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Dieses Buch führt Sie auf leicht verständliche Weise von den gängigen Bereichen der Linearen Algebra und Analysis bis hin zur Stochastik und Numerik. Es ist in einem unverkrampften und ermutigenden, bisweilen sogar unterhaltsamen Stil geschrieben, der das Lesen leicht macht – ohne es jedoch an der nötigen Exaktheit und Präzision fehlen zu lassen. Viele ausführliche Erklärungen und Beispiele sowie zahlreiche Übungsaufgaben mit Lösungen unterstützen beim Lernen und helfen beim Verstehen des Stoffes – so dass Sie in jede Prüfung mit dem sicheren Gefühl gehen können: „Das kann ich!“

 

 

Im Rahmen der 3. Auflage wurde das Buch ergänzt durch den kostenlosen Zugang zur Springer Nature Flashcards-App. Hier wird dem Leser exklusives Zusatzmaterial in Form von über 300 neuen Prüfungsfragen zur Verfügung gestellt, mit deren Hilfe man jederzeit den eigenen Leistungsstand ermitteln und Prüfungssimulationen durchführen kann.

 

 

Aus dem Inhalt:

1 Grundlagen 1 / 1.1 Mengen 1 / 1.1.1 Definition und Schreibweisen 2 / 1.1.2 Mengenoperationen 6 / 1.1.3 Potenzmenge und kartesisches Produkt 14 / 1.1.4 Wichtige Zahlenmengen 17 / 1.2 Komplexe Zahlen 24 / 1.2.1 Die imaginäre Einheit i und die Menge der komplexen Zahlen 24 / 1.2.2 Grundrechenarten für komplexe Zahlen 26 / 1.2.3 Die gaußsche Zahlenebene und die trigonometrische Form komplexer Zahlen 29 / 1.2.4 Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen 33 / 1.3 Relationen 37 / 1.3.1 Definition und erste Beispiele 37 / 1.3.2 Äquivalenzrelationen 40 / 1.4 Vollständige Induktion 46 / 1.4.1 Summenformeln 47 / 1.4.2 Rekursionsformeln 53 / 1.4.3 Ungleichungen 56 / / 2 Lineare Gleichungssysteme, Vektoren und Matrizen 59 / 2.1 Lineare Gleichungssysteme 60 / 2.1.1 Einführende Beispiele 60 / 2.1.2 Der Gauß-Algorithmus 63 / 2.1.3 Textaufgaben zu linearen Gleichungssystemen 74 / 2.2 Vektoren 76 / 2.3 Matrizen 83 / 2.3.1 Addition und Multiplikation von Matrizen 84 / 2.3.2 Symmetrische Matrizen 90 / 2.3.3 Invertierung von Matrizen 93 / 2.4 Determinanten 100 / 2.4.1 Definition der Determinante und der Entwicklungssatz 100 / 2.4.2 Eigenschaften der Determinante 106 / 2.4.3 Definite Matrizen 110 / 2.4.4 Invertierbarkeit von Matrizen 113 / 2.4.5 Prüfung auf lineare Unabhängigkeit 114 / 2.4.6 Die cramersche Regel 116 / / 3 Analytische Geometrie 121 / 3.1 Vektoren im dreidimensionalen Raum und Produkte von Vektoren 121 / 3.2 Geraden und Ebenen im Raum 129 / 3.2.1 Darstellungsformen für Geraden und Ebenen 129 / 3.2.2 Schnittpunkte und Schnittgeraden 137 / / 4 Lineare Optimierung 149 / 4.1 Ein erstes Beispiel 149 / 4.2 Lineare Optimierung mit zwei Variablen 150 / 4.2.1 Grafische Lösung 153 / 4.2.2 Rechnerische Lösung durch Eckpunktberechnung 161 / 4.2.3 Der Simplex-Algorithmus 164 / 4.3 Lineare Optimierung mit beliebig vielen Variablen 172 / 4.3.1 Problemstellung und allgemeine Vorbemerkungen 172 / 4.3.2 Der Simplex-Algorithmus 174 / 4.3.3 Modifikationen des Simplex-Algorithmus 183 / / 5 Folgen und Funktionen 185 / 5.1 Folgen 186 / 5.1.1 Beschränktheit und Monotonie 187 / 5.1.2 Konvergente Folgen und Grenzwerte 191 / 5.2 Funktionen 199 / 5.2.1 Verkettung, Umkehrbarkeit und Monotonie 210 / 5.2.2 Stetigkeit 221 / 5.3 Wichtige Funktionenklassen 232 / 5.3.1 Potenz-und Wurzelfunktionen 232 / 5.3.2 Polynome und rationale Funktionen 235 / 5.3.3 Trigonometrische Funktionen 240 / 5.3.4 Exponential- und Logarithmusfunktionen 244 / / 6 Differenzialrechnung 251 / 6.1 Differenzierbarkeit 252 / 6.1.1 Definition und erste Beispiele 252 / 6.1.2 Ableitungen einiger elementarer Funktionen 255 / 6.1.3 Nicht differenzierbare Funktionen 259 / 6.1.4 Tangente 262 / 6.2 Ableitungsregeln 264 / 6.2.1 Linearität 264 / 6.2.2 Produktregel 265 / 6.2.3 Quotientenregel 267 / 6.2.4 Kettenregel 270 / 6.2.5 Ableitung der