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Übersicht über die in den einzelnen ,Abschnitten eingeführten Zeichen ,und ihre Bedeutung 15
1. Aus der mathematischen Logik
1.1. Wissenschaftssprache und natürliche Sprache 20
1.2. Einige Grundbegriffe der mathematischen Logik . . . 21
1.2.1. Konstante, Variable, Terme 21
1.2.2. Aussagen 23
1.2;3. Aussageformen 24
1.3. Logische Operationen 26
1.3.1. Aussagenfunktionen 26
1.3.2. Wahrheitsfunktionen 28
1.3.3. Zur Negation 28
1.3.4. Zur Konjunktion 29
1.3.5. Zur Alternative, Antivalenz 29
1.3.6. Zur Implikation 30
1.3.7. Zur Äquivalenz 31
1.4. Logische Ausdrücke 31
1.4.1. Aussagenlogische Ausdrücke 31
1.4.2. Aussagenlogische Äquivalenzen und Identitäten.... 32
1.4.3. Prädikatenlogische Ausdrücke 33
1.5. Logisches Schließen 35
1.5.1. Zum Folgerungsbegriff 35
1.5.2. Aussagenlogisches Schließen 37
1.5.3. Prädikatenlogisches Schließen 40
1.6. Zur Erkenntnisgewinnung in mathematischen Disziplinen ,40
1.6.1. Reduktive Methoden der Erkenntnisfindung 41
1.6.2. Zur axiomatischen Methode 41
1.6.3. Zum Definieren mathematischer Begriffe 42
1.6.4. Zum Beweisen mathematischer Sätze ,(Erkenntnissicherung) 44
1.6.4.1. Direkter Beweis 45
1.6.4.2. Indirekter Beweis 47
1.6.4.3. Beweis durch vollständige Induktion 47
1.6.5. Zum Modellbegriff in der Mathematik 49
2. Aus der Mengenlehre
2.1. Mengenbildung 50
2.2. Beziehungen zwischen Mengen 52
2.2.1. Gleichheit von Mengen 52
2.2.2. Inklusion von Mengen 52
2.2.3. Potenzmengen 53
2.3. Operationen mit Mengen 54
2.3.1. Komplementärmenge 54
2.3.2. Durchschnitt von Mengen 54
2.3.3. Vereinigung von Mengen 55
2.3.4. Differenz von Mengen 57
2.4. Abbildungen von Mengen 58
2.4.1. Produktmenge 58
2.4.2. Zum Abbildungsbegriff 60
2.4.3. Funktionen 62
2.5. Relationen zwischen Mengen 63
2.5.1. Zweistellige Relationen 63
2.5.2. Ordnungsrelationen 64
2.5.3. Äquivalenzrelationen 64
2.6. Algebraische Operationen 65
2.6.1. Ein- und zweistellige Operationen 65
2.6.2. Isomorphie von Mengen bezüglich der Operationen 66 ,(Relationen) 67
2.7. Algebraische Strukturen 67
2.7.1. Zur Struktur "Körper" 67
2.7.2. Zur Struktur "Vektorraum" 69
2.8. Mächtigkeit von Mengen
3. Zahlen, Zahlenbereiche
3.1. Der Bereich der natürlichen Zahlen 72
3.1.1. Zum Begriff "natürliche Zahl" 72
3.1.2. Darstellung natürlicher Zahlen 73
3.1.3. Algebraische Operationen in der Menge der natürlichen Zahlen 76
3.1.3.1. Addition natürlicher Zahlen 76
3.1.3.2. Multiplikation natürlicher Zahlen 77
3.1.3.3. Potenzierung natürlicher Zahlen 78
3.1.4. Ordnungsrelationen in der Menge der natürlichen ,Zahlen 79
3.1.5. Veranschaulichung von natürlichen Zahlen 80
3.1.6. Teilbarkeitsrelation in der Menge der natürlichen ,Zahlen 81
3.1.6.1. Teiler und Vielfache natürlicher Zahlen 81
3.1.6.2. Primzahlen 82
3.1.6.3. Zerlegung einer natürlichen Zahl in Primfaktoren .. 83
3.1.6.4. Teilbarkeitsregeln 83
3.1.6.5. Gemeinsamer Teiler 84
3.1.6.6. Gemeinsames Vielfaches 86
3.1.7. Kombinatorische Anzahlbestimmungen 87
3.1.7.1. Permutationen 88
3.1.7.2. Variationen 91
3.1.7.3. Kombinationen 92
3.1.7.4. Übersicht über die Formeln zu kombinatorischen ,Anzahlbestimmungen 93
3.1.8. Notwendigkeit und Möglichkeiten der Erweiterung ,des Bereichs der natürlichen Zahlen 93
3.2. Der Bereich der gebrochenen Zahlen 95
3.2.1. Die Menge der gebrochenen Zahlen 95
3.2.2. Ordnungsrelation in der Menge der gebrochenen ,Zahlen 97
3.2.3. Algebraische Operationen in der Menge der gebrochenen ,Zahlen 97
