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Vorbestellen	Zweigstelle: 07., Urban-Loritz-Pl. 2a	Standorte: NN.M Grun / College 6a - Naturwissenschaften	Status: Verfügbar	Frist:	Vorbestellungen: 0

Dieses vierfarbige Lehrbuch wendet sich an Studierende der Mathematik in Bachelor- und Lehramts-Studiengängen. Es bietet in einem Band ein lebendiges Bild der mathematischen Inhalte, die üblicherweise im ersten Studienjahr behandelt werden (und etliches mehr).

 

Mathematik-Studierende finden wichtige Begriffe, Sätze und Beweise ausführlich und mit vielen Beispielen erklärt und werden an grundlegende Konzepte und Methoden herangeführt.

 

Im Mittelpunkt stehen das Verständnis der mathematischen Zusammenhänge und des Aufbaus der Theorie sowie die Strukturen und Ideen wichtiger Sätze und Beweise. Es wird nicht nur ein in sich geschlossenes Theoriengebäude dargestellt, sondern auch verdeutlicht, wie es entsteht und wozu die Inhalte später benötigt werden.

 

Herausragende Merkmale sind:

durchgängig vierfarbiges Layout mit mehr als 600 Abbildungen

prägnant formulierte Kerngedanken bilden die Abschnittsüberschriften

Selbsttests in kurzen Abständen ermöglichen Lernkontrollen während des Lesens

farbige Merkkästen heben das Wichtigste hervor

"Unter-der-Lupe"-Boxen zoomen in Beweise hinein, motivieren und erklären Details

"Hintergrund-und-Ausblick"-Boxen stellen Zusammenhänge zu anderen Gebieten und weiterführenden Themen her

Zusammenfassungen zu jedem Kapitel sowie Übersichtsboxen

mehr als 400 Verständnisfragen, Rechenaufgaben und Aufgaben zu Beweisen

deutsch-englisches Symbol- und Begriffsglossar

 

 

Der inhaltliche Schwerpunkt liegt auf den Themen der Vorlesungen Analysis 1 und 2 sowie Linearer Algebra 1 und 2. Behandelt werden darüber hinaus Inhalte und Methodenkompetenzen, die vielerorts im ersten Studienjahr der Mathematikausbildung vermittelt werden.

 

Auf der Website zum Buch www.matheweb.de finden Sie

 

Hinweise, Lösungswege und Ergebnisse zu allen Aufgaben

Zusatzmaterialien wie Maple-Worksheets zu verschiedenen Themen des Buchs

die Möglichkeit, zu den Kapiteln Fragen zu stellen

Das Buch wird allen Studierenden der Mathematik vom Beginn des Studiums bis in höhere Semester hinein ein verlässlicher Begleiter sein.

 

Für die 2. Auflage ist es vollständig durchgesehen, an zahlreichen Stellen didaktisch weiter verbessert und um einige Themen ergänzt worden.

 

Stimme zur ersten Auflage:

"Besonders gut gefallen mir die Übersichtlichkeit und die Verständlichkeit, besonders aber die Sichtbarmachung der Verbindung von Analysis und linearer Algebra, die in den Erstsemestervorlesungen oft zu kurz kommt." Sylvia Prinz, Institut für Mathematikdidaktik, Universität zu Köln

 

 

Aus dem Inhalt:

