Dieses Buch thematisiert algebraisches Denken in der Grundschule als wesentlichen Kern der übergreifenden Leitidee „Muster, Strukturen und funktionaler Zusammenhang“ in den aktuellen KMK-Bildungsstandards.
Für algebraische Lehr-Lernprozesse ist eine Unterscheidung zwischen sichtbaren Mustern und allgemeinen Strukturen wesentlich; eine solche wird hier vorgelegt und an vielen Beispielen konkretisiert: Muster machen aufmerksam und lassen neugierig werden. Die Suche nach Begründungen des Musters erwartet, die Tür zu dahinterliegenden Strukturen zu öffnen. Strukturen, d. h. die mathematischen Eigenschaften und Relationen, können so als ursächlich für die Regelmäßigkeit des Musters erkannt werden.
Für die unterrichtliche Förderung und gezielte Unterstützung der algebraischen Denkentwicklung werden in diesem Buch einerseits Grundideen algebraischen Denkens für den Arithmetikunterricht ausgearbeitet und andererseits Prinzipien für Unterricht zu algebraischen Grundideen und ihr Zusammenspiel mit prozessbezogenen, allgemeinen Kompetenzen erläutert. Den vier algebraischen Grundideen folgend werden vielfältige, didaktisch aufbereitete Anregungen zur praktischen Umsetzung sowie jeweils entsprechendes Hintergrundwissen angeboten.
Inhaltsverzeichnis
1 Algebraisches Denken: Eine Grundlegung...........................................................1
1.1 Muster und Strukturen............................................................................................2
1.1.1 Sichtbare Muster und unsichtbare Strukturen.........................................5
1.1.2 Muster als Türöffner zu Strukturen........................................................13
1.2 Algebraisches Denken: Muster entdecken - Strukturen verstehen.............15
1.3 Denkschritte vom Muster zur Struktur: Begriffe und Theorien ......................19
1.4 Exemplarische Entwicklungsmodelle für algebraisches Denken...............29
2 Muster und Strukturen als Grundideen algebraischen Denkens .................... 37
2.1 Grundideen algebraischen Denkens in Forschungsbefunden..........................40
2.2 Grundideen algebraischen Denkens in Lehrplänen und Standards.............47
2.2.1 Internationale Lehrpläne und Standards: Exemplarische
Einblicke..................................................................................................48
2.2.2 Nationale Lehrpläne und Standards: ExemplarischeEinblicke.......... 52
2.3 Grundideen algebraischen Denkens im Arithmetikunterricht...........................58
2.3.1 Arithmetisches Denken - Algebraisches Denken................................ 58
2.3.2 Grundideen als Perspektiven auf Aufgaben: Ein Beispiel................62
2.3.3 Grundideen algebraischen Denkens...................................................... 65
2.4 Bedeutung der Förderung algebraischen Denkens in der Grundschule.........70
3 Algebraisch kommunizieren, darstellen, argumentieren.................................. 77
3.1 Algebraisch kommunizieren und darstellen......................................................78
3.1.1 Algebraische Perspektive auf das Kommunizieren...............................79
3.1.2 Algebraische Perspektive auf das Darstellen..........................................83
3.2 Verallgemeinern als zentraler algebraischer Prozess......................................... 88
3.2.1 Sprachliche Mittel beim Verallgemeinern.............................................. 88
3.2.2 Die Rolle des Verallgemeinerns beim Argumentieren...........................91
3.2.3 Verallgemeinerungen mit dem Fokus auf Muster oder auf
Strukturen................................................................................................93
3.3 Algebraisch argumentieren...................................................................................96
3.3.1 Argumentieren und erklären: Eine Differenzierung............................97
3.3.2 Empirische und strukturelle Argumente..............................................100
3.3.3 Begründungen von Strukturen oder anhand von Strukturen...........103
3.3.4 Operative Beweise..................................................................................105
3.4 Variablen beim Kommunizieren, Darstellen und Argumentieren................108
3.4.1 Variablen: Bedeutung und Rolle in der Algebra................................. 110
3.4.2 Symbolische Darstellungen von Variablen..........................................115
4 Algebraisches Denken anregen...........................................................................123
4.1 Aufgabendesign für algebraische Lernanlässe.................................................125
4.1.1 Aufgaben verändern................................................................................ 126
4.1.2 Strukturierte Übungsformate................................................................. 128
4.1.3 Bildimpulse und Darstellungswechsel.................................................. 136
4.1.4 Produktive Irritationen............................................................................137
4.1.5 Aufgaben mit diagnostischem Potenzial..............................................140
4.2 Unterrichtsgestaltung für algebraische Lernanlässe........................................142