3.2.3.1. Addition gebrochener Zahlen 97
3.2.3.2. Multiplikation gebrochener Zahlen 98
3.2.4. Die Menge der natürlichen Zahlen als Teilmenge der ,Menge der gebrochenen Zahlen 99
3.2.5. Darstellung gebrochener Zahlen im dekadischen ,Positionssystem 101
3.2.5.1. Zehnerbrüche, Dezimalbrüche 101
3.2.5.2. Ordnungsrelation für gebrochene Zahlen in Dezimalbruchdarstellung ,104
3.2.5.3. Rechenoperationen für gebrochene Zahlen in Dezimalbruchdarstellung 104
3.3. Der Bereich der rationalen Zahlen 105
3.3.1. Die Menge der rationalen Zahlen 105
3.3.2. Der absolute Betrag einer rationalen Zahl 107
3.3.3. Ordnungsrelationen und algebraische Operationen ,in der Menge der rationalen Zahlen 108
3.3.3.1. Ordnungsrelationen in Q 108
3.3.3.2. Algebraische Operationen in Q 108
3.3.4. Die Menge der gebrochenen Zahlen als Teilmenge ,der Menge der rationalen Zahlen 110
3.3.5. Beschränkte Teilmengen in Q 110
3.3.6. Der Bereich der ganzen Zahlen 112
3.3.7. Teilbarkeitsrelation in der Menge der ganzen ,Zahlen 113
3.3.7.1. Erweiterung der Teilbarkeitsrelation von der Menge ,der natürlichen Zahlen auf die Menge der ganzen , Zahlen 113
3.3.7.2. Zahlenkongruenzen 113
3.3.7.3. Restklassen modulo m 113
3.3.7.4. Rechenregeln für Zahlenkongruenzen zu dem festen ,Modul m 115
3.4. Der Bereich der reellen Zahlen 116
3.4.1. Die Menge der reellen Zahlen 116
3.4.2. Ordnungsrelationen und Rechenoperationen in R .. 118
3.4.3. Definition des Wurzelbegriffs .. 119
3.4.4. Potenzieren in R 120
3.4.5. Radizieren in R 121
3.4.6. Logarithmieren in R 123
3.5. Der Bereich der komplexen Zahlen 127
3.5.1. Zum Begriff "komplexe Zahl" 127
3.5.2. Der Bereich der komplexen Zahlen 128
3.5.3. Trigonometrische Darstellung der komplexen Zahl . 130
3.5.4. Exponentialform einer komplexen Zahl 131
3.6. Übersicht über den Auf bau der Zahlenbereiche.... 132
4. Gleichungen und Ungleichungen
4.1. Gleichheitsrelation, Begriffe "Gleichung" und "Ungleichung" 133
4.2. Einteilung der Gleichungen 134
4.3. Zum Lösen von Gleichungen 135
4.3.1. Variablengrundbereich, Lösungsgrundmenge, Lösungsmenge 135
4.3.2. Fundamentalsatz der Algebra für algebraische Gleichungen 138
4.3.3. System von Regeln für äquivalente Umformungen von Gleichungen (Gleichungskalkül) 139
4.4. Lösen algebraischer Gleichungen 140
4.4.1. Lineare Gleichungen mit einer Variablen 140
4.4.2. Lineare Gleichungen mit mehr als einer Variablen .. 147
4.4.3. Lineare diophantische Gleichungen mit zwei Variablen 148
4.4.4. Gleichungen mit Beträgen 149
4.4.5. Quadratische Gleichungen 150
4.4.6. Zu Gleichungen 3. und 4. Grades 155
4.4.7. Wurzelgleichungen mit einer Variablen 158
4.5. Lösen transzendenter Gleichungen 159
4.5.1. Exponentialgleichungen 159
4.5.2. Logarithmische Gleichungen 160
4.5.3. Goniometrische Gleichungen 161
4.6. Verfahren zur Verbesserung von Näherungswerten für Lösungen von Gleichungen 165
4.6.1. Sekantennäherungsverfahren (Regula falsi) 165
4.6.2. Tangentennäherungsverfahren (Newtonsches Verfahren) 166
4.7. Lösen von Gleichungssystemen 167
4.7.1. Lösungsgrundbereich und Lösungsmenge eines Gleichungssystems 167
4.7.2. Lösen linearer Gleichungssysteme 168
4.7.3. Lösen nichtlinearer Gleichungssysteme von zwei Gleichungen mit zwei Variablen 173
4.8. Textaufgaben, die auf Gleichungen führen; Größengleichungen 174
4.9. Zum Lösen von Ungleichungen 176
4.9.1. Zum Ungleichungsbegriff 176
4.9.2. Lösungsverfahren für Ungleichungen 177
