Für die grafische Darstellung entsprechender Lösungskurven verwendet die Autorin MatLab, so dass dem Leser anschaulich demonstriert werden kann, wie sich Modifikationen in den Gleichungen auswirken. Die eigenen Lernfortschritte können mithilfe von Übungsaufgaben, die die Kapitel abschließen, überprüft werden.
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Abbildungsverzeichnis XI
1 Einführung 1
1.1 Beispiele zur Modellbildung 2
1.1.1 Newtonsche Bewegungsgleichungen 2
1.1.2 Änderungsprozesse 9
1.2 Begriffe und geometrische Aspekte 14
2 Differentialgleichungen erster Ordnung 23
2.1 Richtungsfeld und Isoklinen 23
2.2 Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen für Anfangswertaufgaben 32
2.3 Numerische Verfahren für Anfangswertaufgaben (Einführung) 40
2.3.1 Das Euler-Cauchy'sehe Polygonzugverfahren 41
2.3.2 Weitere Einschrittverfahren 46
3 Elementar integrierbare Differentialgleichungen erster Ordnung 51
3.1 Differentialgleichungen mit trennbaren Variablen 51
3.2 Ähnlichkeitsdifferentialgleichungen, Substitutionen 55
3.3 Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung 60
3.3.1 Die homogene Differentialgleichung 61
3.3.2 Die inhomogene Differentialgleichung 62
3.3.3 Spezialfälle inhomogener linearer Differentialgleichungen erster Ordnung 67
3.4 Zwei Differentialgleichungen, die sich auf lineare zurückführen lassen 73
3.4.1 Die Bemoulli-Differentialgleichung 73
3.4.2 Die Riccati-Differentialgleichung 74
3.5 Exakte Differentialgleichungen, integrierender Faktor 78
3.5.1 Exakte Differentialgleichungen 78
3.5.2 Der integrierende Faktor/Eulersche Multiplikator 85
4 Lineare Differentialgleichungen zweiter und höherer Ordnung 91
4.1 Grundlagen 91
4.2 Die allgemeine Lösung der linearen homogenen Differentialgleichung 94
4.2.1 Lineare Unabhängigkeit von Funktionen 94
4.2.2 Struktur der Lösungen 98
4.2.3 Reduktion der Ordnung 101
4.2.4 Lineare homogene Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 107
4.3 Lineare inhomogene Differentialgleichung (n > 2) 117
4.3.1 Lineare inhomogene Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten 117
4.3.2 Lineare inhomogene Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit nichtkonstanten Koeffizienten 125
4.4 Die Eulersche Differentialgleichung und spezielle Differentialgleichungen (n=2) 127
4.5 Die Schwingungsdifferentialgleichung 131
4.5.1 Der harmonische Oszillator und zwei elektrische Schwingkreise 131
4.5.2 Freie mechanische Schwingungen 132
4.5.3 Erzwungene Schwingungen: ein Resonanzfall 138
4.6 Potenzreihenansätze 140
4.6.1 Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten 140
4.6.2 Lineare Differentialgleichungen mit nichtkonstanten Koeffizienten (n > 2) 143
4.6.3 Lösung bekannter Differentialgleichungen durch Potenzreihenansätze 148
4.7 Randwertaufgaben 153
4.7.1 Einführendes Beispiel 153
4.7.2 Lineare Randwertprobleme zweiter Ordnung 154
4.7.3 Lineare Randwertprobleme höherer Ordnung 157
4.7.4 Eigenwertaufgaben 161
4.7.5 Die Greensche Funktion 162
4.7.6 Differenzenverfahren 167
5 Differentialgleichungssysteme 171
5.1 Einleitung 171
5.2 Systeme von zwei Differentialgleichungen 174
5.2.1 Geometrische Veranschaulichung von Lösungen 174
5.2.2 Eliminationsverfahren 178
5 3 Lineare Differentialgleichungssysteme mit stetigen Koeffizientenfunktionen (n>2) 182
5.4 Lineare Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten (n > 2)... 186
5.4.1 Lösung des homogenen Systems 186
5.4.2 Lösung des inhomogenen Systems (für konstante Koeffizienten) 195
5.4.3 Modellbeispiel 199
6 Autonome Systeme (n = 2) 205
6.1 Einfuhrung und Beispiele o 205
6.2 Stabilität linearer autonomer Systeme 213
6.3 Phasenporträts 219
6.4 Lorenz-Attraktor, Wetterprognose 226
7 Einführung in MATLAB® 231
7.1 Grafische Darstellungen 234
7.2 Algebraische Berechnungen 236
7.3 Skripte 238
Literaturverzeichnis 239
Index 241