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Vorbestellen	Zweigstelle: 07., Urban-Loritz-Pl. 2a	Standorte: NN.M Hisc / College 6a - Naturwissenschaften	Status: Verfügbar	Frist:	Vorbestellungen: 0
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Annäherung an die Mathematik durch Darstellung der kulturhistorischen Entwicklung grundlegender Begriffe (Struktur, Funktion, Zahl, Gleichungen und Gleichheit) und Konzepte, mit deren Hilfe Mathematik als Lehr- und Unterrichtsfach didaktisch verankert werden kann.

 

 

Aus dem Inhalt:

1 Mathematik kulturhistorisch begreifen /1.1 Mathematik zwischen Anwendung und Spiel /1.1.1 Vorbemerkung /1.1.2 Das Morley-Dreieck zwischen Anwendung und Spiel /1.1.3 Mathematik zwischen "homo faber" und "homo ludens" /1.1.4 Mathematik und das Menschenrecht auf Irrtum /1.1.5 Ein Blick in die Anfänge der Geometrie /1.1.5.1 Geometrisches Handeln in vorgeschichtlicher Zeit /1.1.5.2 Am Beginn geschichtlicher Zeit /1.1.5.3 Ein kurzer Blick in andere Kulturen: China, Japan und Neuseeland /1.1.6 Einige aktuelle Beispiele /1.1.6.1 Raumgeometrie und Raumanschauung /1.1.6.2 Inzidenzgeometrie und endliche Geometrie /1.1.6.3 Freiformarchitektur und Mathematik /1.1.7 Fazit /1.2 Mathematik im kulturhistorischen Kontext /1.2.1 Fundamentale Ideen und grundlegende Begriffe /1.2.1.1 Grundsätzliche Betrachtungen /1.2.1.2 Kriterien bezüglich fundamentaler Ideen /1.2.1.3 Ein Beispiel: "Mittelwert & Mittelwertbilden" und Konsequenzen /1.2.2 Historische Verankerung /1.2.2.1 Verankernde Ideen /1.2.2.2 Otto Toeplitz: "genetische Methode" als didaktisches Konzept /1.2.3 Fazit: "historische Verankerung" statt "genetische Methode" /1.3 Mathematik, Begriff und Begriffsbildung /1.3.1 Was ist ein "Begriff"? - Versuch einer eingrenzenden Beschreibung /1.3.1.1 Erste Fragen und erste Antworten /1.3.1.2 "Begriff" - ein Blick in wohl weniger bekannte Werke /1.3.1.3 Was ist ein Begriff? - Gottlob Frege /1.3.2 Begriffsbildung als Prozess /1.3.2.1 Begriffsbildung in ontogenetischer und in kulturhistorischer Sicht /1.3.2.2 Aspektvielfalt von "Begriffsbildung" im mathematikdidaktischen Kontext /1.3.2.3 Phasen der Begriffsbildung /1.3.2.4 Das epistemologische Dreieck /1.3.3 Fazit: Begriff- Grundbegriff - Grundlegender Begriff / /2 Grundlagen mathematischer Strukturen /2.1 Überblick /2.2 Algebra: vom Verfahren zur Struktur - und wieder zurück 51 /2.2.1 Elementare algebraische Strukturen in naiver Sicht 51 /2.2.2 Die grundlegende Wende in der "Algebra": vom Verfahren zur Struktur 52 /2.2.3 "Algebra": zur Entstehung der Bezeichnung 53 /2.2.4 Cardano und seine Formeln 55 /2.2.5 "Gruppen" - wie es dazu kam 57 /2.2.5.1 Gleichungslehre: mit Permutationen von Cardano über Hudde bis zu Abel und Galois 57 /2.2.5.2 Felix Klein und die Geometrie: Invarianten bei Bewegungen 66 /2.2.5.3 Gauß, Lagrange und die Zahlentheorie: Quadratische Formen 67 /2.2.5.4 Gruppen bei Cayley und Weber: die Geburt der modernen Algebra 69 /2.3 Logik und Mengen 71 /2.3.1 Vorbetrachtung 71 /2.3.2 Aussagen und "klassische" Aussagenlogik 72 /2.3.3 Aussagenlogische Junktoren 77 /2.3.3.1 Das aussagenlogische NICHT 77 /2.3.3.2 Das aussagenlogische UND - die Konjunktion 79 /2.3.3.3 Das aussagenlogische ODER - Adjunktion und Disjunktion 80 /2.3.3.4 Das aussagenlogische WENN ... DANN - die Subjunktion 81 /2.3.3.5 Das aussagenlogische GENAU DANN ... WENN - die Bijunktion 82 /2.3.3.6 Gegensätze: "konträr" versus "kontradiktorisch" 82 /2.3.4 Aussagenkalkül und aussagenlogische "Gesetze" 82 /2.3.5 Quantoren und Variablenbindung 85 /2.3.6 Zur "Ersetzungsregel" und einer Konsequenz 87 /2.3.7 Mengen 88 /2.3.7.1 Zur Entstehung der Mengenlehre 88 /2.3.7.2 Mengen - grundlegende Notationen und Definitionen 92 /2.3.7.3 Extensionalitätsprinzip und Mengeninklusion 94 /2.3.7.4 Aussonderungsprinzip und leere Menge 94 /2.3.8 Mengenalgebra 96 /2.3.8.1 Verknüpfungen von Mengen und Venn-Diagramme 96 /2.3.8.2 Potenzmengen 99 /2.3.8.3 Mengenalgebra als Struktur 101 /2.3.9 Paarmengen und Produktmengen 103 /2.3.10 Erste Anmerkungen zur "axiomatischen Mengenlehre" 106 /2.3.11 Vage Logik (Fuzzy Logic) - ein kurzer Einblick 107 / /3 Zu den historischen Wurzeln des Zahlbegriffs 111 /3.1 Was ist eine Zahl? 111 /3.1.1 Subjektive Theorien zum Zahlbegriff 111 /3.1.2 Vertiefende Diskussion 112 /3.1.3 Aspekte von Begriffsbildung 114 /3.2 Zum Zahlbegriff in vorgeschichtlicher Zeit 115 /3.3 Zum Zahlbegriff in der Antike 116 /3.3.1 Babylonische Keilschrifttafeln 116 /3.3.1.1 Grundsätzliches Hb /3.3.1.2 Yale YBC 7289 117 /3.3.1.3 Plimpton322 118 /3.3.2 In Kürze: zur Arithmetik der alten Ägypter 121 /3.3.3 Hatten Babylonier und Ägypter schon einen "Zahlbegriff"? 122 /3.3.4 Pythagoreer: Größenverhältnisse als Proportionen 123 /3.3.4.1 Pythagoreer: Mathematik als "freie Wissenschaft", als "Spiel des Geistes" 123 /3.3.4.2 Zum Zahlenverständnis der Pythagoreer - Eins ist keine "Zahl"! 125 /3.3.4.3 "Alles ist Zahl" 126 /3.3.4.4 Wechselwegnahme und größtes gemeinsames Maß 128 /3.3.4.5 Pythagoreische Mittelwerte und babylonischer Approximationsalgorithmus 130 /3.3.4.6 Babylonischer Algorithmus und Heron-Verfahren 132 /3.3.5 Die Entdeckung der Irrationalität 133 /3.3.5.1 Das Pentagramm der Pythagoreer 133 /3.3.5.2 Hippasos von Metapont und das Pentagon 134 /3.3.5.3 Wechselwegnahme bei Diagonale und Seite im regelmäßigen Fünfeck 136 /3.3.5.4 Inkommensurabilität und Konsequenzen für die Verhältnisgleichheit 137 /3.3.5.5 Irrationalität 140 /3.3.5.6 Alternativen zur Entdeckung der Inkommensurabilität? 142 /3.3.5.7 Ergänzungen 144 /3.3.5.8 Ein kritischer Rückblick 145 /3.4 Fazit 146 / /4 Zur Kulturgeschichte des Funktionsbegriffs 147 /4.1 Was ist eine Funktion? - Problematisierung 147 /4.2 Zeittafel zur Entwicklung des Funktionsbegriffs 152 /4.3 Babylonier und griechische Antike 153 /4.3.1 Babylonier: Tabellierung von Funktionen 153 /4.3.2 Griechische Antike: kinematisch erzeugte Kurven als Funktionen 153 /4.4 Zeitachsenorientierte Darstellungen im Mittelalter 155 /4.4.1 Klosterschule: Zodiac - Planetenbahnen im Tierkreis 155 /4.4.2 Guido von Arezzo: Notenschrift als zeitachsenorientierte Darstellung 157 /4.4.3 Darstellung zeitabhängiger Größen durch Nicole d`Oresme 157 /4.5 16. bis 18. Jh.: Tafeln, empirische Tabellen und Graphen 161 /4.5.1 1551 Rheticus - erste trigonometrische Tabellen 161 /4.5.2 1614 John Napier: erste "Logarithmentafeln"? 