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Vorbestellen	Zweigstelle: 07., Urban-Loritz-Pl. 2a	Standorte: NN.MA Karp / College 6a - Naturwissenschaften	Status: Entliehen	Frist: 08.11.2024	Vorbestellungen: 0

(Verlagstext)

Dieses Lehrbuch zur Algebra bietet eine Einführung in die grundlegenden Begriffe und Methoden der modernen Algebra. Es werden die Themen eines Grundkurses zur Algebra ausführlich und motivierend behandelt. [...]

Die zahlreichen Aufgaben unterschiedlicher Schwierigkeitsgrade zum Ende der Kapitel überprüfen das Gelernte und fördern das tiefere Verständnis der Theorie.

 

Das Buch wurde für die 6. Auflage vollständig durchgesehen und um zwei Beweise des quadratischen Reziprozitätsgesetzes ergänzt. Zudem erhalten Sie Zugang auf 300 Flashcards (Springer-Nature-Flashcards-App), mit denen Sie Ihr Verständnis der Theorie auf spielerische Weise testen und einüben können.

 

 

Aus dem Inhalt:

Teil l Gruppen// Halbgruppen/ Definitionen/ Ein Beispiel einer Halbgruppe/ Eine Halbgruppe ist eine Menge mit einer assoziativen Verknüpfung/ Verknüpfungstafel/ Beispiele von Halbgruppen/ Unterhalbgruppen/ Invertierbare Elemente/ Eigenschaften der Menge der invertierbaren Elemente/ Allgemeines Assoziativ- und Kommutativgesetz/ Potenzen und Vielfache/ Homomorphismen, Isomorphismen/ Definitionen und Beispiele/ Produkte und Inverse von (bijektiven) Homomorphismen/ Direkte Produkte /Aufgaben // Gruppen/ Eigenschaften und Beispiele von Gruppen/ Definition einer Gruppe/ Einfache Eigenschaften/ Schwaches Axiomensystem/ Beispiele/ Nützliche Kriterien/ Untergruppen/ Untergruppennachweise/ Endliche Untergruppen/ Beispiele von Untergruppen/ Homomorphismen/ Kern und Bild eines Homomorphismus/ Symmetrische Gruppen gleichmächtiger Mengen/ Der Satz von Cayley /Aufgaben // Untergruppen/ Erzeugendensysteme. Elementordnungen/ DurchschnittevonUntergruppen/ Erzeugendensysteme/ Darstellung von (X)/ Elementordnungen/ Die Diedergruppen/ Nebenklassen/ Links- bzw. Rechtsnebenklassen liefern Partitionen/ Der Index von U in G/ Der Satz von Lagrange/ Repräsentantensysteme/ Der Satz von Lagrange/ Der Untergruppenverband der S */ Linksnebenklassen sind nicht unbedingt auch Rechtsnebenklassen */ Wichtige Folgerungen aus dem Satz von Lagrange/ Eine Verallgemeinerung des Satzes von Lagrange */Aufgaben // Normalteiler und Faktorgruppen/ Normalteiler/ Definition und Beispiele/ Weitere Beispielsklassen/ Produkte von Untergruppen/ Normalisatoren/ Faktorgruppen/ G modulo N/ Der Satz von Cauchy für abelsche Gruppen */ Zwischenbilanz: (G, -) und (G, +)/ Restklassen modulo n/ Der Homomorphiesatz/ Innere Automorphismen und das Zentrum einer Gruppe */ Isomorphiesätze/ Der erste Isomorphiesatz/ Der Korrespondenzsatz/ Der zweite Isomorphiesatz/ Das Lemma von Zassenhaus */Aufgaben // Zyklische Gruppen/ Der Untergruppenverband zyklischer Gruppen/ Untergruppen zyklischer Gruppen sind zyklisch/ Der Untergruppenverband einer endlichen zyklischen Gruppe/ Klassifikation der zyklischen Gruppen/ Anwendungen in der Zahlentheorie/ Der Hauptsatz über den größten gemeinsamen Teiler/ Teilerfremdheit/ Der euklidische Algorithmus/ Der Fundamentalsatz der Arithmetik */ Die Euler’sche Funktion/ Prime Restklassengruppen/ Die Automorphismengruppen zyklischer Gruppen */ Automorphismengruppen endlicher zyklischer Gruppen/ Automorphismengruppen unendlicher zyklischer Gruppen /Aufgaben // Direkte und semidirekte Produkte/ Äußere direkte Produkte/ Innere direkte Produkte/ Definition und Beispiele/ Eine Kennzeichnung innerer direkter Produkte/ Zusammenhang zwischen inneren und äußeren direkten Produkten/ Anwendung in der Zahlentheorie/ Der chinesische Restsatz/ Lösen von Systemen von Kongruenzgleichungen */ Produktdarstellung der primen Restklassengruppen/ Wann ist das Produkt zyklischer Gruppen wieder zyklisch?