Die Relativitätstheorie gehört zu den bekanntesten Theorien der Physik. Auch wenn ihre unmittelbaren Auswirkungen auf unser tägliches Leben praktisch vernachlässigbar sind, geht von ihr dennoch eine große Faszination aus. Das vorliegende Buch bahnt physikalisch interessierten Lesern mit grundlegenden Kenntnissen der höheren Mathematik einen anschaulichen und nachvollziehbaren Weg zum Verständnis der Relativitätstheorie.
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Vorwort V
Liste der verwendeten Symbole XV
1 Newton'sche Mechanik 1
1.1 Die Grundgleichungen der Newton'schen Mechanik 1
1.1.1 Gravitationspotential und Kraft 1
1.1.2 Bewegungsgleichung nach Newton 2
1.1.3 Gravitationspotential in der Nähe der Erdoberfläche 3
1.1.4 Die Feldgleichung nach Newton 4
1.2 Gravitationspotential und Poisson-Gleichung 6
1.3 Der fallende Apfel und das Prinzip der kleinsten Wirkung 8
1.3.1 Variation der Bahnkurve 9
1.3.2 Lagrange-Funktion und Wirkung 10
2 Spezielle Relativitätstheorie 15
2.1 Geschichte der speziellen Relativitätstheorie 15
2.2 Postulate der speziellen Relativitätstheorie 16
2.3 Galilei-Transformation 16
2.4 Raumkontraktion und Zeitdilatation 18
2.4.1 Zeitdilatation 18
2.4.2 Raumkontraktion 20
2.5 Lorentz-Transformation 22
2.6 Invarianzelement im relativistischen Fall 24
2.7 Eigenzeit 26
2.8 Vierervektoren 27
2.9 Raumzeit-Diagramme 29
2.9.1 Definition des Raumzeit-Diagramms 29
2.9.2 Raumartig, zeitartig, lichtartig 33
2.9.3 Lichtkegel 34
2.9.4 Gleichzeitigkeit 34
2.9.5 Raumkontraktion 35
2.9.6 Zeitdilatation 36
2.9.7 Uhrenparadoxon 37
2.9.8 Eigenzeit im Raumzeit-Diagramm 38
2.9.9 Das Zwillingsparadoxon 39
2.10 Eigenzeitdiagramme 40
2.10.1 Zeitkegel 40
2.10.2 Eigenzeitkreis 41
3 Gravitation und die Krümmung des Raumes 43
3.1 Geschichte der allgemeinen Relativitätstheorie 43
3.2 Postulate der allgemeinen Relativitätstheorie 44
3.3 Der gekrümmte Raum 44
3.3.1 Gravitation und Beschleunigung 44
3.3.2 Gravitation und Krümmung des Raumes 45
3.3.3 Die Formulierung der allgemeinen Relativitätstheorie 46
3.4 Wie lässt sich Krümmung messen? 47
3.4.1 Messung der Krümmung im zweidimensionalen Raum 49
3.4.2 Krümmung in höherdimensionalen Räumen 50
3.5 Krümmung unterschiedlicher Geometrien 50
4 Vektoren und Koordinatensysteme 53
4.1 Definitionen 53
4.1.1 Vektoren, Vektorkomponenten und Basen 53
4.1.2 Summationskonvention 54
4.2 Abstand und Metrik 56
4.3 Kovariante und kontravariante Basis 58
4.3.1 Definition 58
4.3.2 Bestimmung der kontravarianten Basis 60
4.3.3 Rechnen mit ko- und kontravarianten Vektoren 63
4.4 Rechnen mit indizierten Größen 67
4.4.1 Austausch von Indizes 67
4.4.2 Herauf- und Herunterschieben von Indizes 68
4.4.3 Kontraktion indizierter Größen 69
4.4.4 Projektion von Vektoren 70
4.4.5 Symmetrie indizierter Gleichungen 71
4.5 Indizierte Größen in der Physik 72
