Die Mathematik ist ein wichtiges Grundlagenfach für viele Studiengänge an Fachhochschulen, Technischen Hochschulen und Universitäten. Lehrerfahrungen in mathematischen Grundvorlesungen zeigen, dass viele Studienbeginner Anfangsschwierigkeiten in der Mathematik haben, wofür es eine Reihe unterschiedlicher Ursachen gibt.
Das Buch will helfen, solche Anfangsschwierigkeiten möglichst zu vermeiden. Es ist begleitend zu den ersten Mathematik-Vorlesungen zu benutzen, für Brückenkurse und Vorkurse, aber auch zum Selbststudium und zur Wiederholung vor oder während des Studiums. In der zehnten Auflage wurden verschiedene Textteile überarbeitet und inhaltlich verbessert
/ AUS DEM INHALT: / / /
1 Arithmetik 1
1.1 Mengen 1
1.2 Aussageformen und logische Zeichen 4
1.3 Einteilung der Zahlen 8
1.4 Grundrechenarten 11
1.5 Grundlegende Rechenregeln 12
1.5.1 Buchstabenrechnen 12
1.5.2 Kehrwert, Quersumme 12
1.5.3 Teilbarkeitsregeln 12
1.5.4 Punktrechnung vor Strichrechnung 13
1.5.5 Potenzrechnung vor Punktrechnung 13
1.5.6 Grundgesetze der Addition und Multiplikation 14
1.5.7 Grundregeln der Klammerrechnung 14
1.5.8 Multiplikation mit Klammern 15
1.5.9 Indizes, Summenzeichen, Produktzeichen 17
1.5.10 Binomische Formeln 18
1.5.11 Division mit Klammern 18
1.6 Bruchrechnung 19
1.6.1 Definitionen 19
1.6.2 Erweitern und Kürzen 20
1.6.3 Addieren und Subtrahieren gleichnamiger Brüche 21
1.6.4 Addieren und Subtrahieren ungleichnamiger Brüche 21
1.6.5 Multiplizieren von Brüchen 22
1.6.6 Dividieren von Brüchen 23
1.7 Potenz-und Wurzelrechnung 24
1.7.1 Definition der Potenz 24
1.7.2 Regeln der Potenzrechnung 25
1.7.3 Definition der Wurzel 28
1.7.4 Regeln der Wurzelrechnung 29
1.8 Dezimalzahlen und Dualzahlen 33
1.8.1 Dezimalsystem 34
1.8.2 Dualsystem i 35
1.8.3 Runden 36
1.9 Logarithmen 36
1.9.1 Definition des Logarithmus 36
1.9.2 Spezielle Basen 37
1.9.3 Regeln der Logarithmenrechnung 38
1.9.4 Zusammenhang von Logarithmen mit verschiedenen Basen... 39
1.9.5 Dekadische Logarithmen 40
1.10 Mittelwerte 41
1.10.1 Arithmetisches Mittel 41
1.10.2 Geometrisches Mittel 41
1.10.3 Harmonisches Mittel 42
1.10.4 Quadratisches Mittel 42
1.11 Ungleichungen 43
1.11.1 Definitionen und Rechenregeln 43
1.11.2 Absolutbetrag 44
1.11.3 Intervalle 45
1.12 Komplexe Zahlen 47
1.12.1 Algebraische Form 47
1.12.2 Trigonometrische Form 49
1.12.3 Addieren und Subtrahieren komplexer Zahlen 50
1.12.4 Multiplizieren komplexer Zahlen 51
1.12.5 Dividieren komplexer Zahlen 52
1.12.6 Potenzieren komplexer Zahlen 54
1.12.7 Radizieren komplexer Zahlen 55
1.12.8 Eulersche Formel 57
1.13 Beweisprinzipien 58
1.13.1 Direkter Beweis 58
1.13.2 Beweis durch Kontraposition 59