Umkehrfunktion 273 / 6.2.6 Wichtige Ableitungen 276 / 6.3 Anwendungen der Differenzialrechnung 278 / 6.3.1 Monotoniekriterien für differenzierbare Funktionen 278 / 6.3.2 Extremstellen und Extremwerte 281 / 6.3.3 Wendestellen und Sattelpunkte 290 / 6.3.4 Die l’hopitalsche Regel 292 / / 7 Integralrechnung 297 / 7.1 Integration von Funktionen 297 / 7.1.1 Definition des Integrals 297 / 7.1.2 Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung 303 / 7.1.3 Stammfunktionen einiger wichtiger Funktionen 308 / 7.2 Integrationsregeln 309 / 7.2.1 Linearität 310 / 7.2.2 Partielle Integration 311 / 7.2.3 Substitutionsregel 314 / 7.2.4 Partialbruchzerlegung 318 / 7.3 Anwendungen 326 / 7.3.1 Uneigentliche Integrale 326 / 7.3.2 Bogenlänge 330 / 7.3.3 Volumen von Rotationskörpern 332 / / 8 Reihen 335 / 8.1 Zahlenreihen 336 / 8.1.1 Definition und grundlegende Eigenschaften 338 / 8.1.2 Konvergenzkriterien für Reihen 340 / 8.1.3 Absolute Konvergenz 346 / 8.2 Potenzreihen 350 / 8.2.1 Definition und erste Beispiele 351 / 8.2.2 Konvergenzradius und Konvergenzbereich 352 / 8.2.3 Operationen mit Potenzreihen 357 / 8.3 Taylor-Reihen und Taylor-Polynome 361 / 8.4 Fourier-Reihen 366 / 8.4.1 Periodische Funktionen 367 / 8.4.2 Fourier-Reihendarstellung periodischer Funktionen 369 / 8.4.3 Komplexe Darstellung der Fourier-Reihe 378 / / 9 Differenzialgleichungen 381 / 9.1 Vorbemerkungen und einleitende Beispiele 381 / 9.2 Definitionen; Existenz und Eindeutigkeit der Lösung 385 / 9.3 Lösungsverfahren für spezielle Typen von Differenzialgleichungen 390 / 9.3.1 Trennung der Variablen 391 / 9.3.2 Variation der Konstanten 393 / 9.3.3 Substitution 397 / 9.4 Lineare Differenzialgleichungen 399 / 9.4.1 Struktur der Lösungsmenge einer linearen Differenzialgleichung 400 / 9.4.2 Lineare Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten: homogener Fall 406 / 9.4.3 Lineare Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten: inhomogener Fall 415 / 9.5 Laplace-Transformation 419 / / 10 Differenzialrechnung für Funktionen von mehreren Variablen 429 / 10.1 Grundlegende Begriffe 429 / 10.2 Partielle und totale Ableitung 438 / 10.2.1 Partielle Ableitung 439 / 10.2.2 Totale Ableitung 448 / 10.3 Extremwertberechnung 451 / 10.3.1 Extrema ohne Nebenbedingungen 451 / 10.3.2 Extrema mit Nebenbedingungen 458 / / 11 Stochastik 465 / 11.1 Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung und Kombinatorik 465 / 11.1.1 Grundlagen 465 / 11.1.2 Kombinatorik 467 / 11.1.3 Verknüpfungen von Ereignissen 474 / 11.1.4 Axiomatische Definition der Wahrscheinlichkeit 477 / 11.1.5 Bedingte Wahrscheinlichkeit und unabhängige Ereignisse 482 / 11.2 Zufallsgrößen und Verteilungen 487 / 11.2.1 DiskreteVerteilungen 490 / 11.2.2 Stetige Verteilungen 500 / 11.3 Einblicke in die mathematische Statistik 509 / 11.3.1 Deskriptive Statistik 510 / 11.3.2 Induktive Statistik 513 / / 12 Numerische Mathematik 521 / 12.1 Fixpunkte und Nullstellen 522 / 12.1.1 Definitionen und erste Beispiele 522 / 12.1.2 Berechnung von Fixpunkten: Der Fixpunktsatz vonBanach 523 / 12.1.3 Das Newton-Verfahren 527 / 12.2 Lineare Gleichungssysteme 533 / 12.2.1 Allgemeines 534 / 12.2.2 Das Gesamtschrittverfahren 535 / 12.2.3 Das Einzelschrittverfahren 545 / 12.3 Interpolation 548 / 12.3.1 Problemstellung und Lösung durch Lagrange-Polynome 548 / 12.3.2 Dividierte Differenzen und die newtonsche Form des Interpolationspolynoms 555 / 12.4 Numerische Integration 561 / 12.4.1 Die Trapezregel 561 / 12.4.2 Die Simpson-Regel 566 / / 13 Lösungen der Übungsaufgaben 575 / 13.1 Kapitell 575 / 13.2 Kapitel 2 580 / 13.3 Kapitel 3 583 / 13.4 Kapitel 4 586 / 13.5 Kapitel 5 590 / 13.6 Kapitel 6 594 / 13.7 Kapitel 7 599 / 13.8 Kapitel8 604 / 13.9 Kapitel 9 611 / 13.10 Kapitel 10 616 / 13.11 Kapitel 11 620 / 13.12 Kapitel 12 624 / / Literatur 635 / / Stichwortverzeichnis 637