4.10. Lösen algebraischer Ungleichungen 178
4.10.1. Lineare Ungleichungen mit genau einer Variablen .. 178
4.10.2. Simultane Ungleichungen mit einer Variablen 180
4.10.3. Linear gebrochene Ungleichungen mit einer Variablen 180
4.10.4. Lineare Ungleichungen mit genau zwei Variablen .. 182
4.10.5. Ungleichungen mit absoluten Beträgen 183
4.10.6. Quadratische Ungleichungen 184
4.10.7. Wurzelungleichungen 185
4.11. Ungleichungssysteme 187
4.11.1. Lineare Ungleichungssysteme 187
4.11.2. Quadratische Ungleichungssysteme mit zwei Variablen 190
5. Elementare Geometrie
5.1. Geometrie der Ebene 191
5.1.1. Grundlagen 191
5.1.2. Bewegungen 197
5.1.3. Kongruenz geometrischer Figuren 200
5.1.4. Beziehungen zwischen Winkeln 204
5.1.5. Messung von Strecken und Winkeln 206
5.1.6. Ähnlichkeitsabbildungen 209
5.1.6.1. Strahlensatz 209
5.1.6.2. Anwendungen des Strahlensatzes 211
5.1.6.3. Zentrische Streckung 213
5.1.6.4. Ähnlichkeit 214
5.1.7. Affine Abbildungen 215
5.1.8. Zum Konstruieren geometrischer Figuren 215
5.1.9. Ebene "-Ecke, elementarer Inhalt 221
5.1.9.1. Zum Begriff ""-Eck" 221
5.1.9.2. Regelmäßige "-Ecke 223
5.1.9.3. Inhalt von n-Ecksflächen 223
5.1.9.4. Ähnlichkeit von "-Ecken 225
5.1.10. Dreiecke 226
5.1.10.1. Zum Begriff "Dreieck" 226
5.1.10.2. Beliebige Dreiecke 226
5.1.10.3. Gleichschenklige Dreiecke 231
5.1.10.4. Gleichseitige Dreiecke 232
5.1.10.5. Rechtwinklige Dreiecke 232
5.1.10.6. Dreieckskonstruktionen 234
5.1.11. Vierecke 236
5.1.11.1. Zum Begriff "Viereck" 236
5.1.11.2. Konstruktion von Vierecken 238
5.1.11.3. Übersicht über Arten der Vierecke 238
5.1.11.4. Trapeze 240
5.1.11.5. Parallelogramme 241
5.1.11.6. Rhomben, Rechtecke, Quadrate : 242
5.1.11.7. Drachenvierecke 243
5.1.12. Zur Konstruktion regelmäßiger n-Ecke 243
5.1.13. Der Kreis 246
5.1.13.1. Zum Begriff "Kreis" 246
5.1.13.2. Kreis und Tangente 247
5.1.13.3. Kreis und Viereck 247
5.1.13.4. Kreis und Winkel 248
5.1.13.5. Zwei Kreise 251
5.1.13.6. Verhältnisbeziehungen am Kreis 253
5.1.13.7. Kreisberechnung 254
5.1.14. Trigonometrische Berechnungen an ebenen Figuren 256
5.1.14.1. Zur Anwendung der Winkelfunktionen in der ebenen mGeometrie 256
5.1.14.2. Berechnungen an rechtwinkligen und gleichschenkligen mDreiecken 256
5.1.14.3. Berechnungen an beliebigen Dreiecken 259
5.2. Aus der darstellenden Geometrie 266
5.2.1. Zum Projektionsbegriff 266
5.2.2. Schräge Parallelprojektion 268
5.2.3. Senkrechte Parallelprojektion (Normalprojektion) .. 270
5.2.3.1. Ein- und Zweitafelverfahren 270
5.2.3.2. Darstellung von Strecken und Geraden in Zweitafelprojektion 272
5.2.3.3. Darstellung von ebenen Figuren in Zweitafelprojektion m 278
5.2.3.4. Inzidenz von Punkten, Geraden und ebenen Figuren mit Ebenen 277
5.2.3.5. Projektion von Körpern 274
5.2.3.6. Schnitte durch ebenflächige Körper 280
5.2.3.7. Ebene Schnitte durch Kreiskegel 281
5.3. Geometrie des (dreidimensionalen) Raumes 284
5.3.1. Grundlagen 284
5.3.2. Zum Inhaltsbegriff im Raum 289
5.3.3. Zum geometrischen Körperbegriff 290
5.3.4. Ebenflächige Körper (Polyeder) 291
5.3.4.1. Allgemeines Polyeder 291
5.3.4.2. Prismen 292
5.3.4.3. Pyramide und Pyramidenstumpf 294
5.3.4.4. Reguläre Polyeder 296
5.3.5. Teils krummfiächig begrenzte Körper 297
5.3.5.1. Zylinder und Zylinderstumpf 297
5.3.5.2. Kegel und Kegelstumpf 299
5.3.6. Kugel und Kugelteile 302
5.4. Geometrie auf der Kugelfläche 304
5.4.1. Grundlagen 304
5.4.2. Sphärische Trigonometrie 307
Sachwortverzeichnis 315