - Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten 103
2.6.3 Ein zum Axiomensystem von Kolmogoroff äquivalentes Axiomensystem 112
2.6.4 Die Laplace-Verteilung (Gleichverteilung) 115
2.6.5 Aufgaben und Ergänzungen 119
2.7 Geometrische Wahrscheinlichkeiten 121
2.7.1 Vier Beispiele: Glücksrad, Zielscheibe, Paradoxon von Bertrand, Nadelproblem von Buffon 121
2.7.2 Aufgaben und Ergänzungen 128
2.8 Kombinatorisches Zählen 129
2.8.1 Abzählen 129
2.8.2 Allgemeines Zählprinzip der Kombinatorik 131
2.8.3 Kombinatorische Figuren 137
2.8.4 Anwendungen der kombinatorischen Figuren 153
2.8.5 Vier-Schritt-Modell zur Lösung von Kombinatorikaufgaben - Ein didaktischer Aspekt 162
2.8.6 Aufgaben und Ergänzungen 165
2.9 Endliche Wahrscheinlichkeitsräume (Teil 2) 168
2.9.1 Bedingte Wahrscheinlichkeit - Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen 168
2.9.2 Bernoulli-Ketten 187
2.9.3 Totale Wahrscheinlichkeit und Satz von Bayes 194
2.9.4 Aufgaben und Ergänzungen 207
3 Simulation und Zufallszahlen 213
3.1 Begriffserklärungen und Beispiele 213
3.2 Aufgaben und Ergänzungen 226
4 Diskrete Zufallsvariable, Erwartungswert und Varianz .... 229
4.1 Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeitsverteilung 229
4.2 Kumulative Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen 237
4.3 Erwartungswert und Varianz diskreter Zufallsvariablen 239
4.3.1 Erwartungswert 239
4.3.2 Varianz 245
4.4 Mehrere Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum 250
4.4.1 Unabhängigkeit von Zufallsvariablen 250
4.4.2 Erwartungswert einer Summe diskreter Zufallsvariabler 252
4.4.3 Varianz einer Summe diskreter Zufallsvariabler 253
4.5 Aufgaben und Ergänzungen 255
5 Spezielle diskrete Verteilungen 259
5.1 Binomialverteilung 259
5.2 Hypergeometrische Verteilung 263
5.3 Zusammenhang zwischen Verteilungen 267
5.4 Geometrische Verteilung (Pascal-Verteilung) 269
5.5 Aufgaben und Ergänzungen 273
6 Ungleichung von Tschebyscheff für diskrete Zufallsvariable und Schwaches Gesetz der großen Zahlen von Bernoulli275
6.1 Ungleichung von Tschebyscheff 275
6.2 Schwaches Gesetz der großen Zahlen 279
6.3 Aufgaben und Ergänzungen 282
7 Allgemeine Wahrscheinlichkeitsräume 283
7.1 Abzählbar-unendliche Wahrscheinlichkeitsräume 284
7.2 Über abzählbar-unendliche Wahrscheinlichkeitsräume 286
7.2.1 Die Menge IR und das System der Borelmengen auf 1R 286
7.2.2 Abstrakte Wahrscheinlichkeitsräume 290
7.3 Aufgaben und Ergänzungen 292
8 Wahrscheinlichkeitsmaße auf (IR, 23(2)) 293
8.1 Verteilungsfunktionen und Dichtefunktionen 295
8.2 Verteilungsfunktionen zu vorgegebenen Dichtefunktionen 300
8.2.1 Konstruktion einer stetigen Verteilungsfunktion zu einer Dichtefunktion 300
8.2.2 Die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten durch Integrale über eine Dichtefunktion 301
8.3 Rechteckverteilung 303
8.4 Exponentialverteilung 304
8.5 Normalverteilung (Gauß-Verteilung) 308
8.5.1 Eigenschaften der Dichtefunktion 309
8.5.2 Die Standard-Normalverteilung 311
8.5.3 Approximation der Binomialverteilung mittels der Normalverteilung 316
8.5.4 Die Sigma-Regeln für die Normalverteilung 318
8.6 Erwartungswert und Varianz für Verteilungsfunktionen 319
8.7 Ausblick: Abstrakte Zufallsvariable 325
8.7.1 Messbare Abbildungen 325
8.7.2 Zufallsvariable mit Werten in IR 326
8.8 Aufgaben und Ergänzungen 327
9 Schätzen 331
9.1 Die Maximum-Likelihood-Methode 331
9.2 Schätzen von Erwartungswert und Varianz 337
9.3 Konfidenzintervalle 342
9.3.1 Konfidenzintervall für die Wahrscheinlichkeit bei einer binomialverteilten Zufallsvariablen 342
9.3.2 Konfidenzintervalle bei JV(/a,