4.5.1 Polarisation isotroper Materialien 73
4.5.2 Polarisation anisotroper Materialien 75
4.5.3 Tensoren 79
5 Metrik und die Vermessung des Raumes 81
5.1 Metrik und Abstand 81
5.1.1 Differentielle Länge 81
5.1.2 Metrik in kartesischen Koordinaten 82
5.1.3 Metrik in Polarkoordinaten 83
5.2 Metrik und Krümmung 83
5.3 Metriken im Raum 84
5.3.1 Kartesische Koordinaten im dreidimensionalen Raum .. 84
5.3.2 Kugelkoordinaten im dreidimensionalen Raum 85
5.3.3 Zylinderkoordinaten im dreidimensionalen Raum 86
5.4 Metriken in der Raumzeit 86
5.4.1 Minkowski-Metrik in kartesischen Koordinaten 87
5.4.2 Minkowski-Metrik in Kugelkoordinaten 87
5.5 Eigenschaften der Metrik 88
5.6 Metriken von Räumen mit konstanter Krümmung 88
5.6.1 Metriken von Flächen mit konstanter Krümmung 89
5.6.2 Allgemeine Darstellung einer zweidimensionalen Metrik mit konstanter Krümmung 90
6 Vektoren in gekrümmten Koordinaten 93
6.1 Partielle Ableitung 93
6.1.1 Ableitung in geraden Koordinaten 93
6.1.2 Ableitung in gekrümmten Koordinaten 94
6.2 Basisvektoren und Christoffelsymbole 96
6.2.1 Definition der Christoffelsymbole 96
6.2.2 Bestimmung der Christoffelsymbole aus der Metrik 98
6.3 Kovariante Ableitung 101
6.3.1 Definition der kovarianten Ableitung 101
6.3.2 Sonderfälle der kovarianten Ableitung 104
6.4 Paralleltransport 105
7 Messung der Krümmung 109
7.1 Krümmung im zweidimensionalen Raum 109
7.2 Riemann-Krümmung 111
7.2.1 Krümmung in höherdimensionalen Räumen 111
7.2.2 Berechnung der Riemann-Krümmung 113
7.2.3 Symmetrieeigenschaften der Riemann-Krümmung 116
7.2.4 Kontraktion der Riemann-Krümmung 117
7.3 Die Bianchi-Identität 118
8 Die Einstein'sche Feldgleichung 121
8.1 Ansatz zur Bestimmung der Feldgleichung 121
8.2 Die Energie-Impuls-Matrix 123
8.2.1 Energie-Impuls-Matrix für bewegte Materie 123
8.2.2 Energie- und Impulserhaltung 126
8.2.3 Energie-Impuls-Matrix für ruhende Materie 128
8.2.4 Energie-Impuls-Matrix für den materiefreien Raum 128
8.2.5 Energie-Impuls-Matrix für eine Flüssigkeit 128
8.2.6 Eigenschaften der Energie-Impuls-Matrix 129
8.3 Herleitung der Einstein'schen Feldgleichung 130
8.3.1 Einstein-Krümmung 130
8.3.2 Masse und die Krümmung des Raumes 131
8.3.3 Die kosmologische Konstante 133
8.4 Vorgehensweise bei der Lösung der Feldgleichung 133
9 Schwarzschild-Metrik oder wie Masse den Raum krümmt 135
9.1 Definition der Schwarzschild-Metrik 135
9.2 Berechnung der Schwarzschild-Metrik 136
9.2.1 Ansatz zur Bestimmung der Schwarzschild-Metrik 136
9.2.2 Gravitation und Zeitdilatation 137
9.2.3 Gravitation und Raumkontraktion 141
9.2.4 Der Schwarzschildradius 142
9.2.5 Die Schwarzschild-Metrik 143
9.3 Schwarze Löcher 144
9.4 Die Bestimmung des Faktors n 145
10 Bewegungsgleichung nach Einstein 147
10.1 Bewegung von Teilchen im Raum 147
10.2 Geodätische Gleichung 148