1.13.3 Widerspruchsbeweis (indirekter Beweis) 59
1.13.4 Beweis mit vollständiger Induktion 59
2 Gleichungen 63
2.1 Gleichungsarten 63
2.2 Äquivalente Umformungen 66
2.3 Lineare Gleichungen 67
2.4 Proportionen 69
2.5 Quadratische Gleichungen 71
2.5.1 Definitionen 71
2.5.2 Lösungsverfahren 71
2.5.3 Satz von Vieta für quadratische Gleichungen 77
2.6 Algebraische Gleichungen höheren Grades 78
2.6.1 Kubische Gleichungen 78
2.6.2 Polynomdivision 80
2.6.3 Gleichungen vierten Grades 82
2.6.4 Gleichungen n-ten Grades 86
2.6.5 Satz von Vieta für Gleichungen n-ten Grades 87
2.7 Auf algebraische Gleichungen zurückfuhrbare Gleichungen 89
2.7.1 Bruchgleichungen 89
2.7.2 Wurzelgleichungen 90
2.8 Transzendente Gleichungen 93
2.8.1 Exponentialgleichungen 93
2.8.2 Logarithmische Gleichungen 94
2.8.3 Trigonometrische Gleichungen 95
2.9 Lineare Gleichungssysteme 96
2.9.1 Definitionen 96
2.9.2 Zwei lineare Gleichungen mit zwei Variablen 97
2.9.3 Drei lineare Gleichungen mit drei Variablen 101
2.9.4 Matrizen und Determinanten 103
2.10 Lineare Ungleichungen 115
2.10.1 Definitionen 115
2.10.2 Lineare Ungleichungen mit einer Variablen 115
2.10.3 Lineare Ungleichungen mit zwei Variablen 116
2.10.4 Lineare Ungleichungssysteme mit zwei Variablen 118
3 Planimetrie 121
3.1 Geraden und Strecken 121
3.2 Winkel 122
3.3 Grundkonstruktionen mit Zirkel und Lineal 126
3.4 Projektion 129
3.5 Geometrische Örter 130
3.6 Dreiecke 131
3.6.1 Allgemeine Dreiecke 131
3.6.2 Gleichschenklige Dreiecke 133
3.6.3 Gleichseitige Dreiecke 133
3.6.4 Rechtwinklige Dreiecke 134
3.6.5 Besondere Geraden, Strecken und Kreise 135
3.6.6 Flächensätze im rechtwinkligen Dreieck 139
3.6.7 Kongruenz von Dreiecken 141
3.6.8 Grundkonstruktionen des Dreiecks 143
3.7 Vierecke 146
3.7.1 Allgemeine Vierecke 146
3.7.2 Trapeze 148
3.7.3 Parallelogramme 149
3.7.4 Rhomben 150
3.7.5 Rechtecke 150
3.7.6 Quadrate 151
3.7.7 Drachen 151
3.7.8 Sehnenvierecke 152
3.7.9 Tangen tenvierecke 153
3.8 Reguläre "-Ecke 154
3.9 Polygone 156
3.10 Kreise 157
3.10.1 Definitionen 157
3.10.2 Kreissektoren 159
3.10.3 Kreissegmente 160
3.10.4 Kreise und Geraden 161
3.10.5 Winkelsätze am Kreis 161
3.10.6 Eigenschaften von Sekanten und Sehnen 162
3.10.7 Tangentenkonstruktionen 163
3.10.8 Sätze über Sehnen, Sekanten, Tangenten 165
3.10.9 Bogenmaß 166
3.11 Symmetrie 168
3.11.1 Punktsymmetrie 168
3.11.2 Achsensymmetrie 168
3.12 Ähnlichkeit 168
3.12.1 Zentrische Streckung 168
3.12.2 Strahlensätze 169
3.12.3 Ähnliche Figuren 170
3.12.4 Streckenteilungen 172
4 Stereometrie 177
4.1 Prismen 177
4.1.1 Allgemeine Prismen 177
4.1.2 Parallelepiped und Würfel 178
4.2 Zylinder 180
4.2.1 Allgemeine Zylinder 180
4.2.2 Gerade Kreiszylinder 181
4.2.3 Hohlzylinder 182