Vorwort V /1 Mathematik – eine Wissenschaft für sich 1 /1.1 Über Mathematik, Mathematiker und dieses Lehrbuch 2 /1.2 Die didaktischen Elemente dieses Buchs 8 /1.3 Ratschläge zum Einstieg in die Mathematik 10 /1.4 Eine kurze Geschichte der Mathematik 13 / /2 Logik, Mengen, Abbildungen – die Sprache der Mathematik 27 /2.1 Junktoren und Quantoren 28 /2.2 Grundbegriffe aus der Mengenlehre 34 /2.3 Abbildungen 40 /2.4 Relationen 49 /Zusammenfassung 58 /Aufgaben 60 / /3 Algebraische Strukturen – ein Blick hinter die Rechenregeln 63 /3.1 Gruppen 64 /3.2 Homomorphismen 71 /3.3 Körper 78 /3.4 Ringe 85 /Zusammenfassung 95 /Aufgaben 97 / /4 Zahlbereiche – Basis der gesamten Mathematik 101 /4.1 Der Körper der reellen Zahlen 102 /4.2 Anordnungsaxiome für die reellen Zahlen 106 /4.3 Ein Vollständigkeitsaxiom 114 /4.4 Natürliche Zahlen und vollständige Induktion 117 /4.5 Ganze Zahlen und rationale Zahlen 127 /4.6 Komplexe Zahlen 134 /4.7 Vertiefung: Konstruktiver Aufbau der reellen Zahlen 148 /Zusammenfassung 155 /Aufgaben 156 / /5 Lineare Gleichungssysteme – ein Tor zur linearen Algebra 165 /5.1 Erste Lösungsversuche 166 /5.2 Das Lösungsverfahren von Gauß und Jordan 172 /5.3 Das Lösungskriterium und die Struktur der Lösung 180 /Zusammenfassung 185 /Aufgaben 186 / /6 Vektorräume – von Basen und Dimensionen 189 /6.1 Der Vektorraumbegriff 190 /6.2 Beispiele von Vektorräumen 193 /6.3 Untervektorräume 196 /6.4 Basis und Dimension 198 /6.5 Summe und Durchschnitt von Untervektorräumen 211 /Zusammenfassung 222 /Aufgaben 223 / /7 Analytische Geometrie – Rechnen statt Zeichnen 227 /7.1 Punkte und Vektoren im Anschauungsraum 228 /7.2 Das Skalarprodukt im Anschauungsraum 232 /7.3 Weitere Produkte von Vektoren im Anschauungsraum 238 /7.4 Abstände zwischen Punkten, Geraden und Ebenen 247 /7.5 Wechsel zwischen kartesischen Koordinatensystemen 257 /Zusammenfassung 268 /Aufgaben 270 / /8 Folgen – der Weg ins Unendliche 275 /8.1 Der Begriff einer Folge 276 /8.2 Konvergenz 283 /8.3 Häufungspunkte und Cauchy-Folgen 291 /Zusammenfassung 299 /Aufgaben 300 / /9 Funktionen und Stetigkeit – e trifft auf d 303 /9.1 Grundlegendes zu Funktionen 304 /9.2 Beschränkte und monotone Funktionen 310 /9.3 Grenzwerte für Funktionen und die Stetigkeit 313 /9.4 Abgeschlossene, offene, kompakte Mengen 322 /9.5 Stetige Funktionen mit kompaktem /Definitionsbereich, Zwischenwertsatz 330 /Zusammenfassung 341 /Aufgaben 342 / /10 Reihen – Summieren bis zum Letzten 347 /10.1 Motivation und Definition 348 /10.2 Kriterien für Konvergenz 355 /10.3 Absolute Konvergenz 363 /10.4 Kriterien für absolute Konvergenz 368 /Zusammenfassung 376 /Aufgaben 377 / /11 Potenzreihen – Alleskönner unter den Funktionen 381 /11.1 Definition und Grundlagen 382 /11.2 Die Darstellung von Funktionen durch Potenzreihen 389 /11.3 Die Exponentialfunktion 398 /11.4 Trigonometrische Funktionen 403 /11.5 Der Logarithmus 408 /Zusammenfassung 413 /Aufgaben 414 / /12 Lineare Abbildungen und Matrizen – Brücken zwischen Vektorräumen 417 /12.1 Definition und Beispiele 418 /12.2 Verknüpfungen von linearen Abbildungen 422 /12.3 Kern, Bild und die Dimensionsformel 425 /12.4 Darstellungsmatrizen 432 /12.5 Das Produkt von Matrizen 442 /12.6 Das Invertieren von Matrizen 446 /12.7 Elementarmatrizen 451 /12.8 Basistransformation 455 /12.9 Der Dualraum 458 /Zusammenfassung 462 /Aufgaben 464 / /13 Determinanten – Kenngrößen von Matrizen 469 /13.1 Die Definition der Determinante 470 /13.2 Determinanten von Endomorphismen 475 /13.3 Berechnung der Determinante 476 /13.4 Anwendungen der Determinante 483 /Zusammenfassung 492 /Aufgaben 494 / /14 Normalformen – Diagonalisieren und Triangulieren 497 /14.1 Diagonalisierbarkeit 498 /14.2 Eigenwerte und Eigenvektoren 501 /14.3 Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren 503 /14.4 Algebraische und geometrische Vielfachheit 510 /14.5 Die Exponentialfunktion für Matrizen 519 /14.6 Das Triangulieren von