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Vorbestellen	Zweigstelle: 07., Urban-Loritz-Pl. 2a	Standorte: NN.M Karp / College 6a - Naturwissenschaften	Status: Verfügbar	Frist:	Vorbestellungen: 0

Dieses Buch bietet eine übersichtliche und gut verständliche Einführung in die Höhere Mathematik mit zahlreichen Beispielen. Der Autor zeigt, wie man typische Aufgaben rezeptartig lösen kann, und teilt den Stoff in kurze, gut verdauliche Lerneinheiten ein.

 

 

Haben Sie schon einmal ein 3-Gänge-Menü anhnd eines Rezepts gekocht? Das klappt im Allgemeinen ganz gut, auch wenn man kein großer Koch ist. Was das mit Mathematik zu tun hat? Na ja, man kann auch viele mathematische Probleme rezeptartig lösen: Brauchen Sie die Lösung einer Riccati'schen Differenzialgleichung oder die Singulärwertzerlegung einer Matrix? Schlagen Sie in diesem Buch nach, hier finden Sie ein Rezept dazu. Rezepte gibt es zu Problemen aus der

 

 

Analysis in einer und mehreren Variablen,

linearen Algebra,

Vektoranalysis,

Theorie zu Differenzialgleichungen, gewöhnlich und partiell,

Theorie der Integraltransformationen,

Funktionentheorie.

 

 

Weitere Besonderheiten dieses Buches sind:

 

 

Die Einteilung der Höheren Mathematik in ca. 100 etwa gleich lange Kapitel. Jedes Kapitel behandelt etwa den Stoff einer 90-minütigen Vorlesung.

 

Viele Aufgaben, die Lösungen dazu findet man in dem dazu gehörigen Arbeitsbuch.

 

 

Viele Probleme der Höheren Mathematik lassen sich mit dem Computer lösen. Wir geben stets an, wie es mit MATLAB® funktioniert.

 

 

Die vorliegende 4. Auflage wird begleitet von mehr als 300 Flashcards (Springer-Nature-Flashcards-App), die auf ehemaligen Prüfungsaufgaben basieren. Sie bieten eine ideale Prüfungsvorbereitung, da sie sowohl das Verständnis der Theorie als auch die Rechenfertigkeiten fördern. Außerdem wurde das Buch vollständig durchgesehen und an zahlreichen Stellen um Beispiele, Bilder, Erklärungen und weitere Aufgaben ergänzt.

 

 

Aus dem Inhalt:

