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Eine verständliche, konzise und immer flüssige Einführung in die Algebra, die insbesondere durch ihre sorgfältige didaktische Aufbereitung bei vielen Studierenden Freunde findet. Zwei Schwerpunkte werden miteinander kombiniert: Zum einen, auch als Abstrakte Algebra bekannt, geht es um die Theorie fundamentaler algebraischer Objekte wie z. B. Gruppen, Ringe und Körper, also von Begriffsbildungen, die weit über die Algebra hinaus in mathematischen Disziplinen von Bedeutung sind. Den zweiten Schwerpunkt bildet die Galois-Theorie mit ihren Anwendungen. Ausgangspunkt dieser Theorie ist aus historischer Sicht das Problem der Auflösung algebraischer Gleichungen, ein Problem, das nach mannigfachen vergeblichen Versuchen zum Auffinden von Lösungsformeln für Gleichungen höheren Grades seine umfassende Klärung durch die brillanten Ideen von E. Galois fand.

 

Für die vorliegende Neuauflage wurde der gesamte Text einer kritischen Revision unterzogen. Dabei ergab sich eine Vielzahl an Verbesserungen und Erweiterungen, die in Verbindung mit einem neuen Layout das Werk auf den aktuellen Stand bringen. Nach wie vor bietet das Buch neben zahlreichen Aufgaben (mit Lösungshinweisen) sowie motivierenden Kapiteleinführungen unter dem Titel "Überblick und Hintergrund" auch Ausblicke auf neuere Entwicklungen. Auch selten im Lehrbuch behandelte Themen wie Resultanten, Diskriminanten, Kummer-Theorie und Witt-Vektoren werden angesprochen. Die berühmten Formeln aus dem 16. Jahrhundert zur Auflösung von Gleichungen dritten und vierten Grades werden ausführlich erläutert und in den Rahmen der Galois-Theorie eingeordnet.

Ein klares, modernes und inhaltsreiches Lehrbuch, das für das Studium der Algebra unentbehrlich ist.

 

 

Aus dem Inhalt:

Einführung: Zur Lösung algebraischer Gleichungen 1 / / 1 Elementare Gruppentheorie 11 / 1.1 Gruppen 13 / 1.2 Nebenklassen, Normalteiler, Faktorgruppen 20 / 1.3 Zyklische Gruppen 26 / / 2 Ringe und Polynome 31 / 2.1 Ringe, Polynomringe einer Variablen 35 / 2.2 Ideale 43 / 2.3 Ringhomomorphismen, Faktorringe 47 / 2.4 Primfaktorzerlegung 56 / 2.5 Polynomringe in mehreren Variablen 69 / 2.6 Nullstellen von Polynomen 77 / 2.7 Der Satz von Gauß 79 / 2.8 Irreduzibilitätskriterien 86 / 2.9 Elementarteilertheorie* 90 / / 3 Algebraische Körpererweiterungen 109 / 3.1 Die Charakteristik eines Körpers 112 / 3.2 Endliche und algebraische Körpererweiterungen 115 / 3.3 Ganze Ringerweiterungen* 123 / 3.4 Algebraischer Abschluss eines Körpers 132 / 3.5 Zerfällungskörper 142 / 3.6 Separable Körpererweiterungen 148 / 3.7 Rein inseparable Körpererweiterungen 159 / 3.8 Endliche Körper 164 / 3.9 Anfänge der Algebraischen Geometrie* 168 / / 4 Galois-Theorie 177 / 4.1 Galois-Erweiterungen 180 / 4.2 Proendliche Galois-Gruppen* 189 / 4.3 Die Galois-Gruppe einer Gleichung 205 / 4.4 Symmetrische Polynome, Diskriminante, Resultante* 218 / 4.5 Einheitswurzeln 236 / 4.6 Lineare Unabhängigkeit von Charakteren 250 / 4.7 Norm und Spur 252 / 4.8 Zyklische Erweiterungen 260 / 4.9 Multiplikative Kummer-Theorie* 267 / 4.10 Allgemeine Kummertheorie und Witt-Vektoren* 275 / 4.11 Galois-Descent* 299 / / 5 Fortführung der Gruppentheorie 307 / 5.1 Gruppenaktionen 309 / 5.2 Sylow-Gruppen 315 / 5.3 Permutationsgruppen 326 / 5.4 Auflösbare Gruppen 331 / / 6 Anwendungen der Galois-Theorie 339 / 6.1 Auflösbarkeit algebraischer Gleichungen 341 / 6.2 Algebraische Gleichungen vom Grad3 und 4* 351 / 6.3 Der Fundamentalsatz der Algebra 363 / 6.4 Konstruktionen mit Zirkel und Lineal 367 / 7 Transzendente Erweiterungen 377 / 7.1 Transzendenzbasen 379 / 7.2 Tensorprodukte* 387 / 7.3 Separable, primäre und reguläre Erweiterungen* 402 / 7.4 Kalkül der Differentiale* 416 / / Anhang: Lösungshinweise zu den Aufgaben 431 / / Literatur 477 / / Symbolverzeichnis 479 / / Namen- und Sachverzeichnis 483