4.3 Pyramiden 182
4.3.1 Allgemeine Pyramiden 182
4.3.2 Gerade quadratische Pyramiden 184
4.4 Kegel 185
4.4.1 Allgemeine Kegel 185
4.4.2 Gerade Kreiskegel 186
4.5 Cavalierisches Prinzip 187
4.6 Pyramidenstümpfe und Kegelstümpfe 187
4.6.1 Pyramidenstümpfe 187
4.6.2 Kegelstümpfe 188
4.7 Platonische Körper 190
4.8 Kugeln 192
4.8.1 Definitionen 192
4.8.2 Kugelsegmente 193
4.8.3 Kugelsektoren 194
4.8.4 Kugelschichten 195
5 Funktionen 197
5.1 Definition und Darstellungen von Funktionen 197
5.1.1 Definitionen 197
5.1.2 Funktionsgleichung 198
5.1.3 Graph einer Funktion 200
5.1.4 Wertetabelle einer Funktion 201
5.2 Verhalten von Funktionen 201
5.2.1 Monotone Funktionen 201
5.2.2 Symmetrische Funktionen 203
5.2.3 Beschränkte Funktionen 204
5.2.4 Injektive Funktionen 205
5.2.5 Surjektive Funktionen 206
5.2.6 Bijektive Funktionen 206
5.2.7 Periodische Funktionen 207
5.2.8 Umkehrfunktionen 207
5.2.9 Reelle und komplexe Funktionen 209
5.3 Einteilung der elementaren Funktionen 210
5.4 Ganze rationale Funktionen 214
5.4.1 Konstante Funktionen 214
5.4.2 Lineare Funktionen 215
5.4.3 Quadratische Funktionen 218
5.4.4 Kubische Funktionen 227
5.4.5 Ganze rationale Funktionen n-ten Grades 228
5.4.6 Horner-Schema 231
5.5 Gebrochene rationale Funktionen 232
5.5.1 Nullstellen, Pole, Asymptoten 232
5.5.2 Partialbruchzerlegung 240
5.6 Irrationale Funktionen 243
5.7 Transzendente Funktionen 246
5.7.1 Exponentialfunktionen 246
5.7.2 Logarithmusfunktionen 248
6 Trigonometrie 251
6.1 Definition der trigonometrischen Funktionen 251
6.2 Trigonometrische Funktionen für beliebige Winkel 254
6.3 Beziehungen für den gleichen Winkel 256
6.4 Graphen der trigonometrischen Funktionen 257
6.5 Reduktionsformeln 260
6.6 Additionstheoreme 261
6.7 Sinussatz und Kosinussatz 264
6.8 Grundaufgaben der Dreiecksberechnung 265
6.9 Arkusfunktionen 269
7 Analytische Geometrie 275
7.1 Koordinatensysteme 275
7.1.1 Kartesisches Koordinatensystem der Ebene 276
7.1.2 Polarkoordinatensystem der Ebene 277
7.1.3 Zusammenhang zwischen kartesischen und Polarkoordinaten ... 277
7.1.4 Kartesisches Koordinatensystem des Raums 280
7.1.5 Kugelkoordinatensystem des Raums 280
7.1.6 Zylinderkoordinatensystem des Raums 282
7.2 Geraden 283
7.2.1 Geradengleichungen 283
7.2.2 Abstände 289
7.3 Kreise 291
7.3.1 Kreisgleichungen 291
7.3.2 Berechnung von Kreisen 294
7.3.3 Kreis und Gerade 295
7.4 Kugeln 300
7.5 Kegelschnitte 301
7.5.1 Ellipsen 304
7.5.2 Hyperbeln 308
7.5.3 Parabeln 314
7.5.4 Anwendungen 319
7.6 Graphisches Lösen von Gleichungen 324
7.7 Vektoren 329
7.7.1 Definitionen 329
7.7.2 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar 330
7.7.3 Addition und Subtraktion zweier Vektoren 330