/ Semidirekte Produkte/ Das interne semidirekte Produkt/ Das externe semidirekte Produkt/ Zur Konstruktion nichtabelscher Gruppen mithilfe des semidirekten Produkts /Aufgaben // Gruppenoperationen/ Bahnen und Stabilisatoren/ Operationen/ Bahnen von Operationen/ Der Stabilisator/ Der Fixpunktsatz/ Die Anzahlformel/ Fixpunkte/ Die Klassengleichung/ Die Konjugiertenklassen/ p-Gruppen /Aufgaben // Die Sätze von Sylow/ Der erste Satz von Sylow/ Die Sätze von Frobenius und Cauchy/ Sylowgruppen/ Der zweite Satz von Sylow/ Sylowgruppen und ihre Konjugierten/ Zur Anzahl der p-Sylowgruppen einer endlichen Gruppe/ Sylowgruppen und direkte Produkte/ Gruppen kleiner Ordnung/ Einfache Gruppen/ Abelsche endliche einfache Gruppen/ Zur Existenz nichttrivialer Normalteiler /Aufgaben // Symmetrische und alternierende Gruppen/ Kanonische Zerlegung in Zyklen/ Zyklen/ Ein Repräsentantensystem von Sn+ modulo Sh */ Zerlegung von Permutationen in Zyklen/ Alternierende Gruppen/ Signum Homomorphismus/ Gerade ungerade Permutationen/ Erzeugendensysteme von An/ Zur Einfachheit alternierenden Gruppen /Aufgaben // Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen/ Der Hauptsatz/ Zerlegung von p-Gruppen/ Endliche abelsche Gruppen/ Klassifikation endlichen abelschen Gruppen/ Der Typ einer endlichen abelschen Gruppe/ Anzahlformel Partitionen natürlicher Zahlen/ Die zweite Version Hauptsatzes */ zweite Fassung/ Invariante Faktoren abelscher Gruppen /Aufgaben // Auflösbare Gruppen/ Normalreihen und Kompositionsreihen/ Normalreihen mit und ohne Wiederholungen/ Der Verfeinerungssatz von Schreier */ Kompositionsreihen/ Der Satz Jordan-Holder */ Kommutatorgruppen/ Kommutatoren/ Abelsche Faktorgruppen/ Höhere Kommutatorgruppen/ Auflösbare Gruppen/ Untergruppen, Faktorgruppen und Produkte auflösbarer Gruppen/ Auflösbarkeit und abelsche Normalreihen/ Auflösbarkeit und Kompositionsreihen/ Klassen auflösbarer Gruppen /Aufgaben // Freie Gruppen */ Existenz und Eindeutigkeit freier Gruppen/ Definition freier Gruppen erste Folgerungen/ Konstruktion freier Gruppen/ Eindeutigkeit freier Gruppen/ Jede Gruppe ist homomorphes Bild einer freien Gruppe/ Definierende Relationen/ Gruppen Gp (S | A)/ Ermittlung von H = F/N/ Beispiele /Aufgaben // Teil II Ringe// Grundbegriffe Ringtheorie/ Definition und Beispiele/ Ringe, kommutative Ringe, Ringe mit Eins/ Beispiele von Ringen/ Rechenregeln/ Teilringe/ Die Einheitengruppe/ Homomorphismen/ Integritätsbereiche/ Charakteristik eines Ringes mit/ Die Charakteristik ist eine natürliche Zahl oder/ In einem Integritätsbereich ist Frobeniusabbildung ein Monomorphismus/ Körper und Schiefkörper/ Beispiele von Körpern und Schiefkörpern/ Endliche (Schief-)Körper */ Quotientenkörper/ Die Konstruktion des Quotientenkörpers Q(R)/ Die Einbettung von R in Q(R)/ Die universelle Eigenschaft /Aufgaben // Polynomringe/ Motivation/ Konstruktion des Ringes R[No]/ Menge R[No]/ Die Addition und Multiplikation in R[No]/ Der Ring (R[No],+,)/ Die Einbettung von R in R[No]/ Polynome in einer Unbestimmten/ Polynome in der Unbestimmten X/ Die universelle Eigenschaft/ Der Grad eines