Sprechweisen, Symbole und Mengen /. Sprechweisen und Symbole der Mathematik /. Summen- und Produktzeichen /. Potenzen und Wurzeln /. Symbole der Mengenlehre /. Aufgaben / Die natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen /. Die natürlichen Zahlen /. Die ganzen Zahlen /. Die rationalen Zahlen /. Aufgaben / Die reellen Zahlen /. Grundlegendes /. Reelle Intervalle /. Der Betrag einer reellen Zahl /. n-te Wurzeln /. Lösen von Gleichungen und Ungleichungen /. Maximum, Minimum, Supremum und Infimum /. Aufgaben / Maschinenzahlen /. b-adische Darstellung reeller Zahlen /. Gleitpunktzahlen /. Aufgaben / Polynome /. Polynome - Multiplikation und Division /. Faktorisierung von Polynomen /. Auswerten von Polynomen /. Partialbruchzerlegung /. Aufgaben / Trigonometrische Funktionen /. Sinus und Kosinus /. Tangens und Kotangens /. Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen /. Aufgaben / / Komplexe Zahlen – Kartesische Koordinaten /. Konstruktion von C /. Die imaginäre Einheit und weitere Begriffe /. Der Fundamentalsatz der Algebra /. Aufgaben / Komplexe Zahlen - Polarkoordinaten /. Die Polardarstellung /. Anwendungen der Polardarstellung /. Aufgaben / Lineare Gleichungssysteme /. Das Gauß’sche Eliminationsverfahren /. Der Rang einer Matrix /. Homogene lineare Gleichungssysteme /. Aufgaben / Rechnen mit Matrizen /. Definition von Matrizen und einige besondere Matrizen /. Rechenoperationen /. Invertieren von Matrizen /. Rechenregeln /. Aufgaben / L R-Zerlegung einer Matrix /. Motivation /. Die L R-Zerlegung - vereinfachte Variante /. Die L R-Zerlegung - allgemeine Variante /. Die L R-Zerlegung - mit Spaltenpivotsuche /. Aufgaben / Die Determinante /. Definition der Determinante /. Berechnung der Determinante /. Anwendungen der Determinante /. Aufgaben / Vektorräume /. Definition und wichtige Beispiele /. Untervektorräume /. Aufgaben / Erzeugendensysteme und lineare (Un-)Abhängigkeit /. Linearkombinationen /. Das Erzeugnis von X /. Lineare (Un-)Abhängigkeit /. Aufgaben / Basen von Vektorräumen /. Basen /. Anwendungen auf Matrizen und lineare Gleichungssysteme /. Aufgaben / Orthogonalität I /. Skalarprodukte /. Länge, Abstand, Winkel und Orthogonalität /. Orthonormalbasen /. Orthogonale Zerlegung und Linearkombination bezüglich einer ONB /. Orthogonale Matrizen /. Aufgaben / Orthogonalität II /. Das Orthonormierungsverfahren von Gram und Schmidt /. Das Vektor- und das Spatprodukt /. Die orthogonale Projektion /. Aufgaben / Das lineare Ausgleichsproblem /. Das lineare Ausgleichsproblem und seine Lösung /. Die orthogonale Projektion /. Lösung eines überbestimmten linearen Gleichungssystems /. Die Methode der kleinsten Quadrate /. Aufgaben / Die Q R-Zerlegung einer Matrix /. Volle und reduzierte Q R-Zerlegung /. Konstruktion der Q R-Zerlegung /. Anwendungen der Q R-Zerlegung /. Aufgaben / Folgen /. Begriffe /. Konvergenz und Divergenz von Folgen /. Aufgaben / Berechnung von Grenzwerten von Folgen /. Grenzwertbestimmung bei einer expliziten Folge /. Grenzwertbestimmung bei einer rekursiven Folge /. Aufgaben / Reihen /. Definition und Beispiele /. Konvergenzkriterien /. Aufgaben / Abbildungen /. Begriffe und Beispiele /. Verkettung, injektiv, surjektiv, bijektiv /. Die Umkehrabbildung /. Beschränkte und monotone Funktionen /. Aufgaben / Potenzreihen /. Der Konvergenzbereich reeller Potenzreihen /. Der Konvergenzbereich komplexer Potenzreihen /. Die Exponential- und die Logarithmusfunktion /. Die hyperbolischen Funktionen /. Aufgaben / Grenzwerte und Stetigkeit /. Grenzwerte von Funktionen /. Asymptoten von Funktionen /. Stetigkeit /. Wichtige Sätze zu stetigen Funktionen /. Das Bisektionsverfahren /. Aufgaben / Differentiation /. Die Ableitung und die Ableitungsfunktion /. Ableitungsregeln /. Numerische Differentiation /. Aufgaben / Anwendungen der Differentialrechnung I /. Monotonie /. Lokale und globale Extrema /. Bestimmung der Extrema und Extremalstellen /. Konvexität /. Die Regel von L’Hospital /. Aufgaben / Anwendungen der Differentialrechnung II /. Das Newtonverfahren /. Taylorentwicklung /. Restgliedabschätzungen /. Bestimmung von Taylorreihen /. Aufgaben / Polynom-und Splineinterpolation /. Polynominterpolation /. Konstruktion kubischer Splines /. Aufgaben / / Integration I /. Das bestimmte Integral /. Das unbestimmte Integral /. Aufgaben / Integration II /. Integration rationaler Funktionen /. Rationale Funktionen in Sinus und Kosinus /. Numerische