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Vorbestellen	Zweigstelle: 07., Urban-Loritz-Pl. 2a	Standorte: NN.MN Koch / College 6a - Naturwissenschaften	Status: Entliehen	Frist: 30.11.2024	Vorbestellungen: 0

Mathematische Grundlagen endlich verständlich Dieses Buch enthält die Grundlagen der Mathematik eines technisch orientierten Studiums. Alle wesentlichen Themen sind in einem Band zusammengefasst. Die Form und der Inhalt sind auf die speziellen Anforderungen eines Bachelor-Studiums ausgerichtet. Das Buch eignet sich zum vorlesungsbegleitenden Selbstlernen. Alle Beispiele enthalten einen ausführlichen Rechenweg mit vielen Zwischenschritten und Abbildungen. Zahlreiche Aufgaben zum Verständnis, zur Rechentechnik und zu Anwendungen dienen der Vertiefung und Prüfungsvorbereitung. Der Zugang zu mathematischen Sachverhalten erfolgt durch verständliche Herleitungen, farbige Grafiken und sorgfältig ausgewählte Beispiele. Viel Wert wird auf Klarheit und Transparenz in Struktur und Sprache gelegt. Eine kleine Formelsammlung und Kurzporträts einiger bedeutender Mathematiker im Anhang runden die Darstellung ab. Lösungen zu den Aufgaben sind über die Internetseiten der Autoren abrufbar: Einfach nach MATHEMATIK-FUER-INGENIEURE suchen.Aus dem Inhalt:1 Grundlagen 17 / 1.1 Logik und Mengen 17 / 1.1.1 Aussagenlogik 17 / 1.1.2 Mengen 20 / 1.2 Zahlen 23 / 1.2.1 Natürliche Zahlen 23 / 1.2.2 Ganze Zahlen 24 / 1.2.3 Rationale Zahlen 25 / 1.2.4 Reelle Zahlen 26 / 1.2.5 Ordnung 28 / 1.2.6 Intervalle 29 / 1.2.7 Betrag und Signum 30 / 1.2.8 Summe und Produkt 33 / 1.3 Potenz und Wurzel 34 / 1.3.1 Potenzen 34 / 1.3.2 Potenzgesetze 35 / 1.3.3 Wurzeln 35 / 1.3.4 Binomischer Satz 36 / 1.4 Trigonometrie 38 / 1.4.1 Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck 38 / 1.4.2 Winkel im Grad- und Bogenmaß 40 / 1.4.3 Sinus- und Kosinussatz 41 / 1.5 Gleichungen und Ungleichungen 42 / 1.5.1 Lineare Gleichungen 43 / 1.5.2 Potenzgleichungen 44 / 1.5.3 Quadratische Gleichungen 44 / 1.5.4 Wurzelgleichungen 46 / 1.5.5 Ungleichungen 47 / 1.6 Beweise 49 / 1.6.1 Direkter Beweis 50 / 1.6.2 Indirekter Beweis 50 / 1.6.3 Konstruktiver Beweis 51 / 1.6.4 Vollständige Induktion 52 / 1.7 Aufgaben 53 // 2 Lineare Gleichungssysteme 55 / 2.1 Einführung 55 / 2.2 Gauß-Algorithmus 57 / 2.2.1 Äquivalenzumformungen 58 / 2.2.2 Vorwärtselimination 59 / 2.2.3 Rückwärtseinsetzen 60 / 2.2.4 Gaußsches Eliminationsverfahren 61 / 2.2.5 Rechenschema 62 / 2.3 Spezielle Typen linearer Gleichungssysteme 64 / 2.3.1 Lineare Gleichungssysteme ohne Lösung 64 / 2.3.2 Lineare Gleichungssysteme mit unendlich vielen Lösungen 65 / 2.3.3 Systeme mit redundanten Gleichungen 66 / 2.3.4 Unterbestimmte lineare Gleichungssysteme 67 / 2.3.5 Überbestimmte lineare Gleichungssysteme 68 / 2.3.6 Homogene lineare Gleichungssysteme 69 / 2.3.7 Lineare Gleichungssysteme mit Parametern 71 / 2.4 Numerische Verfahren 73 / 2.4.1 Jakobi-Iteration 73 / 2.4.2 Gauß-Seidel-Iteration 74 / 2.5 Anwendungen 75 / 2.5.1 