10.2.1 Lösung der geodätischen Gleichung im Raum 149
10.3 Bewegung von Teilchen in der Raumzeit 152
10.3.1 Die geodätische Gleichung in der Raumzeit 152
10.3.2 Das Prinzip der kleinsten Wirkung 152
10.3.3 Der Newton'sche Grenzfall 153
10.4 Vorgehensweise bei der Lösung der Bewegungsgleichung 155
10.5 Warum der Apfel vom Baum fallt 155
10.5.1 Lichtstrahlen und das Fermat'sche Prinzip 156
10.5.2 Teilchen und die Wellenfunktion 157
10.5.3 Wellenfunktion und Wirkung 160
11 Die Krümmung der Raumzeit 163
11.1 Darstellung der Raumzeit-Krümmung 163
11.2 Die Methode der Einbettung 166
11.2.1 Die Einbettung zweidimensionaler Metriken in den Raum 166
11.2.2 Einbettung der Schwarzschild-Metrik 170
11.3 Die Methode der geodätisch äquivalenten Abbildung 171
11.3.1 Definition der geodätisch äquivalenten Abbildung 171
11.3.2 Bestimmung der Metrikkoeffizienten 175
11.3.3 Grafische Darstellung der geodätisch äquivalenten Metrik 177
11.4 Der Fall der Apfels in der gekrümmten Raumzeit 179
12 Lichtablenkung in der gekrümmten Raumzeit 181
12.1 Ausbreitung von Licht im Gravitationsfeld 181
12.2 Aufstellen der Bewegungsgleichung 182
12.2.1 Bestimmung der Christoffelsymbole 183
12.2.2 Auswertung der geodätischen Gleichung 184
12.2.3 Das Wegelement der Raumzeit für Licht 185
12.3 Lösung der Bewegungsgleichung 186
12.3.1 Lösung für den nichtrelativistischen Fall 186
12.3.2 Lösung für den relativistischen Fall 187
13 Bewegung von Körpern in der gekrümmten Raumzeit 191
13.1 Periheldrehung im Gravitationsfeld 191
13.2 Aufstellen der Bewegungsgleichung 192
13.3 Die Gleichung der Bahnkurve 193
13.3.1 Ableitung der Bahnkurve 193
13.3.2 Lösung für den Newton'schen Fall 194
13.3.3 Lösung für den relativistischen Fall 195
13.4 Die Energiebilanzgleichung 196
14 Robertson-Walker-Metrik und das gekrümmte Universum 201
14.1 Definition der Robertson-Walker-Metrik 201
14.2 Ansatz zur Bestimmung der Metrik 202
14.3 Auswertung der Feldgleichung 204
14.4 Der Skalenfaktor und die Friedmann-Gleichungen 205
15 Kosmologie 209
15.1 Das expandierende Universum 209
15.1.1 Der Hubble-Parameter 209
15.1.2 Der Skalenfaktor der Expansion 210
15.2 Friedmann-Gleichung für unser Universum 212
15.2.1 Die allgemeine Friedmann-Gleichung 212
15.2.2 Die vereinfachte Friedmann-Gleichung 214
15.2.3 Berechnung der zeitlichen Entwicklung unseres Universums 216
15.3 Lösung der Friedmann-Gleichung 219
15.4 Grafische Darstellung der Expansion 220
15.4.1 Licht und Galaxien im Raumzeit-Diagramm 220
15.4.2 Das Universum mit konstantem Hubble-Parameter 221
15.4.3 Das Universum mit zeitabhängigem Hubble-Parameter 224
15.5 Emissionsentfernung und physikalische Entfernung 227
A Anhang 231
A.1 Drehmatrix 231
A.2 Prinzip der kleinsten Wirkung 232
A.3 Der kanonische Impuls 233
A.4 Glossar 234
Literaturverzeichnis 239
Index 241