Endomorphismen 522 /14.7 Die Jordan-Normalform 526 /14.8 Die Berechnung einer Jordan-Normalform und Jordan-Basis 532 /14.9 Das Minimalpolynom einer Matrix 544 /Zusammenfassung 548 /Aufgaben 550 / /15 Differenzialrechnung – die Linearisierung von Funktionen 555 /15.1 Die Ableitung 556 /15.2 Differenziationsregeln 564 /15.3 Der Mittelwertsatz 573 /15.4 Verhalten differenzierbarer Funktionen 581 /15.5 Taylorreihen 587 /Zusammenfassung 597 /Aufgaben 598 / /16 Integrale – von lokal zu global 603 /16.1 Integration von Treppenfunktionen 604 /16.2 Das Lebesgue-Integral 608 /16.3 Stammfunktionen 617 /16.4 Integrationstechniken 622 /16.5 Integration über unbeschränkte Intervalle oder Funktionen 627 /16.6 Parameterabhängige Integrale 638 /16.7 Weitere Integrationsbegriffe 642 /Zusammenfassung 654 /Aufgaben 655 / /17 Euklidische und unitäre Vektorräume – orthogonales Diagonalisieren 659 /17.1 Euklidische Vektorräume 660 /17.2 Norm, Abstand, Winkel, Orthogonalität 666 /17.3 Orthonormalbasen und orthogonale Komplemente 672 /17.4 Unitäre Vektorräume 682 /17.5 Orthogonale und unitäre Endomorphismen 685 /17.6 Selbstadjungierte Endomorphismen 695 /17.7 Normale Endomorphismen 701 /Zusammenfassung 709 /Aufgaben 712 / /18 Quadriken – vielseitig nutzbare Punktmengen 717 /18.1 Symmetrische Bilinearformen 718 /18.2 Hermitesche Sesquilinearformen 728 /18.3 Quadriken und ihre Hauptachsentransformation 732 /18.4 Die Singulärwertzerlegung 745 /18.5 Die Pseudoinverse einer linearen /Abbildung 747 /Zusammenfassung 757 /Aufgaben 758 / /19 Metrische Räume – Zusammenspiel von Analysis und lineare Algebra 763 /19.1 Metrische Räume und ihre Topologie 764 /19.2 Konvergenz und Stetigkeit in metrischen Räumen 772 /19.3 Kompaktheit 787 /19.4 Zusammenhangsbegriffe 797 /19.5 Vollständigkeit 802 /19.6 Banach- und Hilberträume 808 /Zusammenfassung 823 /Aufgaben 825 / /20 Differenzialgleichungen – Funktionen sind gesucht 829 /20.1 Begriffsbildungen 830 /20.2 Elementare analytische Techniken 839 /20.3 Existenz und Eindeutigkeit 847 /20.4 Grundlegende numerische Verfahren 854 /Zusammenfassung 860 /Aufgaben 861 / /21 Funktionen mehrerer Variablen – Differenzieren im Raum 865 /21.1 Einführung 866 /21.2 Differenzierbarkeitsbegriffe: Totale und partielle Differenzierbarkeit 867 /21.3 Differenziationsregeln 881 /21.4 Mittelwertsätze und Schrankensätze 889 /21.5 Höhere partielle Ableitungen und der Vertauschungssatz von H. A. Schwarz 891 /21.6 Taylor-Formel und lokale Extrema 895 /21.7 Der lokale Umkehrsatz 901 /21.8 Der Satz über implizite Funktionen 907 /Zusammenfassung 911 /Aufgaben 914 / /22 Gebietsintegrale – das Ausmessen von Mengen 919 /22.1 Definition und Eigenschaften 920 /22.2 Die Berechnung von Gebietsintegralen 928 /22.3 Die Transformationsformel 938 /22.4 Wichtige Koordinatensysteme 944 /Zusammenfassung 952 /Aufgaben 953 / /23 Vektoranalysis – im Zentrum steht der Gauß’sche Satz 957 /23.1 Kurven im Rn 958 /23.2 Das Kurvenintegral 966 /23.3 Flächen und Flächenintegrale 974 /23.4 Der Gauß’sche Satz 986 /Zusammenfassung 1009 /Aufgaben 1010 / /24 Optimierung – aber mit Nebenbedingungen 1015 /24.1 Lineare Optimierung 1016 /24.2 Das Simplex-Verfahren 1026 /24.3 Dualitätstheorie 1034 /24.4 Differenzierbare Probleme 1043 /Zusammenfassung 1051 /Aufgaben 1052 / /25 Elementare Zahlentheorie – Teiler und Vielfache 1057 /25.1 Teilbarkeit 1058 /25.2 Der euklidische Algorithmus 1059 /25.3 Der Fundamentalsatz der Arithmetik 1063 /25.4 ggT und kgV 1064 /25.5 Zahlentheoretische Funktionen 1067 /25.6 Rechnen mit Kongruenzen 1073 /Zusammenfassung 1080 /Aufgaben 1081 / /26 Elemente der diskreten Mathematik – die Kunst des Zählens 1085 /26.1 Einführung in die Graphentheorie 1086 /26.2 Einführung in die Kombinatorik 1100 /26.3 Erzeugende Funktionen 1107 /Zusammenfassung 1111 /Aufgaben 1113 /Hinweise zu den Aufgaben 1117 /Lösungen zu den Aufgaben 1135 /Bildnachweis 1151 /Symbolglossar deutsch/englisch 1153 /Index 1171