Das Buch wendet sich, wie die „Erste Hilfe in Analysis“, an Studienanfänger der Mathematik im Fach- und Lehramtsstudium. Es möchte den Übergang von der Schule zur Universität erleichtern und wertvolle Hilfestellungen während der ersten Fachsemester bieten. Es eignet sich als Begleittext der Grundvorlesung zur Linearen Algebra und zur Prüfungsvorbereitung. Behandelt werden:
- Mengentheoretisches Vorspiel
- Relationen und Abbildungen
- Algebraische Strukturen
- Vektorräume
- Lineare Abbildungen
- Matrizen
- Euklidische und unitäre Vektorräume
- Determinanten
- Eigenwerte
Der Text bietet
- exakte Definitionen und Sätze
- kompakte und übersichtlich strukturierte zweiseitige Darstellungen
- zahlreiche Abbildungen zur Visualisierung von abstrakten Begriffen und Ergebnissen
- zahlreiche Beispiele zur Illustration, Aneignung und Vertiefung
- überblickartige Zusammenfassungen zu wichtigen Querschnittsthemen der linearen Algebra
- Ausblicke auf "Eigenwerte ohne Determinanten", "Eigenwerte ohne Fundamentalsatz", "Gershgorin-Kreise", "Matixnormen", "Matrixexponentiale", "Lineare Systeme von Differentialgleichungen"
- als Anhang kurze Darstellungen zu den Themen „Junktoren", "Quantoren“, "Zum Funktionsbegriff", "Zahlen", "Geometrische Grundlagen", „Die Axiome der Mengenlehre“
PD Dr. Oliver Deiser unterrichtet Mathematik an der School of Education und am Zentrum Mathematik der TU München. Er ist Autor zahlreicher Lehrbücher. Dr. Caroline Lasser ist Professorin für Numerik partieller Differentialgleichungen an der TU München.
/ AUS DEM INHALT: / / /
Vorwort
Kapitel 0. Mengentheoretisches Vorspiel
1. Mengen 8
2. Endliche Mengen 10
3. Die Mengenkomprehension 12
4. Algebraische Operationen mit Mengen 14
Kapitel 1. Relationen und Abbildungen
1. Relationen 18
2. Aquivalenzrelationen 20
3. Ordnungen 22
4. Der Abbildungsbegriff 24
5. Konstruktion von Abbildungen 26
6. Notationen und Sprechweisen für Abbildungen 28
7. Umgang mit Funktionen 30
8. Operationen und Abgeschlossenheit 32
9. Abbildungseigenschaften 34
10. Mächtigkeitsvergleiche 36
11. Das Auswahlaxiom 38
12. Das Zornsche Lemma 40
Kapitel 2. Algebraische Strukturen
1. Halbgruppen 44
2. Monoide 46
3. Gruppen 48
4. Rechenregeln in Gruppen 50
5. Kommutative Operationen 52
6. Untergruppen 54
7. Normalteiler und Faktorgruppen 56
8. Ringe 58
9. Körper 60
10. Angeordnete Körper 62
11. Polynomringe und Polynomfunktionen 64
12. Division und Nullstellen von Polynomen 66
Kapitel 3. Vektorräume 69
1. Vektorräume 70
2. Unterräume 72
3. Produkte von Vektorräumen 74
4. Linearkombinationen und Erzeugendensysteme 76
5. Lineare Unabhängigkeit 78
6. Basen und Koordinatenvektoren 80
7. Austauschlemma und Austauschsatz 82
8. Die Dimension 84
9. Die Existenz von Basen 86
10. Summen von Vektorräumen 88
11. Quotientenräume 90
12. Affine Unterräume und Koordinaten 92
Kapitel 4. Lineare Abbildungen 95
1. Gruppenhomomorphismen 96
2. Mono-, Epi-, Iso-, Endo-und Automorphismen 98
3. Kern und Bild 100
4. Der Homomorphiesatz 102