Produktion 75 / 2.5.2 Netzwerkanalyse in der Elektrotechnik 76 / 2.6 Aufgaben 77 // 3 Vektoren 79 / 3.1 Der Begri¿ eines Vektors 79 / 3.2 Vektorrechnung ohne Koordinaten 81 / 3.2.1 Addition und Subtraktion 81 / 3.2.2 Skalare Multiplikation 83 / 3.2.3 Skalarprodukt 84 / 3.2.4 Vektorprodukt 88 / 3.2.5 Spatprodukt 91 / 3.2.6 Lineare Abhängigkeit und Komponentenzerlegung 93 / 3.3 Vektoren in Koordinatendarstellung 95 / 3.3.1 Koordinatendarstellung 96 / 3.3.2 Addition und Subtraktion 97 / 3.3.3 Skalare Multiplikation 98 / 3.3.4 Skalarprodukt 98 / 3.3.5 Vektorprodukt 100 / 3.3.6 Spatprodukt 102 / 3.3.7 Lineare Abhängigkeit und Komponentenzerlegung 102 / 3.4 Punkte, Geraden und Ebenen 104 / 3.4.1 Kartesisches Koordinatensystem 104 / 3.4.2 Parameterdarstellung von Geraden und Ebenen 106 / 3.4.3 Parameterfreie Darstellung von Geraden und Ebenen 108 / 3.4.4 Schnitte von Geraden und Ebenen 109 / 3.4.5 Abstände 111 / 3.4.6 Winkel 114 / 3.5 Anwendungen 116 / 3.5.1 Kraft 116 / 3.5.2 Arbeit 116 / 3.5.3 Drehmoment 117 / 3.6 Aufgaben 118 // 4 Matrizen 123 / 4.1 Der Begri¿ einer Matrix 123 / 4.2 Rechnen mit Matrizen 127 / 4.2.1 Addition, Subtraktion und skalare Multiplikation 128 / 4.2.2 Multiplikation von Matrizen 129 / 4.3 Determinanten 135 / 4.3.1 Determinante einer (2,2)-Matrix 135 / 4.3.2 Determinante einer (3,3)-Matrix 137 / 4.3.3 Determinante einer (n,n)-Matrix 141 / 4.4 Inverse Matrix 144 / 4.4.1 Invertierbare Matrizen 145 / 4.4.2 Inverse einer (2,2)-Matrix 146 / 4.4.3 Inverse Matrix und lineares Gleichungssystem 146 / 4.5 Lineare Abbildungen 147 / 4.5.1 Matrizen als Abbildungen 147 / 4.5.2 Kern, Bild und Rang 149 / 4.6 Eigenwerte und Eigenvektoren 150 / 4.7 Numerische Verfahren 155 / 4.8 Anwendungen 156 / 4.9 Aufgaben 158 // 5 Funktionen 161 / 5.1 Einführung 161 / 5.1.1 Begri¿ der Funktion 161 / 5.1.2 Wertetabelle 164 / 5.1.3 Schaubild 164 / 5.1.4 Explizite und implizite Darstellung 166 / 5.1.5 Abschnittsweise de¿nierte Funktionen 167 / 5.1.6 Funktionsschar 168 / 5.1.7 Verkettung von Funktionen 169 / 5.2 Polynome und rationale Funktionen 173 / 5.2.1 Potenzfunktionen mit ganzen Hochzahlen 173 / 5.2.2 Polynome 175 / 5.2.3 Gebrochenrationale Funktionen 182 / 5.3 Eigenschaften 190 / 5.3.1 Symmetrie 190 / 5.3.2 Periode 194 / 5.3.3 Monotonie 195 / 5.3.4 Beschränktheit 196 / 5.4 Sinus, Kosinus und Tangens 197 / 5.4.1 De¿nition am Einheitskreis 197 / 5.4.2 Eigenschaften 199 / 5.4.3 Allgemeine Sinus- und Kosinusfunktion 201 / 5.5 Grenzwert und Stetigkeit 203 / 5.5.1 Zahlenfolgen 204 / 5.5.2 Grenzwert einer Funktion 210 / 5.5.3 Stetigkeit 212 / 5.5.4 Asymptotisches Verhalten 217 / 5.6 Exponential- und Hyperbelfunktionen 221 / 5.6.1 Exponentialfunktionen 221 / 5.6.2 Die e-Funktion 223 / 5.6.3 Hyperbelfunktionen 225 / 5.7 Umkehrfunktionen 228 / 5.7.1 Das Prinzip der Umkehrfunktion 228 / 5.7.2 Wurzelfunktionen 230 / 5.7.3 Arkusfunktionen 231 / 5.7.4 Logarithmusfunktionen 235 / 5.7.5 Area-Funktionen 238 / 5.8 Numerische Verfahren 239 / 5.8.1 