Dieses Buch ist eine Begleitlektüre zum ersten Jahr des Mathematikstudiums und darüber hinaus. Im Mittelpunkt stehen Motivation und Erläuterung der zentralen Begriffsbildungen anhand von Beispielen und exemplarischen Resultaten.
Ausgehend von den elementarsten und historisch frühesten mathematischen Konzepten des Messens und Zählens werden Sie zu modernen Begriffen wie Metriken, Maßen und Vektorräumen geführt, die dann zur Lösung konkreter Probleme einsetzt werden. Die Stoffauswahl ist so angelegt, dass die Querverbindungen zwischen den unterschiedlichen Anfängervorlesungen, die im regulären Studienbetrieb oft eher ausgeblendet werden, deutlich hervortreten.
Das Buch richtet sich an Leser, die mit der elementaren Mengenlehre als Sprache zur Beschreibung von mathematischen Inhalten sowie mit den reellen Zahlen als mathematischem Konzept vertraut sind.
Das entspricht etwa dem Kenntnisstand, der von Studierenden der Mathematik nach etwa einen Monat Studium erwartet wird.
Joachim Hilgert forscht und lehrt am Institut für Mathematik der Universität Paderborn.
/ AUS DEM INHALT: / / /
Vorwort v
Gebrauchsanleitung vii
1 Vom Abstand zur Topologie 1
1.1 Metrische Räume 2
1.1.1 Beispiele für Metriken 3
1.1.2 Diskussion der Begriffsbildung 13
1.2 Stetigkeit und Grenzwerte 15
1.2.1 Stetige Funktionen 16
1.2.2 Grenzwerte 18
1.3 Vollständigkeit und Kompaktheit 23
1.3.1 Vollständige metrische Räume 24
1.3.2 Kompakte metrische Räume 28
1.4 Topologie 30
1.4.1 Umgebungen 31
1.4.2 Stetigkeit für topologische Räume 35
1.4.3 Offene Teilmengen 37
1.4.4 Häufungspunkte und Grenzwerte 41
1.5 Offene Überdeckungen 44
1.5.1 Quasikompakte Teilmengen 45
1.5.2 Der Satz von Heine-Borel 48
1.6 Zusammenfassung und Ausblick 50
2 Von der linearen Gleichung zur Geometrie 55
2.1 Rechenregeln 56
2.1.1 Lineare Gleichungssysteme 58
2.1.2 Vektorräume 68
2.1.3 Homomorphismen 72
2.2 Basis und Dimension 78
2.2.1 Linearkombinationen 78
2.2.2 Dimension 83
2.2.3 Anwendung auf lineare Gleichungssysteme 86
2.2.4 Unendliche Dimension 89
2.3 Normen 94
2.3.1 Motivation der Begriffsbildung 95
2.3.2 Äquivalenz von Normen 102
2.3.3 Innere Produkte 105
2.3.4 Komplexe Vektorräume 109
2.4 Zusammenfassung und Ausblick 115
3 Vom Volumen z u m Integral 121
3.1 Heuristiken zur Volumenbestimmung 122
3.2 Messbare Mengen 128
3.2.1 er-Algebren 129
3.2.2 Äußere Maße 135
3.2.3 p-Lebesgue-messbare Mengen 141
3.3 Maße 146
3.3.1 Lebesgue-Maße 148
3.3.2 Wahrscheinlichkeitsmaße 154
3.4 Integrale 159
3.4.1 Messbare Funktionen 161
3.4.2 Einfache Funktionen und ihre Integrale 163
3.4.3 Integrierbare Funktionen 169
3.5 Produktmaße und iterierte Integrale 176
3.5.1 Produktmaße 177
3.5.2 Iterierte Integrale 182
3.5.3 Dominierte Konvergenz 185
3.6 Zusammenfassung und Ausblick 187
4 Von der Linearisierung z u m Gleichungslösen 191
4.1 Linearisierung und Differenzierbarkeit 192
4.1.1 Differenzierbarkeit und Ableitung 194
4.1.2 Konstruktion differenzierbarer Abbildungen 199
4.2 Lösungsmengen nichtlinearer Gleichungen 202
4.2.1 Implizite Funktionen 203
4.2.2 Anwendung des Fixpunktprinzips 205
4.2.3 Lokale Parametrisierung von Lösungsmengen 208
4.3 Differentialgleichungen erster Ordnung 213
4.3.1 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 215
4.3.2 Der Satz von Picard-Lindelöf 219
4.4 Höhere Ableitungen 220
4.4.1 Der Satz von Schwarz 222
4.4.2 Die Taylor-Entwicklung 226
4.5 Potenzreihen und analytische Funktionen 233
4.5.1 Potenzreihendarstellung von Funktionen 233
4.5.2 Skalare Potenzreihen 237
4.5.3 Analytische Funktionen 241
4.5.4 Potenzreihenansatz für partielle Differentialgleichungen 243
4.6 Zusammenfassung und Ausblick 245
5 Von der Struktur zur Rechnung 249
5.1 Lineare Abbildungen 250
5.1.1 Darstellende Matrizen 250
5.1.2 Matrizenmultiplikation 253
5.1.3 Eigenwerte und Eigenvektoren 257
5.2 Determinanten 261
5.2.1 Geometrische Heuristik 263
5.2.2 Permutationen und Vorzeichenwechsel 265
5.2.3 Abbildungseigenschaften 273
5.3 Berechnung von Integralen 279
5.3.1 Die Transformationsformel 279
5.3.2 Koordinatenberechnungen 282
5.4 Multilineare Abbildungen 288
5.4.1 Bi- und Sesquilinearformen 288
5.4.2 Potenzreihen 306
5.5 Zusammenfassung und Ausblick 310
A Mengentheorie 313
Literaturverzeichnis 319
Mathematische Symbole und Index 321