Integration /. Volumina und Oberflächen von Rotationskörpern /. Aufgaben / Uneigentliche Integrale /. Berechnung uneigentlicher Integrale /. Das Majorantenkriterium für uneigentliche Integrale /. Aufgaben / Separierbare und lineare Differentialgleichungen . Ordnung /. Erste Differentialgleichungen /. Separierbare Differentialgleichungen /. Die lineare Differentialgleichung Ordnung /. Aufgaben / / Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten /. Homogene lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten /. Inhomogene lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten /. Aufgaben / Einige besondere Typen von Differentialgleichungen /. Die homogene Differentialgleichung /. Die Euler’sche Differentialgleichung /. Die Bernoulli’sche Differentialgleichung /. Die Riccati’sche Differentialgleichung /. Der Potenzreihenansatz /. Aufgaben / Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen I /. Erste Verfahren /. Runge-Kuttaverfahren /. Mehrschrittverfahren /. Aufgaben / Lineare Abbildungen und Darstellungsmatrizen /. Definitionen und Beispiele /. Bild, Kern und die Dimensionsformel /. Koordinatenvektoren /. Darstellungsmatrizen /. Aufgaben / Basistransformation /. Die Darstellungsmatrix der Verkettungen linearer Abbildungen /. Basistransformation /. Die zwei Methoden zur Bestimmung von Darstellungsmatrizen /. Aufgaben / Diagonalisierung - Eigenwerte und Eigenvektoren /. Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen /. Diagonalisieren von Matrizen /. Das charakteristische Polynom einer Matrix /. Diagonalisierung reeller symmetrischer Matrizen /. Aufgaben / Numerische Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren /. Gerschgorinkreise /. Vektoriteration /. Das Jacobiverfahren /. Das Q R- Verfahren /. Aufgaben / Quadriken /. Begriffe und erste Beispiele /. Transformation auf Normalform /. Aufgaben / Schurzerlegung und Singulärwertzerlegung /. Die Schurzerlegung /. Berechnung der Schurzerlegung /. Singulärwertzerlegung /. Bestimmung der Singulärwertzerlegung /. Aufgaben / Die Jordannormalform I /. Existenz der Jordannormalform /. Verallgemeinerte Eigenräume /. Aufgaben / Die Jordannormalform II /. Konstruktion einer Jordanbasis /. Anzahl und Größe der Jordankästchen /. Aufgaben / Definitheit und Matrixnormen /. Definitheit von Matrizen /. Matrixnormen /. Aufgaben / Funktionen mehrerer Veränderlicher /. Die Funktionen und ihre Darstellungen /. Einige topologische Begriffe /. Folgen, Grenzwerte, Stetigkeit /. Aufgaben / Partielle Differentiation - Gradient, Hessematrix, Jacobimatrix /. Der Gradient /. Die Hessematrix /. Die Jacobimatrix /. Aufgaben / Anwendungen der partiellen Ableitungen /. Das (mehrdimensionale) Newtonverfahren /. Taylorentwicklung /. Aufgaben / / / Extremwertbestimmung /. Lokale und globale Extrema /. Bestimmung der Extrema und Extremalstellen /. Aufgaben / Extremwertbestimmung unter Nebenbedingungen /. Extrema unter Nebenbedingungen /. Das Einsetzverfahren /. Die Lagrange’sche Multiplikatorenregel /. Extrema unter mehreren Nebenbedingungen /. Aufgaben / Totale Differentiation, Differentialoperatoren /. Totale Differenzierbarkeit /. Das totale Differential /. Differentialoperatoren /. Aufgaben / Implizite Funktionen /. Implizite Funktionen - der einfache Fall /. Implizite Funktionen - der allgemeine Fall /. Aufgaben / Koordinatentransformationen /. Transformationen und Transformationsmatrizen /. Polar-, Zylinder- und Kugelkoordinaten /. Die Differentialoperatoren in kartesischen Zylinder- und Kugelkoordinaten /. Umrechnung von Vektorfeldern und Skalarfeldern /. Aufgaben / Kurven /. Begriffe /. Länge einer Kurve /. Aufgaben / Kurven II /. Umparametrisierung einer Kurve /. Begleitendes Dreibein, Krümmung und Torsion /. Die Leibniz’sche Sektorformel /. Aufgaben / Kurvenintegrale /. Skalare und vektorielle Kurvenintegrale /. Anwendungen der Kurvenintegrale /. Aufgaben / / Gradientenfelder /. Definitionen /. Existenz einer Stammfunktion /. Bestimmung einer Stammfunktion /. Aufgaben / Bereichsintegrale /. Integration über Rechtecke bzw. Quader /. Normalbereiche /. Integration über Normalbereiche /. Aufgaben / Die Transformationsformel /. Integration über Polar-, Zylinder-, Kugel- und weitere Koordinaten /. Anwendung: Massen- und Schwerpunktbestimmung /. Aufgaben / Flächen und Flächenintegrale /. Reguläre Flächen /. Flächenintegrale /. Übersicht über die behandelten Integrale /. Aufgaben / Integralsätze I /. Der ebene Satz von Green /. Der ebene Satz von Gauß /. Aufgaben / Integralsätze II /. Der Divergenzsatz von Gauß /. Der Satz von Stokes /. Aufgaben / Allgemeines zu Differentialgleichungen /. Das Richtungsfeld /. Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen /. Transformation auf Systeme . Ordnung /. Aufgaben / Die exakte Differentialgleichung /. Definition exakter DGLen /. Das Lösungsverfahren /. Aufgaben / / Lineare Differentialgleichungssysteme /. Die Exponentialfunktion für Matrizen /. Die Exponentialfunktion als Lösung linearer DGL-Systeme /. Die Lösung für ein diagonalisierbares /. Aufgaben / Lineare Differentialgleichungssysteme II /. Die Exponentialfunktion als Lösung linearer DGL-Systeme /. Die Lösung für ein nichtdiagonalisierbares A /. Aufgaben / Lineare Differentialgleichungssysteme III /. Lösen von DGL-Systemen /. Stabilität /. Aufgaben / Randwertprobleme /. Typen von Randwertproblemen /. Erste Lösungsmethoden /. Lineare Randwertprobleme /. Die Methode mit der Green’schen Funktion /. Aufgaben / Grundbegriffe der Numerik /. Kondition /. Die Groß-O-Notation /. Stabilität /. Aufgaben / Fixpunktiteration /. Die Fixpunktgleichung /. Die Konvergenz von Iterationsverfahren /. Implementation /. Konvergenzgeschwindigkeit /. Aufgaben / Iterative Verfahren für lineare Gleichungssysteme /. Lösen von Gleichungssystemen durch Fixpunktiteration /. Das Jacobiverfahren /. Das Gauß-Seidelverfahren /. Relaxation /. Aufgaben / Optimierung /. Das Optimum /. Das Gradientenverfahren /. Newtonverfahren /. Aufgaben / Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen II /. Lösungsverfahren für DGL-Systeme /. Konsistenz und Konvergenz von Einschrittverfahren /. Steife Differentialgleichungen /. Randwertprobleme /. Aufgaben / Fourierreihen - Berechnung der Fourierkoeffizienten /. Periodische Funktionen /. Die zulässigen Funktionen /. Entwicklung in Fourierreihen - reelle Version /. Anwendung: Berechnung von Reihenwerten /. Entwicklung in Fourierreihen - komplexe Version /. Aufgaben / Fourierreihen - Hintergründe, Sätze und Anwendung /. Das Orthonormalsystem / , cos(kx), /. Sätze und Regeln /. Anwendung auf lineare Differentialgleichungen /. Aufgaben / Fouriertransformation /. Die Fouriertransformation /. Die inverse Fouriertransformation /. Aufgaben / Fouriertransformation H /. Die Regeln und Sätze zur Fouriertransformation /. Anwendung auf lineare Differentialgleichungen /. Aufgaben / Diskrete Fouriertransformation /. Näherungsweise Bestimmung der Fourierkoeffizienten /. Die inverse diskrete Fouriertransformation /. Trigonometrische Interpolation /. Aufgaben / Die /. Die /. Die Rechenregeln bzw. Sätze zur Laplacetransformation /. Anwendungen /. Aufgaben / / Holomorphe Funktionen /. Komplexe Funktionen /. Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie /. Aufgaben / Komplexe Integration /. Komplexe Kurven /. Komplexe Kurvenintegrale /. Der Cauchyintegralsatz und die Cauchyintegralformel /. Aufgaben / Laurentreihen /. Singularitäten /. Laurentreihen /. Laurentreihenentwicklung /. Aufgaben / Der Residuenkalkül /. Der Residuensatz /. Berechnung reeller Integrale /. Aufgaben / Konforme Abbildungen /. Allgemeines zu konformen Abbildungen /. Möbiustransformationen /. Aufgaben / Harmonische Funktionen und das Dirichlet’sche Randwertproblem /. Harmonische Funktionen /. Das Dirichlet’sche Randwertproblem /. Aufgaben / Partielle Differentialgleichungen . Ordnung /. Lineare pDGLen . Ordnung mit konstanten Koeffizienten /. Lineare pDGLen . Ordnung /. Die quasilineare pDGL erster Ordnung /. Das Charakteristikenverfahren /. Aufgaben / Partielle Differentialgleichungen . Ordnung - Allgemeines /. Erste Begriffe /. Die Typeneinteilung /. Lösungsmethoden /. Aufgaben / Die Laplace-bzw. Poissongleichung /. Randwertprobleme für die Poissongleichung /. Lösungen der Laplacegleichung /. Das Dirichlet’sche Randwertproblem für einen Kreis /. Numerische Lösung /. Aufgaben / Die Wärmeleitungsgleichung /. Anfangs-Randwertprobleme für die Wärmeleitungsgleichung /. Lösungen der Gleichung /. Nullrandbedingung: Lösung mit Fourierreihen /. Numerische Lösung /. Aufgaben / Die Wellengleichung /. Anfangs-Randwertprobleme für die Wellengleichung /. Lösungen der Gleichung /. Die schwingende Saite: Lösung mit Fourierreihen /. Numerische Lösung /. Aufgaben / Lösen von pDGLen mit Fourier- und Laplacetransformation /. Ein einführendes Beispiel /. Das allgemeine Vorgehen /. Aufgaben / / Stichwortverzeichnis