Berechnung von Funktionswerten 239 / 5.8.2 Bisektionsverfahren 240 / 5.9 Anwendungen 242 / 5.9.1 Messwerte 242 / 5.9.2 Industrieroboter 244 / 5.10 Aufgaben 245 // 6 Di¿erenzialrechnung 251 / 6.1 Steigung und Ableitungsfunktion 251 / 6.1.1 Tangente und Di¿erenzierbarkeit 251 / 6.1.2 Di¿erenzial 255 / 6.1.3 Ableitungsfunktion 255 / 6.1.4 Mittelwertsatz der Di¿erenzialrechnung 259 / 6.1.5 Höhere Ableitungen 260 / 6.2 Ableitungstechnik 261 / 6.2.1 Ableitungsregeln 261 / 6.2.2 Ableitung der Umkehrfunktion 266 / 6.2.3 Logarithmisches Di¿erenzieren 268 / 6.2.4 Implizites Di¿erenzieren 269 / 6.2.5 Zusammenfassung 270 / 6.3 Regel von Bernoulli-de l¿Hospital 271 / 6.4 Geometrische Bedeutung der Ableitungen 275 / 6.4.1 Neigungswinkel und Schnittwinkel 275 / 6.4.2 Monotonie 277 / 6.4.3 Krümmung 278 / 6.4.4 Lokale Extrema 279 / 6.4.5 Wendepunkte 283 / 6.4.6 Globale Extrema 284 / 6.5 Numerische Verfahren 285 / 6.5.1 Numerische Di¿erenziation 286 / 6.5.2 Newton-Verfahren 287 / 6.5.3 Sekantenverfahren 289 / 6.6 Anwendungen 290 / 6.6.1 Fehlerrechnung 290 / 6.6.2 Extremwertaufgaben 292 / 6.6.3 Momentan- und Durchschnittsgeschwindigkeit 294 / 6.7 Aufgaben 295 // 7 Integralrechnung 301 / 7.1 Flächenproblem 301 / 7.1.1 Integralsymbol 301 / 7.1.2 Integral als Grenzwert von Summen 302 / 7.1.3 Bestimmtes Integral 304 / 7.2 Zusammenhang von Ableitung und Integral 305 / 7.2.1 Integralfunktion 305 / 7.2.2 Stammfunktion 307 / 7.2.3 Bestimmtes Integral und Stammfunktion 309 / 7.2.4 Mittelwertsatz der Integralrechnung 310 / 7.3 Integrationstechnik 312 / 7.3.1 Integrationsregeln 312 / 7.3.2 Integration durch Substitution 316 / 7.3.3 Partielle Integration 323 / 7.3.4 Gebrochenrationale Funktionen 325 / 7.3.5 Uneigentliche Integrale 328 / 7.4 Länge, Flächeninhalt und Volumen 331 / 7.4.1 Flächeninhalte 331 / 7.4.2 Bogenlänge 333 / 7.4.3 Rotationskörper 335 / 7.5 Numerische Verfahren 339 / 7.5.1 Trapezregel 340 / 7.5.2 Romberg-Verfahren 342 / 7.6 Anwendungen 342 / 7.6.1 E¿ektivwert 342 / 7.6.2 Schwerpunkte und statische Momente ebener Flächen 343 / 7.7 Aufgaben 347 // 8 Potenzreihen 351 / 8.1 Unendliche Reihen 352 / 8.2 Potenzreihen und Konvergenz 356 / 8.3 Taylor-Reihen 357 / 8.4 Eigenschaften 359 / 8.5 Numerische Verfahren 365 / 8.6 Anwendungen 366 / 8.7 Aufgaben 367 // 9 Kurven 369 / 9.1 Parameterdarstellung 369 / 9.2 Kegelschnitte 372 / 9.3 Tangente 378 / 9.4 Krümmung 380 / 9.5 Bogenlänge 383 / 9.6 Numerische Verfahren 385 / 9.7 Anwendungen 387 / 9.7.1 Mechanik 387 / 9.7.2 Straßenbau 388 / 9.8 Aufgaben 390 // 10 Funktionen mit mehreren Variablen 393 / 10.1 De¿nition und Darstellung 393 / 10.1.1 De¿nition einer Funktion mit mehreren Variablen 393 / 10.1.2 Schaubild einer Funktion mit mehreren Variablen 394 / 10.1.3 Schnittkurven mit Ebenen und Höhenlinien 394 / 10.2 Grenzwert und Stetigkeit 398 / 10.2.1 Grenzwert einer Funktion mit mehreren Variablen 398 / 10.2.2 Stetigkeit 399 / 10.3 Di¿erenziation 400 / 10.3.1 Partielle Ableitungen und partielle Di¿erenzierbarkeit 