In diesem Analysisbuch wird besonders viel Wert darauf gelegt, die Anfängerschwierigkeiten zu berücksichtigen: Alle neuen Begriffe werden ausführlich motiviert, die Beweisstrukturen werden so transparent wie möglich gemacht. Während der Vorbereitung gab es eine besonders intensive Zusammenarbeit mit einer Gruppe von Studierenden; alles, was ihrer Meinung nach zum besseren Verständnis hätte gesagt werden können, ist aufgenommen worden. Das Buch enthält zahlreiche Übungsaufgaben und Tipps zur Lösung. Die vollständigen, ausführlichen Lösungen zu den Übungsaufgaben findet man auf der Verlagswebsite. Das Buch ist auch zum Selbststudium geeignet. Schon im Text gibt es zahlreiche Fragen zum Mitdenken, und nach jedem Kapitel findet man - für spätere Prüfungsvorbereitungen - eine Sammlung von Verständnisfragen.
Es werden auch viele Fragen angesprochen, die nicht direkt zur Analysis gehören: Grundlagen der Logik, Computeralgebrasysteme, Mathematik und Realität usw.
/ AUS DEM INHALT: / / /
1 Die Menge R der reellen Zahlen 1
1.1 Vorbemerkungen 3
Die Strategie: Wie wird das Axiomensystem für R hergeleitet?
1.2 Mengen 6
Mengen, Mengenoperationen, Abbildungen.
1.3 Algebraische Strukturen 16
Innere Kompositionen und ihre Eigenschaften, Körper, logischer Exkurs, Körpereigenschaften.
1.4 Angeordnete Körper 33
Positivbereich, angeordnete Körper, Gegenbeispiele.
1.5 Natürliche Zahlen, vollständige Induktion 37
Definition von N, Induktion, Musterbeweise, Eigenschaften von N.
1.6 Die ganzen und die rationalen Zahlen 48
Z und Q, Dichtheitssatz.
1.7 Das Archimedesaxiom 52
Archimedesaxiora und Folgerungen.
1.8 Vollständigkeit 56
Dedekindsche Schnitte, Schnittzahlen, Vollständigkeit, das Axiomensystem für R.
1.9 Von R zu C 58
Der Körper C, Eigenschaften.
1.10 Wie groß ist R? 63
Ergänzungen zur Mengenlehre, Mengen mit gleicher Kardinalzahl, abzählbar und überabzählbar, die Cantorschen Diagonalverfahren.
1.11 Ergänzungen 69
Peano-Axiome, der "konstruktive" Aufbau der reellen Zahlen, Gleichheit in der Mathematik, Eindeutigkeit von R, Sicherheit der Grundlagen.
1.12 Verständnisfragen 77
1.13 Übungsaufgaben 81
1.14 Tipps zu den Übungsaufgaben 85
2 Folgen und Reihen 89
2.1 Folgen 91
Folgen, Teilfolgen, Umordnungen.
2.2 Konvergenz 95
Betrag in R, Existenz der Wurzel, Betrag in C, Nullfolge, Konvergenz, Konvergenzbeweise.
2.3 Cauchy-Folgen und Vollständigkeit 122
Cauchy-Folgen, Zusammenhang zur Konvergenz, Ordnungsrelationen, Supremum und Infimum, äquivalente Versionen der Vollständigkeit.
2.4 Unendliche Reihen 135
Reihen, Konvergenzkriterien, absolut konvergente Reihen.
2.5 Ergänzungen 150
Dezimalentwicklung, R als Menge der Dezimalzahlen, ungeordnete Summation, Folgenräume.
2.6 Verständnisfragen 166
2.7 Übungsaufgaben 169
2.8 Tipps zu den Übungsaufgaben 173
3 Metrische Räume und Stetigkeit 175
3.1 Metrische Räume 175
Metriken und Normen, Konvergenz, Kugeln, offene und abgeschlossene Teilmengen, Abschluss und Inneres, dichte Teilmengen.
3.2 Kompaktheit 195
Kompaktheit, Kompaktheitskriterien, Charakterisierung der kompakten Teilmengen endlich-dimensionaler Räume, Zweipunktkompaktifizierung von R.
3.3 Stetigkeit 207
Stetige Funktionen, Lipschitzabbildungen, Permanenzeigenschaften, Charakterisierung, Zwischenwertsatz, Satz vom Maximum, gleichmäßige Stetigkeit.
3.4 Verständnisfragen 230
3.5 Übungsaufgaben 234
3.6 Tipps zu den Übungsaufgaben 236
4 Differentiation (eine Veränderliche) 230
4.1 Differenzierbare Funktionen 240
Stetige Ergänzung, differenzierbare Funktionen, Ableitungsregeln.
4.2 Mittelwertsätze 255
Satz von Rolle, Mittelwertsätze, Regeln von l'Höpital.
4.3 Taylorpolynome 270
Taylor-Polynome, Restglied, Restgliedformel, Extremwertaufgaben.
4.4 Potenzreihen 282
Potenzreihen, Konvergenzradius, Limes superior und Limes inferior, Formel für den Konvergenzradius, Differenzierbarkeit von Potenzreihen, entwickelbare Funktionen, das Gegenbeispiel von Cauchy.
4.5 Spezielle Funktionen 303
Zwei Differentialgleichungen zur Motivation, Exponentialfunktion, Logarithmus, allgemeine Potenz, Sinus und Cosinus, spezielle Funktionen im Komplexen, Polardarstellung.
4.6 Fundamentalsatz. Differentialgleichungen 330
Fundamentalsatz, Lösung spezieller Typen von Differentialgleichungen.
4.7 Verständnisfragen 343
4.8 Übungsaufgaben 348
4.9 Tipps zu den Übungsaufgaben 350
Anhänge 353
Computeralgebra 354
Mathematik und neue Medien 356
Die Internetseite zum Buch 357
Griechische Symbole 358
Lösungen zu den "?" 359
Register 367