Angehende Lehrer benötigen Grundbegriffe der Linearen Algebra als Anwender, weniger als Theoretiker. Detlef Lind stellt daher nicht erst Theorie, dann Anwendung dar, sondern verknüpft die beiden von vornherein. Damit entsteht eine für Studierende der Sekundarstufe I und der Primarstufe mit Mathematik als Schwerpunktfach sinnvolle Darstellung des Lehrstoffes, ergänzt durch Übungen und Lösungen, die dessen Aneignung erleichtern und Verständniskontrollen ermöglichen.
/ AUS DEM INHALT: / / /
0 Notationen und Grundbegriffe 1
0.1 Schreibweisen für Mengen 1
0.2 Relationen und Abbildungen 3
Relationen 3
Abbildungen 5
0.3 Algebraische Strukturen 7
Gruppen 7
Körper 9
Komplexe Zahlen 10
0.4 Anordnung 14
Angeordnete Körper 14
Ordnungs- und Äquivalenzrelationen 14
0.5 Rekursive Definitionen und vollständige Induktion 16
Summen und Produkte 16
Vervielfachen und Potenzieren 17
Vollständige Induktion 18
I Vektorräume 21
I.1 Der n-dimensionale Punktraum IRn 21
Koordinaten auf Geraden 21
Koordinaten in der Ebene 21
Koordinaten im Raum 22
n-dimensonale Punkträume 23
I.2 Der n-dimensionale Vektorraum Wn 24
Verschiebungen 24
Vervielfachung von Vektoren 25
Beispiele aus der Physik 27
I.3 Allgemeine Vektorraumdefinitionen 30
Der Vektorraumbegriff 30
Untervektorräume \^ 32
Linearkombinationen und lineare Unabhängigkeit 35
Basis und Dimension 40
I.4 Beschreibung des Punktraums IRn durch den Wn 46
Ortsvektoren (Zeiger) und Geraden 46
Lineare Teilräume des IRn 53
II Euklidische Vektorräume 58
II. 1 Längen- und Winkelmessung 58
Skalarprodukt und Vektorbetrag 58
Normalenform von Hyperebenengleichungen 68
II.2 Kreise, Kugeln, Hypersphären 74
Kreis, Tangente und Polare 74
Die Inversion am Kreis 77
Kugeln im IR3 78
Hyperkugeln 80
III Lineare Abbildungen und affine Abbildungen 83
III. 1 Lineare Gleichungssysteme 83
Matrizen 83
Elementare Umformungen 87
Gauß-Algorithmus 90
Gauß-Jordan-Verfahren 92
111.2 Lineare Abbildungen 96
Matrizenalgebra 96
Algebra der nxn-Matrizen 100
Basistransformationen 102
Orthogonalmatrizen 104
111.3 Determinanten 107
Flächeninhalt und Rauminhalt 107
Verallgemeinerung des Determinantenbegriffs auf den Wn 110
Der Produktsatz für Determinanten 115
111.4 Winkeltreue Abbildungen im IRn 118
Bewegungen in der reellen Ebene 118
Kongruenzabbildungen 121
Ähnlichkeitsabbildungen 126
111.5 Affinitäten 132
Zum Begriff der affinen Abbildung 132
Spezielle Parallelstreckungen und Scherungen 135
Klassifikation der Affinitäten im IR2 137
111.6 Fixrichtungen einer linearen Abbildung 142
Eigenwert und Eigenraum 142
Das charakteristische Polynom 143
Symmetrische Matrizen und ihre Diagonalisierung 146
Klassifikation der Kongruenzabbildungen des IR3 149
IV Kurven und Flächen zweiter Ordnung 157
IV.0 Einführung 157
Erzeugung von Kegelschnitten 157
Standardgleichungen für Kegelschnitte 158
Geschichtliches 158
Anwendungen 160
IV. 1 Definitionen und Gleichungen der Kegelschnitte 161
Die Dandelinschen Kugeln 161
Kegelschnittgleichungen im Koordinatensystem 167
Scheitelkrümmungskreise 169
Kegelschnitte als projektive Bilder eines Kreises 171
Die Ellipse als affines Bild eines Kreises 172
Konjugierte Richtungen 174
IV.2 Weitere Eigenschaften der Kegelschnitte 177
Tangenten und Brennpunkteigenschaften 177
Leitgeraden 182
Die klassischen Probleme 184
IV.3 Kurven zweiter Ordnung 191
Affine Bilder der Kegelschnitte 191
Hauptachsentransformation 192
IV.4 Flächen zweiter Ordnung 197
Klassifikation 197
Regelflächen 203
Kreisschnittebenen 204
Anhang A: Projektive Behandlung der Kegelschnitte 207
A.l Die projektive Ebene 207
Homogene Koordinaten 207
Projektive Abbildungen 210
A.2 Kegelschnitte in der projektiven Ebene 210
Projektive Bilder des Kreises 210
Das Doppelverhältnis 211
Die projektive Erzeugung der Kegelschnitte 214
A.3 Die Sätze von Pascal und Brianchon 219
Anhang B: Die explizite Darstellung der Determinante 226
Lösungshinweise zu den Aufgaben 228
Literatur 264