Dieser „Prüfungstrainer“ wendet sich an Studierende mit Mathematik als Haupt- oder Nebenfach, die – insbesondere bei der Prüfungs- oder Klausurvorbereitung – den Wunsch verspüren, als Ergänzung zu den Lehrbüchern den umfangreichen Stoff des Analysisgrundstudiums noch einmal in pointierter Form vorliegen zu haben, zugespitzt auf dasjenige, was man wirklich wissen und beherrschen sollte, um eine Prüfung erfolgreich zu bestehen und exakte Antworten auf mögliche Fragen formulieren zu können.In einem konzisen Frage-Antworten-Stil werden die zentralen Begriffe und Beweise der Analysis wiederholt. Mehr noch als auf die Rechenfähigkeit (die sicherlich auch notwendig ist und nicht zu kurz kommt) wird dabei Wert auf das grundsätzliche Verständnis wichtiger Konzepte gelegt. Dem Autorenduo – einem Dozenten mit langjähriger Vorlesungs- und Prüfungserfahrung und einem Mathematikabsolventen – ist es sehr gut gelungen, mit der Auswahl der Fragen ein realistisches Bild davon zu vermitteln, was einen Studenten in der mündlichen Prüfung oder einer Klausur typischerweise erwartet.Durch die Gliederung des Stoffes in einzelne Fragen eignet sich das Buch ausgezeichnet dazu, Wissen stichpunktartig zu trainieren und zu überprüfen; auch höhere Semester können davon profitieren, wenn sie schon einmal Gelerntes noch einmal gezielt nachschlagen wollen. Eine besondere Attraktion stellen die ca. 180 Abbildungen dar, die geometrische Sachverhalte veranschaulichen.Die 2. Auflage wurde vollständig durchgesehen, didaktisch weiter verbessert und um neue Fragen ergänzt.
/ AUS DEM INHALT: / / /
1 Die Systeme der reellen und komplexen Zahlen 1
1.1 Axiomatische Einführung der reellen Zahlen 2
1.2 Natürliche Zahlen und vollständige Induktion 16
1.3 Die ganzen und rationalen Zahlen 25
1.4 Der Körper der komplexen Zahlen 29
1.5 Die Standardvektorräume M" und C 46
1.6 Einige wichtige Ungleichungen 51
2 Folgen reeller und komplexer Zahlen 57
2.1 Definitionen, Beispiele, grundlegende Feststellungen 57
2.2 Einige wichtige Grenzwerte 65
2.3 Permanenzeigenschaften (Rechenregeln) für konvergente Folgen ... 68
2.4 Prinzipien der Konvergenztheorie 72
3 (Unendliche) Reihen 83
3.1 Definitionen und erste Beispiele 83
3.2 Konvergenzkriterien für reelle Reihen 90
3.3 Reihen mit beliebigen Gliedern, absolute Konvergenz 96
3.4 Umordnung von Reihen, Reihenprodukte 102
3.5 Elementares über Potenzreihen 107
3.6 Der Große Umordnungssatz 112
4 Stetigkeit, Grenzwerte von Funktionen 117
4.1 Grundbegriffe 118
4.2 Stetigkeit 128
4.3 Grenzwerte bei Funktionen 140
5 Funktionenfolgen, Funktionenreihen, Potenzreihen 147
5.1 Punktweise und gleichmäßige Konvergenz 148
5.2 Potenzreihen 156
6 Elementare (transzendente) Funktionen 163
6.1 Die komplexe Exponentialfunktion 163
6.2 Die trigonometrischen Funktionen und die Hyperbelfunktionen .... 170
6.3 Natürlicher Logarithmus und allgemeine Potenzen 177
6.4 Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen 180
7 Grundlagen der Integral- und Differenzialrechnung 185
7.1 Das Integral für Treppenfunktionen und Regelfunktionen 185
7.2 Grundlagen der Differenzialrechnung 197
7.3 Der Hauptsatz der Differenzial-und Integralrechnung 212
7.4 Integrationstechniken 221
8 Anwendungen der Differenzial- und Integralrechnung 229
8.1 Taylor'sehe Formel und Taylorreihen 229
8.2 Fixpunktiteration und Newton-Verfahren 238
8.3 Interpolation und einfache Quadraturformeln 250
8.4 Uneigentliche Integrale, T -Funktion 255
8.5 Bemoulli'sche Polynome und -Zahlen, Euler'sehe Summenformel 269
8.6 Fourierreihen (Einführung in die Theorie) 281
8.7 Differenzierbare Kurven und ihre Geometrie 297
9 Metrische Räume und ihre Topologie 305
9.1 Grundbegriffe 305
9.2 Konvergenz, Cauchy-Folgen, Vollständigkeit 318
9.3 Stetigkeit, gleichmäßige Konvergenz, stetige Fortsetzbarkeit, Grenzwerte 329
9.4 Kompaktheit, stetige Funktionen auf kompakten Räumen 341
9.5 Wege, Zusammenhangsbegriffe 350
9.6 Der Satz von Stone-Weierstraß 355
10 Differenzialrechnung in mehreren Variablen 359
10.1 Partielle Ableitungen 360
10.2 Höhere partielle Ableitungen, Satz von Schwarz 364
10.3 (Totale) Differenzierbarkeit, Kettenregel 366
10.4 Differenzierbarkeit in C, Cauchy-Riemann'sche Differenzialgleichungen 376
10.5 Lokale Extremwerte, Taylor'sche Formel 379
10.6 Der lokale Umkehrsatz 385
10.7 Der Satz über implizite Funktionen 390
10.8 Untermannigfaltigkeiten im R" 393
10.9 Extrema unter Nebenbedingungen, Lagrange'sche Multiplikatoren .. 401
11 Integralrechnung in mehreren Variablen 405
11.1 Parameterabhängige und n-fache Integrale 406
11.2 Das Integral für stetige Funktionen mit kompaktem Träger 413
11.3 Fortsetzung des Integrals auf halbstetige Funktionen 416
11.4 Berechnung von Volumina einiger kompakter Mengen 426
11.5 Die Lebesgue-integrierbaren Funktionen 430
11.6 Die Grenzwertsätze von Beppo Levi und Lebesgue 434
11.7 Nullmengen und fast überall geltende Eigenschaften 439
11.8 Der Banachraum Lx und der Hilbertraum L2 447
11.9 Parameterabhängige Integrale, Fouriertransformierte 450
11.10 Die Transformationsformel für Lebesgue-integrierbare Funktionen 457
11.11 Integration über Untermannigfaltigkeiten im R" 460
12 Vektorfelder, Kurvenintegrale, Integralsätze 469
12.1 Vektorfelder, Kurvenintegrale, Pfaff'sche Formen 469
12.2 Die Integralsätze von Gauß und Stokes 480
Literatur 501
Symbolverzeichnis 503
Sachverzeichnis 507