400 / 10.3.2 Di¿erenzierbarkeit und Tangentialebene 403 / 10.3.3 Gradient und Richtungsableitung 405 / 10.3.4 Di¿erenzial 408 / 10.3.5 Höhere partielle Ableitungen 411 / 10.3.6 Extremwerte 413 / 10.4 Ausgleichsrechnung 415 / 10.4.1 Methode der kleinsten Fehlerquadrate 415 / 10.4.2 Ausgleichsrechnung mit Polynomen 416 / 10.4.3 Lineare Ausgleichsrechnung 420 / 10.5 Vektorwertige Funktionen 422 / 10.6 Numerische Verfahren 423 / 10.6.1 Mehrdimensionales Newton-Verfahren 423 / 10.6.2 Gradientenverfahren 425 / 10.7 Anwendungen 427 / 10.8 Aufgaben 429 // 11 Komplexe Zahlen und Funktionen 431 / 11.1 De¿nition und Darstellung 431 / 11.1.1 Komplexe Zahlen 431 / 11.1.2 Gaußsche Zahlenebene 432 / 11.1.3 Polarkoordinaten 433 / 11.1.4 Exponentialform 435 / 11.2 Rechenregeln 437 / 11.2.1 Gleichheit 437 / 11.2.2 Addition und Subtraktion 437 / 11.2.3 Multiplikation und Division 438 / 11.2.4 Rechnen mit der konjugiert komplexen Zahl 440 / 11.2.5 Rechnen mit dem Betrag einer komplexen Zahl 440 / 11.3 Potenzen, Wurzeln und Polynome 442 / 11.3.1 Potenzen 443 / 11.3.2 Wurzeln 443 / 11.3.3 Fundamentalsatz der Algebra 446 / 11.4 Komplexe Funktionen 448 / 11.4.1 Ortskurven 449 / 11.4.2 Harmonische Schwingungen 450 / 11.4.3 Transformationen 454 / 11.5 Anwendungen 458 / 11.6 Aufgaben 459 // 12 Gewöhnliche Di¿erenzialgleichungen 461 / 12.1 Einführung 461 / 12.1.1 Grundbegri¿e 461 / 12.1.2 Anfangswert- und Randwertproblem 464 / 12.1.3 Richtungsfeld und Orthogonaltrajektorie 466 / 12.1.4 Di¿erenzialgleichung und Funktionenschar 468 / 12.2 Di¿erenzialgleichungen erster Ordnung 469 / 12.2.1 Separation der Variablen 470 / 12.2.2 Lineare Substitution 472 / 12.2.3 Ähnlichkeitsdi¿erenzialgleichungen 473 / 12.3 Lineare Di¿erenzialgleichungen 474 / 12.3.1 Homogene und inhomogene lineare Di¿erenzialgleichungen 474 / 12.3.2 Lineare Di¿erenzialgleichungen erster Ordnung 477 / 12.3.3 Allgemeine Eigenschaften 481 / 12.3.4 Di¿erenzialgleichungen mit konstanten Koe¿zienten 484 / 12.4 Schwingungsdi¿erenzialgleichungen 497 / 12.4.1 Allgemeine Form 497 / 12.4.2 Freie Schwingung 498 / 12.4.3 Harmonisch angeregte Schwingung 500 / 12.4.4 Frequenzgänge 504 / 12.5 Di¿erenzialgleichungssysteme 506 / 12.5.1 Eliminationsverfahren 506 / 12.5.2 Zustandsvariablen 508 / 12.5.3 Lineare Systeme mit konstanten Koe¿zienten 510 / 12.5.4 Lineare Di¿erenzialgleichung als System 516 / 12.5.5 Stabilität 518 / 12.6 Numerische Verfahren 522 / 12.6.1 Polygonzugverfahren von Euler 522 / 12.6.2 Euler-Verfahren für Di¿erenzialgleichungssysteme 524 / 12.7 Anwendungen 525 / 12.7.1 Temperaturverlauf 525 / 12.7.2 Radioaktiver Zerfall 525 / 12.7.3 Freier Fall mit Luftwiderstand 526 / 12.7.4 Feder-Masse-Schwinger 527 / 12.7.5 Pendel 528 / 12.7.6 Wechselstromkreise 528 / 12.8 Aufgaben 531 // 13 Fourier-Reihen 535 / 13.1 Fourier-Analyse 535 / 13.1.1 Periodische Funktionen 535 / 13.1.2 Trigonometrische Polynome 537 / 13.1.3 Fourier-Reihe 539 / 13.1.4 Satz von Fourier 540 / 13.1.5 Gibbssches Phänomen 