Dieses Buch richtet sich an Bachelor- und Lehramtsstudierende der ersten Semester und vermittelt einen fundierten Aufbau der Zahlbereiche. Ausgehend von den natürlichen Zahlen werden systematisch die ganzen, rationalen, reellen und komplexen Zahlen bis hin zu den Hamiltonschen Quaternionen konstruiert. Dazu werden jeweils die aus der Algebra benötigten Grundlagen bereitgestellt und motiviert. Für den Bachelor-Studiengang Mathematik bietet das Buch einen vielseitigen Aufbau der Zahlbereiche, für den in den Anfängervorlesungen oftmals die Zeit fehlt. Lehramtsstudierenden verhilft dieses Buch zu einem anschaulichen Verständnis der Zahlbereiche von einem mathematisch-fachwissenschaftlichen Standpunkt, welches für die mathematikdidaktische Ausbildung eine wesentliche Grundlage darstellt und für die mathematische Kompetenz im Lehrerberuf unabdingbar ist. Das Buch enthält zum besseren Verständnis zahlreiche Aufgaben und Lösungen.
Prof. Dr. Jürg Kramer forscht und lehrt am Institut für Mathematik der Humboldt-Universität zu Berlin. Er ist Mitbegründer der Berlin Mathematical School und Direktor des Deutschen Zentrums für Lehrerbildung Mathematik.
Dr. Anna-Maria von Pippich ist wissenschaftliche Mitarbeiterin am Institut für Mathematik der Humboldt-Universität zu Berlin und Mitglied der Postdoctoral Faculty der Berlin Mathematical School.
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Vorwort v
Einleitung 1
I Die natürlichen Zahlen 11
1. Die Peano-Axiome 11
2. Teilbarkeit und Primzahlen 18
3. Der Fundamentalsatz der elementaren Zahlentheorie 25
4. Größter gemeinsamer Teiler, kleinstes gemeinsames Vielfaches 29
5. Division mit Rest 34
II Die ganzen Zahlen 39
1. Halbgruppen und Monoide 39
2. Gruppen und Untergruppen 42
3. Gruppenhomomorphismen 49
4. Nebenklassen und Normalteiler 52
5. Faktorgruppen und Homomorphiesatz 60
6. Konstruktion von Gruppen aus regulären Halbgruppen 66
7. Die ganzen Zahlen 72
III Die rationalen Zahlen 77
1. Die ganzen Zahlen und ihre Teilbarkeitslehre 77
2. Ringe und Unterringe 82
3. Ringhomomorphismen, Ideale und Faktorringe 88
4. Körper und Schiefkörper 97
5. Konstruktion von Körpern aus Integritätsbereichen 99
6. Die rationalen Zahlen 105
7. ZPE-Ringe, Hauptidealringe und Euklidische Ringe 108
IV Die reellen Zahlen 119
1. Dezimalbruchentwicklung rationaler Zahlen 119
2. Konstruktion der reellen Zahlen 123
3. Dezimalbruchentwicklung reeller Zahlen 135
4. Äquivalente Charakterisierungen der Vollständigkeit 140
5. Die reellen Zahlen und die Zahlengerade 145
6. Der axiomatische Standpunkt 150
V Die komplexen Zahlen 155
1. Die komplexen Zahlen als reeller Vektorraum 155
2. Komplexe Zahlen vom Betrag eins und die spezielle orthogonale Gruppe 160
3. Der Fundamentalsatz der Algebra 164
4. Algebraische und transzendente Zahlen 166
5. Transzendenz von e 171
VI Die Hamiltonschen Quaternionen 179
1. Die Hamiltonschen Quaternionen als reeller Vektorraum 179
2. Quaternionen vom Betrag eins und die spezielle unitäre Gruppe 184
3. Quaternionen vom Betrag eins und die spezielle orthogonale Gruppe 187
Lösungen zu den Aufgaben 193
Ausgewählte Literatur 223
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