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Was ist ein mathematischer Beweis? Wie lassen sich Beweise rechtfertigen? Gibt es Grenzen der Beweisbarkeit? Ist die Mathematik widerspruchsfrei? Kann man das Auffinden mathematischer Beweise Computern übertragen?

 

Erst im 20. Jahrhundert ist es der mathematischen Logik gelungen, weitreichende Antworten auf diese Fragen zu geben: Im vorliegenden Werk werden die Ergebnisse systematisch zusammengestellt; im Mittelpunkt steht dabei die Logik erster Stufe.

 

Die Lektüre setzt – außer einer gewissen Vertrautheit mit der mathematischen Denkweise – keine spezifischen Kenntnisse voraus.

 

In der vorliegenden 5. Auflage finden sich erstmals Lösungsskizzen zu den Aufgaben.

 

 

Aus dem Inhalt:

1 Einleitung 1 / 1.1 Ein Beispiel aus der Gruppentheorie 2 / 1.2 Ein Beispiel aus der Theorie der Äquivalenzrelationen 4 / 1.3 Eine erste Analyse 5 / 1.4 Ausblick 7 / / 2 Syntax der Sprachen erster Stufe 9 / 2.1 Alphabete 9 / 2.2 Das Alphabet einer Sprache erster Stufe 12 / 2.3 Terme und Ausdrücke in Sprachen erster Stufe 13 / 2.4 Induktion im Term- und im Ausdruckskalkül 17 / 2.5 Freie Variablen und Sätze 24 / / 3 Semantik der Sprachen erster Stufe 27 / 3.1 Strukturen und Interpretationen 28 / 3.2 Eine Normierung der umgangssprachlichen Junktoren 31 / 3.3 Die Modellbeziehung 33 / 3.4 Die Folgerungsbeziehung 34 / 3.5 Zwei Lemmata über die Modellbeziehung 41 / 3.6 Einige einfache Symbolisierungen 46 / 3.7 Fragen zur Symbolisierbarkeit 50 / 3.8 Substitution 54 / / 4 Ein Sequenzenkalkül 61 / 4.1 Sequenzenregeln 62 / 4.2 Grund- und Junktorenregeln 64 / 4.3 Ableitbare Junktorenregeln 66 / 4.4 Quantoren- und Gleichheitsregeln 68 / 4.5 Weitere ableitbare Regeln 70 / 4.6 Eine Zusammenfassung. Ein Beispiel 72 / 4.7 Widerspruchsfreiheit 74 / / 5 Der Vollständigkeitssatz 79 / 5.1 Der Satz von Henkin 79 / 5.2 Erfüllbarkeit widerspruchsfreier Ausdrucksmengen (abzahlbarer Fall) 84 / 5.3 Erfüllbarkeit widerspruchsfreier Ausdrucksmengen (allgemeiner Fall) 87 / 5.4 Der Vollständigkeitssatz 90 / / 6 Der Satz von Löwenheim und Skolem und der Endlichkeitssatz 91 / 6.1 Der Satz von Löwenheim und Skolem 91 / 6.2 Der Endlichkeitssatz 93 / 6.3 Elementare Klassen 95 / 6.4 Elementar äquivalente Strukturen 99 / / 7 Zur Tragweite der ersten Stufe 105 / 7.1 Der formale Beweisbegriff 106 / 7.2 Mathematik im Rahmen der ersten Stufe 109 / 7.3 Das Zermelo-Fraenkelsche Axiomensystem der Mengenlehre 114 / 7.4 Bemerkungen zum mengentheoretischen Aufbau der Mathematik 119 / / 8 Syntaktische Interpretationen und Normalformen 123 / 8.1 Termreduzierte Ausdrücke und relationale Symbolmengen 123 / 8.2 Syntaktische Interpretationen 126 / 8.3 Definitionserweiterungen 134 / 8.4 Normalformen 137 / / 9 Erweiterungen der Logik erster Stufe 145 / 9.1 Die Logik zweiter Stufe 146 / 9.2 Das System CU lU 151 / 9.3 Das System Cq 157 / / 10 Berechenbarkeit und ihre Grenzen 159 / 10.1 Entscheidbarkeit, Aufzählbarkeit, Berechenbarkeit 160 / 10.2 Registermaschinen 166 / 10.3 Das Halteproblem für Registermaschinen 172 / 10.4 Die Unentscheidbarkeit der Logik erster Stufe 177 / 10.5 Der Satz von Trachtenbrot und die Unvollständigkeit der Logikzweiter Stufe 181 / 10.6 Theorien und die Unentscheidbarkeit der Arithmetik 184 / 10.7 Selbstbezügliche Aussagen und die Gödelschen Unvollständigkeitssätze 192 / 10.8 Die Entscheidbarkeit der Presburger-Arithmetik 199 / 10.9 Die Entscheidbarkeit der schwachen monadischen Nachfolger-Arithmetik 206 / / 11 Freie Modelle und Logik-Programmierung 225 / 11.1 Der Satz von Herbrand 226 / 11.2 Freie Modelle und universelle Horn-Ausdrücke 229 / 11.3 H erbrand-Strukturen 235 / 11.4 Aussagenlogik 238 / 11.5 Aussagenlogische Resolution 244 / 11.6 Resolution in der ersten Stufe (ohne Unifikation) 256 / 11.7 Logik-Programmierung 265 / / 12 Eine algebraische Charakterisierung der elementaren Äquivalenz 281 / 12.1 Endliche und partielle Isomorphie 282 / 12.2 Der Satz von Fra'isse 288 / 12.3 Der Beweis des Satzes von Fraisse 290 / 12.4 Ehrenfeucht-Spiele 297 / / 13 Die Sätze von Lindström 299 / 13.1 Logische Systeme 299 / 13.2 Reguläre logische Systeme mit Endlichkeitssatz 303 / 13.3 Der erste Satz von Lindström 304 / 13.4 Der zweite Satz von Lindström 311 / / Lösungshinweise zu den Aufgaben 317 / Literaturverzeichnis 351 / Symbolverzeichnis 355 / Sach- und Personenverzeichnis 359