162 /4.5.3 1662 John Graunt: erste demographische Statistik 164 /4.5.4 1669 Christiaan Huygens: "Lebenslinie" und "Lebenserwartungszeit" 165 /4.5.5 1686 Edmund Hailey: Luftdruckkurve 165 /4.5.6 1741 / 1761 Johann Peter Süßmilch: geistiger Vater der Demographie 166 /4.5.7 1762 /1779 Johann Heinrich Lambert: Langzeittemperaturmessungen 167 /4.5.8 1786 William Playfair: Linien-, Balken- und Tortendiagramme 170 /4.5.9 1795 / 1797 Louis Ezöchiel Pouchet: Nomogramme 171 /4.5.10 1796 James Watt & John Southern: Dampfmaschine und Kreisprozess 171 /4.5.11 1817 Alexander von Humboldt: erstmals geographische Isothermen 172 /4.5.12 1821 Jean Baptiste Joseph Fourier: Häufigkeitsverteilungen 172 /4.6 Beginn der expliziten Begriffsentwicklung von "Funktion" 173 /4.6.1 Überblick 173 /4.6.2 1671 Isaac Newton: Fluxionen und Fluenten 173 /4.6.3 1673 / 1694 Gottfried Wilhelm Leibniz: erstmals das Wort "Funktion" 174 /4.6.4 1691 / 1694 Jakob I. Bernoulli 175 /4.6.5 1706 / 1718 Johann I. Bernoulli: erstmals Definition von "Funktion" 175 /4.6.6 1748 Leonhard Euler: erstmals "Funktion" als grundlegender Begriff 176 /4.7 Entwicklung zum modernen mathematischen Funktionsbegriff 177 /4.7.1 1822 Jean Baptiste Fourier: erste termfreie Definition von "Funktion" 178 /4.7.2 1829/ 1837 Dirichlet: termfreier Funktionsbegriff 179 /4.7.3 1875 Du Bois-Reymond: Funktion als Tabelle 181 /4.7.4 1887 Richard Dedekind: Abbildung als eindeutige Zuordnung 182 /4.7.5 1891 Gottlob Frege: Präzision-Funktion, Argument, Funktionswert 183 /4.7.6 Ende 19. Jh. Peirce, Schröder, Peano: erstmals Funktion als Relation 185 /4.7.7 1903 - 1910 Russell, Zermelo, Whitehead: Annäherung an "Funktion als Relation" 186 /4.7.8 1914 Felix Hausdorff: mengentheoretische Definition von "Funktion" als "Relation" 186 /4.8 "Gesichter" von Funktionen - die aktuelle große Vielfalt 188 /4.8.1 Funktion als Relation - oder? 188 /4.8.2 Bilder als Funktionen - Sichtbare Funktionen 191 /4.8.3 Hörbare Funktionen 192 /4.8.4 Digitalisierung als Diskretisierung durch Abtastung und Quantisierung 194 /4.8.5 Scanner als materialisierte Funktion 195 /4.8.6 Funktionenplotter, Funktionsplots und Schaubilder von Funktionen 196 /4.8.7 Funktion und Funktionsgraph: eine kuriose formale Konsequenz 196 /4.9 Fazit 197 / /5 Strukturierung durch Relationen und Funktionen 201 /5.1 Relationen und Funktionen - grundlegende Definitionen 201 /5.1.1 Vorbetrachtungen zur Definitionsfindung 201 /5.1.2 Binäre und mehrstellige Relationen 202 /5.1.3 Funktionen 204 /5.1.4 "Mehrstellige Funktionen" versus "Funktionenmehrerer Veränderlicher"? 