5. Lineare Abbildungen 104
6. Konstruktion linearer Abbildungen 106
7. Darstellung linearer Abbildungen 108
8. Fasern und lineare Gleichungssystem 110
9. Isomorphie von Vektorräumen 112
10. Die Dimensionsformel : 114
11. Lineare Abbildungen als Vektoren 116
12. Dualräume 118
Kapitel 5. Matrizen 121
1. Matrizen 122
2. Matrizen und lineare Abbildungen 124
3. Die Matrizenmultiplikation 126
4. Darstellende Matrizen für beliebige Basen 128
5. Invertierbare Matrizen 130
6. Die Elementarmatrizen 132
7. Die Permutationsmatrizen 134
8. Basiswechsel und Transformationsformel 136
9. Die Transposition 138
10. Der Rang 140
11. Die Zeilenstufen form 142
12. Eliminationsverfahren 144
Kapitel 6. Euklidische und unitäre Vektorräume 147
1. Das kanonische Skalarprodukt im IR" 148
2. Das kanonische Skalarprodukt im Cn 150
3. Allgemeine Skalarprodukte 152
4. Normierte Vektorräume 154
5. Normen im Endlich-Dimensionalen 156
6. Orthonormalbasen 158
7. Das Orthonormalisierungsverfähren 160
8. Orthogonale Komplemente und Projektionen 162
9. Orthogonale Homomorphismen und Matrizen 164
10. Der Rieszsche Darstellungssatz 166
11. Der adjungierte Endomorphismus 168
12. Sesquilinearformen 170
Kapitel 7. Determinanten 173
1. 2 X 2-Determinanten 174
2. n x n-Determinanten 176
3. Das Vorzeichen einer Permutation 178
4. Die Leibniz-Formel 180
5. Multiplikation und Transposition 182
6. Der Entwicklungssatz von Laplace 184
7. Komplementärmatrizen und die Regel von Cramer 186
8. Die speziellen linearen Gruppen 188
9. Volumina von Parallelotopen 190
10. Das Kreuzprodukt 192
11. Positive Definitheit.... 194
12. Die Determinante eines Endomorphismus 196
Kapitel 8. Eigenwerte 199
1. Eigenwerte und Eigenvektoren 200
2. Die Diagonalisierbarkeit 202
3. Das charakteristische Polynom 204
4. Das Diagonalisierbarkeitskriterium 206
5. Die Trigonalisierung 208
6. Der Spektralsatz 210
7. Hauptachsentransformation und Trägheitssatz 212
8. Die Singulärwertzerlegung 214
9. Lineare Abbildungen und Ellipsen 216
10. Minimalpolynome und der Satz von Cayley-Hamilton ... 218
11. Haupträume und Hauptraumzerlegung 220
12. Die Jordan-Normal form 222
Überblick und Zusammenfassung 225
1. Algebraische Grundstrukturen 226
2. Die Kongruenz modulo m 227
3. Matrizen 228
4. Matrizen und lineare Abbildungen 230
5. Umformungen mit Elementarmatrizen 231
6. Matrizengruppen 232
7. Matrixzerlegungen 233
8. Die Sesquilinearformen (o, A o) und positive Definitheit .. 234
9. Quadriken in Normalform für n = 2 235
10. Normalformen 236
11. Blockstrukturen 239
12. Berechnung und Bestimmung 240
Ausblicke zu Eigenwerten 241
1. Eigenwerte ohne Determinanten 242
2. Eigenwerte ohne Fundamentalsatz 243
3. Gershgorin-Kreise und die Lage der Eigenwerte 244
4. Matrixnormen 246
5. Matrixexponentiale 248
6. Lineare Systeme von Differentialgleichungen 250
Anhänge 253
1. Junktoren 254
2. Quantoren 256
3. Zum Funktionsbegriff 257
4. Zahlen 258
5. Geometrische Grundlagen 262
6. Die Axiome der Mengenlehre 264
Literatur 266
Notationen 267
Index 270