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Dieses Lehrbuch präsentiert den Stoff einer mehrsemestrigen Vorlesung zur Analysis äusserst prägnant, aber dennoch verständlich und anschaulich. Mit seiner umfassenden Darstellung des Stoffs von Analysis 1 bis 4 hebt sich das Werk deutlich von anderen ab. Der Inhalt deckt die in einer heutigen Bachelor-Vorlesung zur Analysis üblichen Themen ab: Ein- und mehrdimensionale Differential- und Integralrechnung, gewöhnliche Differentialgleichungen, Mass- und Integrationstheorie, Differentialformen und der Satz von Stokes, sowie metrische und allgemeine Topologische Räume. Neu hinzugekommen in dieser dritten Auflage sind zwei Kapitel zur Komplexen Analysis, die unter anderem den Residuensatz und die Charakterisierung des einfachen Zusammenhangs enthalten

 

 

Aus dem Inhalt:

I Differential- und Integralrechnung / / 1 Mengentheoretische Grundlagen 3 / 1.1 Aussagen 3 / 1.2 Mengen und Abbildungen 5 / 1.3 Komposition 13 / 1.4 Produkte und Relationen 15 / 1.5 Vollständige Induktion 17 / 1.6 Aufgaben und Bemerkungen 23 / 2 Die reellen Zahlen 27 / 2.1 Zahlbereiche 27 / 2.2 Körper 29 / 2.3 Anordnung 33 / 2.4 Intervalle und beschränkte Mengen 37 / 2.5 Dedekind-Vollständigkeit 39 / 2.6 Aufgaben und Bemerkungen 42 / 3 Folgen und Reihen 45 / 3.1 Konvergenz 45 / 3.2 Intervallschachtelung 56 / 3.3 Teilfolgen 58 / 3.4 Reihen 59 / 3.5 Absolute Konvergenz 60 / 3.6 Konvergenzkriterien für Reihen 62 / 3.7 Umordnung 64 / 3.8 Die Exponentialreihe 67 / 3.9 Aufgaben 69 / / 4 Funktionen und Stetigkeit 71 / 4.1 Funktionen 71 / 4.2 Stetige Funktionen 72 / 4.3 Sätze über stetige Funktionen 75 / 4.4 Der Logarithmus 80 / 4.5 Die Exponentialfunktion im Komplexen 82 / 4.6 Trigonometrische Funktionen 87 / 4.7 Aufgaben 92 / / 5 Differentialrechnung 95 / 5.1 Differenzierbarkeit 95 / 5.2 Lokale Extrema, Mittelwertsatz 101 / 5.3 Die Regeln von de l'Hospital 107 / 5.4 Aufgaben 109 / / 6 Integralrechnung 111 / 6.1 Treppenfunktionen und Integrierbarkeit 111 / 6.2 Riemannsche Summen 120 / 6.3 Der Hauptsatz 121 / 6.4 Uneigentliche Integrale 127 / 6.5 Aufgaben 135 / / 7 Funktionenfolgen 137 / 7.1 Gleichmäßige Konvergenz 137 / 7.2 Potenzreihen 142 / 7.3 Taylor-Reihen 145 / 7.4 Fourier-Reihen 152 / 7.5 Aufgaben und Bemerkungen 157 / / 8 Metrische Räume 159 / 8.1 Metrik und Vollständigkeit 159 / 8.2 Metrische Topologie 164 / 8.3 Stetigkeit 170 / 8.4 Zusammenhang 172 / 8.5 Kompaktheit 175 / 8.6 Der Satz von Arzela-Ascoli 179 / 8.7 Normierte Vektorräume 183 / 8.8 Aufgaben 187 / / II Mehrdimensionale Reelle Analysis / / 9 Mehrdimensionale Differentialrechnung 193 / 9.1 Partielle Ableitungen 193 / 9.2 Totale Differenzierbarkeit 196 / 9.3 Taylor-Formel und lokale Extrema 202 / 9.4 Lokale Umkehrfunktionen 208 / 9.5 Implizite Funktionen 212 / 9.6 Aufgaben 214 / / 10 Mehrdimensionale Integralrechnung 215 / 10.1 Parameterabhängige Integrale 215 / 10.2 Stetige Funktionen mit kompakten Trägem 218 / 10.3 Die