213 /5.1.5 Binäre Operationen (Verknüpfungen) und mehrstellige Operationen 214 /5.1.6 Verkettung von Relationen 216 /5.2 Äquivalenzrelationen und Ordnungsrelationen 218 /5.2.1 Eigenschaften binärer Relationen: Formalisierung und Visualisierung 218 /5.2.2 Quotientenmengen und Zerlegungen 221 /5.2.3 Halbordnung, Totalordnung, Striktordnung, Trichotomie, Wohlordnung 225 /5.3 Strukturierung und Axiomatik - Grundsätzliches 229 /5.3.1 Axiomatische Methode 229 /5.3.1.1 Was sind Axiome? 229 /5.3.1.2 Was ist Axiomatik? 231 /5.3.13 Deduktion, Induktion und Abduktion 232 /53.2 Axiomensysteme 233 /53.2.1 Anforderungen an ein Axiomensystem 233 /53.2.2 Widerspruchsfreiheit 233 /5.3.23 Unabhängigkeit 235 /53.2.4 Vollständigkeit 236 /533 "Modell" und "Modellierung" - (wie) passt das zusammen? 236 /53.4 Mengenalgebra als Boolesche Algebra 237 /5.3.5 Zur Unabhängigkeit eines Axiomensystems am Beispiel von Gruppen 238 /5.3.6 Fazit 246 / /6 Natürliche Zahlen in axiomatischer Sichtweise 247 /6.1 Was sind natürliche Zahlen? 247 /6.2 Die Nachentdeckung der Dedekind-Peano-Axiome 249 /6.3 Abstraktion: Dedekind-Peano-Algebra 254 /6.4 Analyse von Dedekind-Peano-Algebren 259 /6.4.1 Vollständige Induktion 259 /6.4.2 Unabhängigkeit der Dedekind-Peano-Axiome 261 /6.4.3 Homomorphismen in Dedekind-Peano-Algebren 262 /6.4.4 Der Monomorphiesatz für Dedekind-Peano-Algebren 268 /6.4.5 Der Rekursionssatz 270 /6.5 Der angeordnete Halbring der natürlichen Zahlen 273 /6.6 Endlichkeit und Abzählbarkeit 277 / /7 Bruch und Bruchentwicklung 283 /7.1 Was ist eigentlich ein "Bruch"? - Erste vorsichtige Ansätze 283 /7.1.1 Vorgeschichte 283 /7.1.2 Paradoxien bei Brüchen - das Chuquetmittel 284 /7.1.3 Etymologische Aspekte 286 /7.1.4 Erste historische Aspekte 287 /7.1.5 Was ist ein Bruch? - (Typische?) Schlaglichter einer Umfrage 287 /7.1.6 Wir tasten uns heran - erste algebraische Aspekte 288 /7.1.7 Strukturmathematische Präzisierung 291 /7.1.8 Brüche und "Aufbau des Zahlensystems" 294 /7.1.9 Die Menge der Bruchzahlen 295 /7.1.10 Wohldefiniertheit bei Bruchverknüpfungen 298 /7.2 Grundvorstellungen bei Brüchen 300 /7.2.1 Vorbemerkung 300 /7.2.2 Einige Einstiegsbeispiele 301 /7.2.3 Bruch als "Teil eines Ganzen" oder als "Teil mehrerer Ganzer" 302 /7.2.4 Quasikardinaler Aspekt bei Brüchen 305 /7.2.5 Quasiordinaler Aspekt bei Stammbrüchen 306 /7.2.6 Bruch als (Zahlen-)Verhältnis 306 /7.2.7 Bruch als Vergleichsinstrument - der "von-Ansatz" 308 /7.2.8 Subjektive Erfahrungsbereiche 309 /7.2.9 Eine falsche Grundvorstellung zur Bruchaddition? 311 /7.3 Vorstellungen und Darstellungen von (Bruch-)Zahlen 313 /7.3.1 Gewöhnliche Brüche und Dezimalbrüche 313 /7.3.2 Brüche als Namen für Zahlen 314 /7.3.3 Konkrete und abstrakte Brüche 315 /7.3.4 Bruchzahlen als "Zahlen"? 