Verlagstext:
Dieses Buch bietet eine schlanke und elegante Einführung in die Analysis einer reellen Variablen für Studierende der Mathematik ab dem ersten Semester. Das Wesentliche wird klar und mit möglichst einfacher Notation formuliert. Der Schwerpunkt liegt auf den Konzepten und Ideen, weniger auf Formeln und Rechenfertigkeit. Ausgehend von der axiomatischen Begründung der reellen Zahlen werden die zentralen Begriffe Grenzwert, Vollständigkeit und Stetigkeit diskutiert. Auf diesen bauen das Integral und das Differenzial auf. Zu jedem Kapitel gibt es zahlreiche Aufgaben, die auch teilweise weiterführende Ergebnisse entwickeln. Zur Kontrolle werden die vollständigen Lösungen auf der Website des Verlages unter „Zusätzliche Informationen“ zum Buch bereit gestellt.
Dieser Band findet seine Fortsetzung in den Bänden "Etwas mehr Analysis" und "Noch mehr Analysis".
/ AUS DEM INHALT: / / /
1 GRUNDLAGEN
1.1 Aussagenlogik 2
1.2 Mengen 8
1.3 Relationen 16
1.4 Abbildungen 19
Aufgaben 28
2 REELLE ZAHLEN
2.1 Die Körperaxiome 34
2.2 Die Anordnungsaxiome 38
2.3 Das Vollständigkeitsaxiom 42
2.4 Wurzeln 48
2.5 Die erweiterte Zahlengerade 49
2.6 Intervalle 51
2.7 Eindeutigkeit 52
Aufgaben 54
3 NATÜRLICHE, GANZE UND RATIONALE ZAHLEN
3.1 Natürliche Zahlen 60
3.2 Ganze und rationale Zahlen 70
3.3 Abzählbarkeit und Mächtigkeit 73
Aufgaben 79
4 KOMPLEXE ZAHLEN
4.1 Vorüberlegungen 84
4.2 Konstruktion der komplexen Zahlen 85
4.3 Einige elementare Eigenschaften 86
4.4 Fundamentalsatz der Algebra 89
Aufgaben 90
5 FOLGEN
5.1 Grenzwerte reeller Folgen 92
5.2 Grenzwertsätze 95
5.3 Einige wichtige Grenzwerte 99
5.4 Existenzsätze 101
5.5 Häufungswerte 107
5.6 Uneigentliche Grenzwerte 109
5.7 Normierte Räume und Banachräume 112
5.8 Der Folgenraum c 121
Aufgaben 123
6 REIHEN
6.1 Konvergenz 130
6.2 Absolute Konvergenz 133
6.3 Konvergenzkriterien 135
6.4 Reihen in Banachräumen 139
Aufgaben 142
7 STETIGKEIT
7.1 Stetige Funktionen und Abbildungen 146
7.2 Stetige Funktionen auf Intervallen 154
7.3 Topologische Grundbegriffe 161
1 GRUNDLAGEN
1.1 Aussagenlogik 2
1.2 Mengen 8
1.3 Relationen 16
1.4 Abbildungen 19
Aufgaben 28
2 REELLE ZAHLEN
2.1 Die Körperaxiome 34
2.2 Die Anordnungsaxiome 38
2.3 Das Vollständigkeitsaxiom 42
2.4 Wurzeln 48
2.5 Die erweiterte Zahlengerade 49
2.6 Intervalle 51
2.7 Eindeutigkeit 52
Aufgaben 54
3 NATÜRLICHE, GANZE UND RATIONALE ZAHLEN
3.1 Natürliche Zahlen 60
3.2 Ganze und rationale Zahlen 70
3.3 Abzählbarkeit und Mächtigkeit 73
Aufgaben 79
4 KOMPLEXE ZAHLEN
4.1 Vorüberlegungen 84
4.2 Konstruktion der komplexen Zahlen 85
4.3 Einige elementare Eigenschaften 86
4.4 Fundamentalsatz der Algebra 89
Aufgaben 90
5 FOLGEN
5.1 Grenzwerte reeller Folgen 92
5.2 Grenzwertsätze 95
5.3 Einige wichtige Grenzwerte 99
5.4 Existenzsätze 101
5.5 Häufungswerte 107
5.6 Uneigentliche Grenzwerte 109
5.7 Normierte Räume und Banachräume 112
5.8 Der Folgenraum c 121
Aufgaben 123
6 REIHEN
6.1 Konvergenz 130
6.2 Absolute Konvergenz 133
6.3 Konvergenzkriterien 135
6.4 Reihen in Banachräumen 139
Aufgaben 142
7 STETIGKEIT
7.1 Stetige Funktionen und Abbildungen 146
7.2 Stetige Funktionen auf Intervallen 154
7.3 Topologische Grundbegriffe 161
7.4 Stetigkeit und Kompaktheit 171
7.5 Funktionsgrenzwerte 177
7.6 Stetige Fortsetzung 183
7.7 Funktionenfolgen und Funktionenräume 185
Aufgaben 190
8 INTEGRATION
8.1 Treppenfunktionen 198
8.2 Das Cauchyintegral 201
8.3 Regelfunktionen 205
8.4 Das Riemannsche Lemma 209
8.5 Integration in Banachräumen 210
Aufgaben 211
9 DIFFERENZIATION
9.1 Definitionen und Rechenregeln 216
9.2 Lokale Extrema und Mittelwertsatz 224
9.3 Der Hauptsatz 230
9.4 Bestimmung von Integralen 234
9.5 Höhere Ableitungen 238
9.6 Taylorpolynome und Taylorreihe 241
Aufgaben 248
10 SPEZIELLE FUNKTIONEN
10.1 Logarithmusfunktion 254
10.2 Exponenzialfunktion 256
10.3 Sinus und Cosinus 261
10.4 Tangens und Arcusfunktionen 266
10.5 Exp, Sin und Cos im Komplexen 271
10.6 Die Hyperbelfunktionen 276
Aufgaben 279
11 ERGÄNZUNGEN
11.1 Die Regeln von l'Hospital 284
11.2 Uneigentliche Integrale 287
11.3 Der Satz von Arzelä-Ascoli 293
11.4 Differenzierbarkeit 295
11.5 Faltungen 298
11.6 Diracfolgen 302
Aufgaben 306
12 ELEMENTARE DIFFERENZIALGLEICHUNGEN
12.1 Grundbegriffe 310
12.2 Lineare Differenzialgleichungen 314
12.3 Separierbare Differenzialgleichungen 318
12.4 Homogene Differenzialgleichungen 324
Aufgaben 327