4.2.1 Erkennen................................................................................................. 143
4.2.2 Fortsetzen................................................................................................. 145
4.2.3 Beschreiben.............................................................................................146
4.2.4 Begründen............................................................................................... 150
4.3 Unterrichtsinteraktion und Diskursanregungen.................................................153
5 Zahlen erforschen.................................................................................................159
5.1 Additive Zerlegbarkeit von Zahlen....................................................................166
5.2 Ordnungseigenschaft von Zahlen......................................................................175
5.3 Teilbarkeit (multiplikative Zerlegbarkeit) von Zahlen ....................................181
5.4 Teilbarkeit durch 2 im Fokus: Parität............................................................... 187
5.5 Primzahlen als multiplikative Bausteine der Zahlen........................................191
5.6 Figuriertheit von Zahlen.....................................................................................194
5.7 Zahlen im dezimalen Stellenwertsystem...........................................................198
6 Rechenoperationen erforschen.......................................................................... 207
6.1 Kommutativität................................................................................................... 210
6.1.1 Kommutativität der Addition................................................................211
6.1.2 Kommutativität der Multiplikation..................................................... 213
6.2 Assoziativität........................................................................................................218
6.2.1 Assoziativität der Addition..................................................................220
6.2.2 Assoziativität der Multiplikation......................................................... 225
6.3 Distributivität....................................................................................................... 227
6.4 Reversibilität (Umkehrbarkeit)..........................................................................231
6.5 Neutrale Elemente...............................................................................................237
6.6 Konstanzeigenschaften...................................................................................... 240
6.6.1 Konstanz der Summe............................................................................ 241
6.6.2 Konstanz der Differenz........................................................................ 242
6.6.3 Konstanz des Produkts.......................................................................... 245
6.6.4 Konstanz des Quotienten...................................................................... 246
7 Gleichungen erforschen...................................................................................... 249
7.1 Gleichheit, Gleichwertigkeit und Äquivalenz: Eine Begriffsklärung......... 250
7.2 Gleichwertigkeit als mathematische Beziehung..............................................256
7.3 Gleichwertigkeit von Zahlen............................................................................. 265
7.3.1 Eine Zahl in zwei verschiedenen Termdarstellungen........................270
7.3.2 Eine Zahl in Term-und Verbaldarstellung...........................................273
7.3.3 Eine Zahl in zwei verschiedenen anschaulichen Darstellungen ... 276
7.4 Gleichwertigkeit von Rechenhandlungen........................................................ 279
7.4.1 Aufgabenduette..................................................................................... 280
7.4.2 Äquivalente Umformungen.................................................................. 287
7.5 Gleichheitsbeziehungen mit mehreren Variablen........................................... 291
7.6 Gleichungen und schöne Päckchen...................................................................298
8 Funktionen erforschen........................................................................................303
8.1 Einmaleinsreihen................................................................................................ 309
8.2 Zahlenfolgen.......................................................................................................312
8.3 Zahlenpaare.........................................................................................................316
8.4 Figurenfolgen .....................................................................................................326
8.5 Figurierte Zahlen als besondere Figurenfolgen................................................340
8.6 Sich wiederholende Musterfolgen.....................................................................343
8.7 Besondere Zahlenfolgen: Fibonacci & Co........................................................ 347
Literatur......................................................................................................................351