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Woher wissen wir was wahr ist? Wofür brauchen wir mathematische Beweise? Was hat es mit Gödels berühmten Unvollständigkeitssätzen auf sich? In diesem Sachbuch tauchen wir ein in die Aussagekraft mathematischer Systeme und lernen ihre prinzipiellen Grenzen kennen. Nicht jede mathematische Aussage, die man formulieren kann, lässt sich aus den akzeptierten Axiomen auch beweisen oder widerlegen. Die Fundamente der Mathematik sind nicht so stabil und klar, wie es zunächst scheint.

 

Der Autor Jörg Resag hat in theoretischer Teilchenphysik promoviert und ist als erfolgreicher Sachbuchautor bei Springer bekannt für seine leicht verständlichen und anschaulichen Erklärungen wissenschaftlicher Sachverhalte in Büchern und im Internet. Von ihm sind unter anderem erschienen Feynman und die Physik, Grenzen der Wirklichkeit und Faszinierende Physik. (Verlagstext)

 

Angaben zum Inhalt: -- Von den Zahlen bis zur Unendlichkeit. -- Mengen, Logik und die Grundlagenkrise. -- Mathematische Fundamente und Gödels Entdeckung. -- Gödel, Turing und die Grenzen der Beweisbarkeit

 

 

Aus dem Inhalt:

/ 1 Von den Zahlen bis zur Unendlichkeit 1 / Eine Welt ohne Zahlen 2 / Wie die Zahlen entstanden 3 / Geometrie und die Pythagoreischen Tripel 5 / Warum gilt der Satz des Pythagoras? 7 / Die Pythagoreer 10 / Gegen die Vernunft: irrationale Zahlen 12 / Sind irrationale Zahlen real? 19 / Euklids Elemente und die Unendlichkeit der Primzahlen 24 / Wenn Beweise kompliziert werden: der Große Fermatsche Satz 28 / Euklids Axiome der Geometrie 31 / Weniger als Nichts: negative Zahlen 33 / Rechnen mit dem Unbekannten 39 / Der Geist in der Maschine: die Wurzeln negativerZahlen 43 / Komplexe Zahlen 46 / Axiome und Interpretation: die Nichteuklidische Geometrie 53 / Die Mathematik des unendlich Kleinen: von Archimedes zu / Leibniz 60 / Newtons Fluxionen und die Gesetze der Bewegung 68 / Potenzielle und aktuale Unendlichkeit 71 / Literatur 74 / / 2 Mengen, Logik und die Grundlagenkrise 77 / Wenn man Wellen addiert: Fourier-Reihen 78 / Abzählbare Mengen 81 / Sind die reellen Zahlen abzählbar? 84 / Die Mächtigkeit der Ebene 88 / Die Menge aller Teilmengen 90 / Das Rätsel der Kontinuumshypothese 96 / Ein Hauch von Nichts: die Cantormenge 97 / Grenzen der Freiheit 103 / Die Peano-Axiome der natürlichen Zahlen 105 / Natürliche Zahlen als Mengen 109 / Weiter zählen als bis Unendlich: Ordinalzahlen 111 / Peano-Axiome erster und zweiter Stufe 116 / Die Sprache der Logik 121 / Ein Beispiel: Primzahlen 125 / Formale Beweise 127 / Peano-Arithmetik und Mengenlehre als formale Theorien 130 / Gottlob Freges Grundgesetze der Arithmetik 135 / Aufbruch ins zwanzigste Jahrhundert 137 / Die Mathematik stürzt in die Krise 142 / Literatur 146 / / 3 Mathematische Fundamente und Gödels Entdeckung 149 / Die Principia Mathematica entsteht 150 / Wohlgeordnete Mengen und das Auswahlaxiom 154 / Zermelos und Fraenkels Mengenlehre 159 / Was bestimmt die Identität einer Menge? 161 / Vier elementare Existenzaxiome für Mengen 163 / Drei starke Existenzaxiome für Mengen 169 / Das fundierte Mengenuniversum 175 / Das Auswahlaxiom, ein zweischneidiges Schwert 179 / Interpretationen und Modelle 184 / Skolems Paradoxon 190 / Hilberts Programm 200 / Widerspruchsfrei, vollständig und entscheidbar: die / Presburger-Arithmetik 203 / Kurt Gödel, das tragische Jahrhundertgenie 205 / Gödel beweist den Vollständigkeitssatz der Logik erster Stufe 211 / Über die Existenz von Modellen und Interpretationen 213 / Gödels Unvollständigkeitssätze 216 / Literatur 222 / / 4 Gödel, Turing und die Grenzen der Beweisbarkeit 225 / Gödelnummern codieren Formeln 226 / Die Beweisbarkeits-Formel 229 / Wir konstruieren Gödels Aussage G 234 / Ist Gödels Aussage G immer wahr? 236 / Übernatürliche Zahlen und infinitesimale Größen 240 / Unvollständigkeit, Fermatscher Satz und die Goldbachsche / Vermutung 246 / Goodstein-Folgen 250 / Die Peano-Arithmetik ist widerspruchsfrei 256 / Alan Turing und der Begriff der Berechenbarkeit 258 / Das Halteproblem ist nicht universell entscheidbar 263 / Über die Unentscheidbarkeit der Prädikatenlogik erster Stufe 267 / Mit Turingmaschinen zu Gödels erstem Unvollständigkeitssatz 272 / Die algorithmische Komplexität von Ziffernfolgen 273 / Wie hängen Komplexität und Unvollständigkeit zusammen? 276 / Wann sind diophantische Gleichungen lösbar? 280 / Kontinuumshypothese reloaded 286 / Gödels konstruierbares Mengenuniversum 289 / Paul Cohens erzwungene Mengenwelt 295 / Neue Axiome, aber welche? 297 / Das Wesen der Mathematik 299 / Literatur 312 / / Anhang: Zeittafel 313