7.7.4 Komponentendarstellung von Vektoren in der Ebene 332
7.7.5 Komponentendarstellung von Vektoren im Raum 333
7.7.6 Skalarprodukt 334
7.7.7 Vektorprodukt 336
7.7.8 Spatprodukt 337
8 Differential- und Integralrechnung 341
8.1 Folgen 341
8.1.1 Grundbegriffe 341
8.1.2 Arithmetische Folgen 343
8.1.3 Geometrische Folgen 343
8.1.4 Grenzwert einer Folge 344
8.1.5 Tabelle einiger Grenzwerte 345
8.1.6 Divergente Folgen 346
8.2 Reihen 347
8.2.1 Definitionen 347
8.2.2 Arithmetische Reihen 350
8.2.3 Geometrische Reihen 351
8.2.4 Harmonische Reihen 352
8.2.5 Alternierende Reihen 353
8.3 Grenzwerte von Funktionen 354
8.3.1 Grenzwert an einer endlichen Stelle 354
8.3.2 Einseitige Grenzwerte 356
8.3.3 Grenzwert im Unendlichen 356
8.3.4 Rechenregeln für Grenzwerte 357
8.3.5 Unbestimmte Ausdrücke 358
8.3.6 Stetigkeit einer Funktion 359
8.3.7 Unstetigkeitsstellen 360
8.4 Ableitung einer Funktion 362
8.4.1 Definitionen 362
8.4.2 Differentiationsregeln 364
8.4.3 Höhere Ableitungen 368
8.4.4 Ableitungen einiger algebraischer Funktionen 369 o
8.4.5 Ableitungen einiger transzendenter Funktionen 370
8.4.6 Sekanten und Tangenten 373
8.4.7 Extremwerte von Funktionen 374
8.4.8 Krümmungsverhalten von Funktionen 376
8.4.9 Wendepunkte von Funktionen 378
8.4.10 Kurvendiskussion 379
8.4.11 Anwendungsbeispiele 381
8.4.12 Näherungsverfahren zur Nullstellenbestimmung 382
8.5 Integralrechnung 385
8.5.1 Unbestimmtes Integral 385
8.5.2 Integrationsregeln 387
8.5.3 Unbestimmte Integrale einiger algebraischer Funktionen 392
8.5.4 Unbestimmte Integrale einiger transzendenter Funktionen 393
8.5.5 Bestimmtes Integral 394
8.5.6 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 396
8.5.7 Eigenschaften des bestimmten Integrals 397
8.5.8 Einige Anwendungen der Integralrechnung 399
8.6 Funktionenreihen 404
8.6.1 Definitionen 404
8.6.2 Potenzreihen 406
8.6.3 Fourier-Reihen 410
9 Kombinatorik 419
9.1 Kombinatorische Grundprinzipien 419
9.2 Fakultäten, Binomialkoeffizienten und Pascalsches Dreieck 421
9.3 Binomischer Lehrsatz 424
9.4 Permutationen und Variationen 425
9.5 Kombinationen 427
9.6 Permutationen mit eingeschränkter Wiederholung 431
9.7 Multinomialsatz 432
9.8 Prinzip der Inklusion und Exklusion 433
10 Wahrscheinlichkeitsrechnung 437
10.1 Zufällige Ereignisse 437
10.2 Absolute und relative Häufigkeit von Ereignissen 440
10.3 Stichproben 441
10.4 Axiomatische Definition der Wahrscheinlichkeit 448
10.5 Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit 450
10.6 Bedingte Wahrscheinlichkeiten 457
10.7 Zufallsvariablen 461
Symbole und Bezeichnungsweisen 465
Mathematische Konstanten 469
Das griechische Alphabet 471
Literaturverzeichnis 473
Sachverzeichnis 475