Transformationsformel 226 / 10.4 Der Igelsatz 232 / 10.5 Aufgaben 235 / / 11 Gewöhnliche Differentialgleichungen 239 / 11.1 Existenz und Eindeutigkeit 239 / 11.2 Maximale Existenzintervalle 247 / 11.3 Lineare Differentialgleichungen 248 / 11.4 Trennung der Variablen 251 / 11.5 Stetige Abhängigkeit 253 / 11.6 Aufgaben 259 / / 12 Topologie 261 / 12.1 Abstrakte Topologie 261 / 12.2 Stetigkeit 264 / 12.3 Kompaktheit und das Lemma von Urysohn 266 / 12.4 Erzeuger 273 / 12.5 Der Satz von Tychonov 276 / 12.6 Der Satz von Stone-Weierstraß 280 / 12.7 Die Sätze von Baire und Tietze 286 / 12.8 Netze 288 / 12.9 Aufgaben und Bemerkungen 293 / / III Maß und Integration / / 13 Maßtheorie 299 / 13.1 Sigma-Algebren 299 / 13.2 Messbare Abbildungen 303 / 13.3 Maße 307 / 13.4 Das Lebesgue-Maß 310 / 13.5 Aufgaben 322 / / 14 Integration 325 / 14.1 Integrale positiver Funktionen 325 / 14.2 Integrale komplexer Funktionen 329 / 14.3 Parameter und Riemann-Integrale 333 / 14.4 Der Rieszsche Darstellungssatz 337 / 14.5 Signierte Maße 343 / 14.6 Aufgaben und Bemerkungen 345 / 15 Räume integrierbarer Funktionen 349 / 15.1 Hilbert-Räume 349 / 15.1.1 Orthonormalbasen 349 / 15.1.2 Konvergenz von Fourier-Reihen 355 / 15.2 Einige Ungleichungen 357 / 15.3 Vollständigkeit 358 / 15.4 Der Satz von Lebsgue-Radon-Nikodym 362 / 15.5 Aufgaben 366 / 16 Produktintegral 369 / 16.1 Dynkin-Systeme 369 / 16.2 Produktmaße 372 / 16.3 Der Satz von Fubini 374 / 16.4 Aufgaben und Bemerkungen 377 / / IV Integration auf Mannigfaltigkeiten / / 17 Differentialformen 381 / 17.1 Mannigfaltigkeiten 381 / 17.2 Derivationen 385 / 17.3 Multilineare Algebra 392 / 17.4 Zurückziehen von Differentialformen 400 / 17.5 Aufgaben und Bemerkungen 402 / 18 Der Satz von Stokes 405 / 18.1 Orientierung 405 / 18.2 Teilung der Eins 409 / 18.3 Orientierung von Hyperflächen 412 / 18.4 Der Satz von Stokes 415 / 18.5 Poincarä Lemma 419 / 18.6 Die Stokes-Formel für Mannigfaltigkeiten 421 / 18.7 Der Brouwersche Fixpunktsatz 423 / 18.8 Wegintegrale 426 / 18.9 Aufgaben 428 / / V Komplexe Analysis / 19 Holomorphe Funktionen 433 / 19.1 Komplexe Differenzierbarkeit 433 / 19.2 Potenzreihen 437 / 19.3 Wegintegrale 441 / 19.4 Der Integralsatz von Cauchy 451 / 19.5 Homotopie 457 / 19.6 Cauchys Integralformel 462 / 19.7 Holomorpher Logarithmus und Windungszahl 466 / 19.8 Potenzreihenentwicklung 471 / 19.9 Lokal-gleichmäßige Konvergenz 475 / 19.10Der Residuensatz 477 / 19.11Aufgaben 490 / 20 Abbildungssätze 493 / 20.1 Lokale Umkehrfunktion und offene Abbildung 493 / 20.2 Der Weierstraßsche Faktorisierungssatz 497 / 20.3 Mittag-Leffler-Reihen 505 / 20.4 Riemanns Abbildungssatz 508 / 20.5 Der Satz von Runge 512 / 20.6 Einfacher Zusammenhang 516 / 20.7 Aufgaben und Bemerkungen 519 / / A Existenz der reellen Zahlen 523 / A.1 Existenz der reellen Zahlen 523 / A.2 Eindeutigkeit 526 / A. 3 Dezimalzahlen 527 / B Vollständigkeit 529 / B.1 Cauchy-Vollständigkeit 529 / Literaturverzeichnis 533 / Index 534