543 / 13.2 Komplexe Darstellung 545 / 13.2.1 Komplexe Fourier-Reihe 545 / 13.2.2 Berechnung komplexer Fourier-Koe¿zienten 547 / 13.2.3 Spektrum 549 / 13.2.4 Minimaleigenschaft 552 / 13.3 Eigenschaften 554 / 13.3.1 Symmetrie 554 / 13.3.2 Integrationsintervall 555 / 13.3.3 Mittelwert 556 / 13.3.4 Linearität 556 / 13.3.5 Ähnlichkeit und Zeitumkehr 558 / 13.3.6 Zeitverschiebung 559 / 13.4 Aufgaben 561 // 14 Verallgemeinerte Funktionen 563 / 14.1 Heaviside-Funktion 563 / 14.2 Dirac-Distribution 565 / 14.3 Verallgemeinerte Ableitung 567 / 14.4 Faltung 569 / 14.5 Aufgaben 572 // 15 Fourier-Transformation 573 / 15.1 Integraltransformation 573 / 15.1.1 De¿nition 573 / 15.1.2 Darstellung mit Real- und Imaginärteil 575 / 15.1.3 Sinus- und Kosinustransformation 577 / 15.1.4 Transformation gerader und ungerader Funktionen 578 / 15.1.5 Darstellung mit Amplitude und Phase 580 / 15.2 Eigenschaften 581 / 15.2.1 Linearität 582 / 15.2.2 Zeitverschiebung 583 / 15.2.3 Amplitudenmodulation 585 / 15.2.4 Ähnlichkeit und Zeitumkehr 587 / 15.3 Inverse Fourier-Transformation 588 / 15.3.1 De¿nition 588 / 15.3.2 Vertauschungssatz 590 / 15.3.3 Linearität 591 / 15.4 Di¿erenziation, Integration und Faltung 591 / 15.4.1 Di¿erenziation im Zeitbereich 591 / 15.4.2 Di¿erenziation im Frequenzbereich 593 / 15.4.3 Multiplikationssatz 593 / 15.4.4 Integration 594 / 15.4.5 Faltung 595 / 15.5 Periodische Funktionen 595 / 15.5.1 Fourier-Transformation einer Fourier-Reihe 596 / 15.5.2 Koe¿zienten der Fourier-Reihe 596 / 15.5.3 Grenzwertbetrachtung 598 / 15.6 Anwendungen 600 / 15.6.1 Lineare zeitinvariante Systeme 600 / 15.6.2 Tiefpass¿lter 602 / 15.7 Aufgaben 604 // 16 Laplace-Transformation 607 / 16.1 Bildbereich 607 / 16.1.1 De¿nition 607 / 16.1.2 Laplace- und Fourier-Transformation 610 / 16.2 Eigenschaften 611 / 16.2.1 Linearität 611 / 16.2.2 Ähnlichkeit 612 / 16.2.3 Zeitverschiebung 613 / 16.2.4 Dämpfung 614 / 16.3 Di¿erenziation, Integration und Faltung 615 / 16.3.1 Di¿erenziation 615 / 16.3.2 Integration 617 / 16.3.3 Faltung 618 / 16.3.4 Grenzwerte 619 / 16.4 Transformation periodischer Funktionen 619 / 16.5 Rücktransformation 621 / 16.6 Lösung gewöhnlicher Di¿erenzialgleichungen 622 / 16.7 Anwendungen 628 / 16.8 Aufgaben 631 // 17 z-Transformation 633 / 17.1 Transformation diskreter Signale 633 / 17.1.1 De¿nition 633 / 17.1.2 z-Transformation und Laplace-Transformation 635 / 17.2 Eigenschaften 636 / 17.2.1 Linearität 636 / 17.2.2 Verschiebung 637 / 17.2.3 Dämpfung 638 / 17.2.4 Vorwärtsdi¿erenzen 638 / 17.3 Lösung von Di¿erenzengleichungen 639 / 17.4 Anwendungen 641 / 17.5 Aufgaben 643 // A Anhang 645 / A.1 Ableitungen 645 / A.2 Ableitungsregeln 645 / A.3 Integrale 646 / A.4 Integralregeln 647 / A.5 Potenzreihen 647 / A.6 Fourier-Reihen 648 / A.7 Fourier-Transformationen 650 / A.8 Laplace-Transformationen 652 / A.9 z-Transformationen 653 / A.10 Griechisches Alphabet 653 / A.11 Bedeutende Mathematiker 654 // Literaturverzeichnis 671 // Sachwortverzeichnis 673