316 /7.4 Bruchrechnung 317 /7.4.1 Vorbemerkung 317 /7.4.2 Erweitern und Kürzen 318 /7.4.3 Größen Vergleich von Brüchen 323 /7.4.4 Addition von Brüchen 326 /7.4.5 Subtrakion von Brüchen 332 /7.4.6 Multiplikation von Brüchen 333 /7.4.7 Einbettung der Menge der natürlichen Zahlen in die Menge der Bruchzahlen 338 /7.4.8 Identifizierung von Bruchschreibweise und Divisionsschreibweise 338 /7.4.9 Division von Brüchen 339 /7.4.10 Doppelbrüche 345 /7.5 Bruchentwicklung 346 /7.5.1 Vorbemerkung 346 /7.5.2 Stammbruchentwicklungen 347 /7.5.3 Kettenbruchentwicklungen 354 /7.5.4 Farey-Folgen und Fordkreise 357 / /8 Struktur der Zahlenbereiche 361 /8.1 Ganze Zahlen und rationale Zahlen 3 61 /8.1.1 Unvollständigkeiten des angeordneten Halbrings der natürlichen Zahlen 361 /8.1.2 Einbettung - eine Übersicht 362 /8.1.3 Konstruktion des Rings der ganzen Zahlen - Skizze 364 /8.1.4 Konstruktion des Körpers der rationalen Zahlen - Skizze 369 /8.2 Der archimedisch angeordnete, unvollständige Körper der rationalen Zahlen 370 /8.2.1 Der angeordnete Ring der ganzen Zahlen 370 /8.2.2 Der angeordnete Körper der rationalen Zahlen 373 /8.2.3 Dichtheit des angeordneten Körpers der rationalen Zahlen 374 /8.2.4 Archimedizität des angeordneten Körpers der rationalen Zahlen 376 /8.2.5 Folgenkonvergenz in angeordneten Körpern 381 /8.2.6 Unvollständigkeit des angeordneten Körpers der rationalen Zahlen 389 /8.3 Konstruktion der reellen Zahlen über Fundamentalfolgen 392 /8.3.1 Der Körper der reellen Zahlen 392 /8.3.2 Der archimedisch angeordnete Körper der reellen Zahlen 394 /8.3.3 Zur Vollständigkeit des Axiomensystems der reellen Zahlen: Übersicht 397 /8.3.4 Zur Monomorphie des Axiomensystems der reellen Zahlen 398 /8.4 Ergänzungen und Ausblick 3 99 /8.4.1 Axiomatische Kennzeichnung der reellen Zahlen und der Unterstrukturen 3 99 /8.4.2 Äquivalente Fassungen des Vollständigkeitsaxioms der reellen Zahlen 402 /8.4.3 Alternative Konstruktionsmöglichkeiten der Menge der reellen Zahlen 406 /8.4.4 Reelle Zahlen: "Konstruktion" versus "axiomatische Kennzeichnung" 407 /8.4.5 Abzählbarkeit, Überabzählbarkeit und Transzendenz 408 /8.4.6 Komplexe Zahlen und Quatemionen 415 / /9 Gleichungen und Gleichheit 423 /9.1 Vorbemerkungen 423 /9.2 Eine erste Bestandsaufnahme zum Gleichungsbegriff 424 /9.2.1 Ein kurzer Blick in die Literatur 424 /9.2.2 Kommentierung und Konsequenzen 426 /9.3 Phänomenologische Aspekte zum Gleichungsbegriff 427 /9.3.1 Vorbemerkungen 427 /9.3.2 Mathematisch-inhaltliche Aspekte 429 /9.3.3 Sprachliche Aspekte 432 /9.3.4 Resümee 433 /9.4 Gleichheit und Identität 434 /9.4.1 Gleichheit und Identität im alltagssprachlichen Verständnis 434 /9.4.2 Gleichheit im Rechtswesen 436 /9.4.3 Übereinstimmung bezüglich "aller Merkmale"? 437 /9.4.4 Gleichheit - Ununterscheidbarkeit - Identität 439 /9.4.5 Gleichheit und Äquivalenz in der Mathematik 441 /9.4.6 Ungleichheit und Verschiedenheit 445 /9.4.7 Zu einer axiomatischen Fassung des Identitätsbegriffs 447 /9.4.8 Ein kritischer Rückblick 450 /9.4.9 Tertium comparationis - Drittengleichheit 452 /9.5 Ein allgemeiner Gleichungsbegriff 453 /9.5.1 Vorbemerkung 453 /9.5.2 Zur Definition von "Gleichung" 454 /9.5.3 Zur Vorgehensweise im Rückblick 458 /9.5.4 Gleichungen in nicht-numerischen Strukturen 460 /9.5.5 Ungleichungen 461 /9.6 Zum Gleichheitszeichen 462 /9.7 Schlussbemerkung 469 / /10 Zu den Lösungen der Aufgaben 471 /Literatur 509 /Bildquellennachweise 525 /Index 527