Polynoms/ Anwendung Grades/ Einsetzen in Polynome/ Körper rationalen Funktionen/ Algebraische und transzendente Elemente/ Divisionsalgorithmus/ Nullstellen Gleichheit von Polynomen/ Endliche Untergruppen von Einheitengruppen/ Prime Restklassengruppen */ Polynome in mehreren Unbestimmten/ Der Polynomring R[X X„]/ Algebraische Unabhängigkeit /Aufgaben // Ideale/ Definitionen und Beispiele/ Ideale, Linksideale, Rechtsideale/ Homomorphismen und Ideale/ Erzeugung Idealen/ Endlich erzeugte Ideale und Hauptideale/ Darstellung von Idealen/ Einfache Ringe/ Einfache Ringe und Körper/ Einfache Ringe und Schiefkörper/ Einfache Ringe und Homomorphismen/ Idealoperationen/ Summe und Produkt von Idealen/ Summe und Produkt von Hauptidealen/ Faktorringe/ Isomorphiesätze/ Primideale/ Primideale und Nullteilerfreiheit/ Beispiele/ Maximale Ideale/ Faktorringe nach maximalen Idealen/ Maximale Ideale sind Primideale/ Existenz maximaler Ideale */Aufgaben // Teilbarkeit in Integritätsbereichen/ Teilbarkeit/ Teilbarkeitsregeln/ Unzerlegbare Elemente Primelemente/ ggT und kgV/ Idealtheoretische Interpretation /Aufgaben // Faktorielle Ringe/ Kennzeichnungen faktorieller Ringe/ Definition faktorieller Ringe/ Teilerkettenbedingung und Primbedingung/ Darstellung Elemente faktorieller Ringe */ Teilerfremdheit*/ Der nichtfaktorielle Ring Z[V- ] */Aufgaben // Hauptidealringe. Euklidische Ringe/ Hauptidealringe/ Hauptidealringe sind faktoriell/ Der Hauptsatz über den ggT/ Euklidische Ringe/ euklidische Algorithmus */ Der euklidische Ring Z[i] */ euklidische Betrag auf Z[i]/ Zahlen Summen von Quadraten/ Weitere Ringe Form z[V/d] */ Die Normabbildung auf Z[vd] und die Einheitengruppe z[dj*/ Unzerlegbare Elemente, die nicht prim sind/ Der euklidische Ring Z[V- ] /Aufgaben // Zerlegbarkeit in Polynomringen und noethersche Ringe/ Der Satz von Gauß/ Das Lemma von Gauß/ Zerlegbarkeit in R, R[X] und K[X]/ Polynomringe über faktoriellen Ringen sind faktoriell/ Irreduzibilität/ Lineare Teiler/ Der Reduktionssatz/ Das Irreduzibilitätskriterium von Eisenstein/ Noethersche Ringe */ Definitionen/ Der Basissatz von Hilbert/ Ein Überblick über die behandelten Ringe /Aufgaben // Das Quadratische Reziprozitätsgesetz */ Das Legendre-Symbol/ Quadratische Reste und Nichtreste/ Das Eulersche Kriterium/ Der Beweis des Reziprozitätsgesetzes/ Das Lemma von Gauß/ Anwendungen des Quadratischen Reziprozitätsgesetzes/ Das Jacobi-Symbol /Aufgaben // Teil III Körper// Grundlagen der Körpertheorie/ Körpererweiterungen/ Definition und Beispiele/ Die Charakteristik eines Körpers/ Teilkörper, Körpererweiterungen/ Primkörper/ Der Grad einer Körpererweiterung/ Der Gradsatz/ Ring- und Körperadjunktion/ Einfache Körpererweiterungen/ Darstellungen von K[S] und K(S)/ Algebraische Elemente. Minimalpolynome/ Algebraische und transzendente Elemente/ Das Minimalpolynom algebraischer Elemente /Aufgaben // Einfache und algebraische Körpererweiterungen/ Einfache Körpererweiterungen/ Darstellung Elementen einfacher Erweiterungen Linearkombination/ Fortsetzung von Isomorphismen auf einfache Erweiterungen/ Existenz und Eindeutigkeit einer Fortsetzung/ K -Monomorphismen/ Algebraische Körpererweiterungen/ Endliche algebraische Erweiterungen/ algebraische Abschluss von K in L/ Transitivität der Eigenschaft algebraisch/ Zwischenringe algebraischer Erweiterungen sind Körper/ K-Homomorphismen algebraischer Erweiterungen/ Mächtigkeitsaussagen /Aufgaben // Konstruktionen mit Zirkel und Lineal */ Konstruierbarkeit/ Konstruktion von Punkten mit Zirkel und Lineal/ Die Menge der konstruierbarenPunkte/ Die Menge der aus S kontruierbaren Punkte KC(S) ist ein Körper/ Eine Kennzeichnung der konstruierbaren Elemente/ Die Grade der konstruierbaren Elemente/ Die drei klassischen Probleme/ Verdopplung des Würfels/ Winkeldreiteilung/ Die Quadratur des Kreises /Aufgaben // Transzendente Körpererweiterungen */ Transzendenzbasen/ Algebraisch unabhängige Elemente/ Transzendenzbasis/ Kennzeichnung Transzendenzbasis/ Der Transzendenzgrad /Aufgaben // Algebraischer Abschluss. Zerfällungskörper/ Der algebraische Abschluss Körpers/ Der Satz von Kronecker/ Algebraisch abgeschlossene Körper/ Algebraischer Abschluss/ Existenz algebraischen Abschlusses/ Kennzeichnung mancher Koeffizienten Polynoms durch die Wurzeln des Polynoms/ Zerfällungskörper/ Einfache Tatsachen/ Existenz von Zerfällungskörpern/ Fortsetzung von Isomorphismen auf Zerfällungskörper/ Eindeutigkeit des Zerfällungskörpers und des algebraischen Abschlusses/ Fortsetzung eines Monomorphismus algebraische Erweiterung/ Normale Körpererweiterungen/ Kennzeichnungen normaler Körpererweiterungen/ Normale Hüllen /Aufgaben // Separable Körpererweiterungen/ Ableitung. Mehrfache Wurzeln/ Ableitung/ Mehrfache Wurzeln/ Separabilität/ Separable Polynome, Elemente und Körpererweiterungen/ Separabilität und Charakteristik/ Kennzeichnung separabler Elemente/ Potenzen algebraischer Elemente/ Vollkommene Körper/ Der Satz vom primitiven Element/ Der separable Abschluss/ Der Zwischenkörper der separablen Elemente/ Die Transitivität von separabel/ K-Monomorphismen und der Separabilitätsgrad/ Rein inseparable Körpererweiterungen */Aufgaben // Endliche Körper/ Existenz und Eindeutigkeit/ Eigenschaften endlicher Körper/ Der Existenz-und Eindeutigkeitssatz/ Verband der Teilkörper/ Erweiterungen endlicher Körper/ Automorphismen /Aufgaben // Die Galoiskorrespondenz/ K-Automorphismen/ Die Galoisgruppe von L/K/ Der Fixkörper Gruppe von Automorphismen/ Galoissche Körpererweiterung/ Die Ordnung der Galoisgruppe/ Die allgemeine Galoiskorrespondenz/ Fixkörper und Fixgruppen/ Die +-Abbildungen/ Abgeschlossene Zwischenkörper und Untergruppen/ Kompositum Teilkörpern */ Galoisgruppen isomorpher Körpererweiterungen/ Algebraische Galoiserweiterungen/ Normal plus separabel ist galoissch/ Normalteiler und galoissche Zwischenkörper/ Hauptsatz der endlichen Galoistheorie/ Ein Satz von Dedekind/ Der Hauptsatz/ Zusammenfassung und Beispiel/ Ergänzungen/ Einbettung in eine Galoiserweiterung */ Der Translationssatz/ Der Fundamentalsatz der Algebra */ Ein Überblick über die behandelten Körpererweiterungen /Aufgaben // Der Zwischenkörperverband einer Galoiserweiterung */ Norm und Spur/ Hinweise zur Ermittlung des Fixkörpers JF(A)/ Das Dedekind’sche Lemma/ Die Methode mit der Spur/ Die Methode Gleichungssystem/ Hinweise zur Ermittlung von r = V(L/K)/ Der Fall L = K(a), , ak)/ Der Fall L = K(a)/ Die Galoisgruppe eines Polynoms/ Polynome mit zu Sh isomorpher Galoisgruppe /Aufgaben // Kreisteilungskörper/ Einheitswurzeln. Kreisteilungskörper/ Die Gruppen der Einheitswurzeln/ Primitive n-te Einheitswurzeln/ Kreisteilungskörper/ Kreisteilungspolynome/ X" — ist Produkt von Kreisteilungspolynomen/ Rekursive Berechnung der Kreisteilungspolynome/ Kreisteilungspolynome sind irreduzibel über Q/ Der Satz von Wedderburn */ Die Galoisgruppe von Kn/K/ Wann ist Kn/K galoissch?/ Kreisteilungskörper über endlichen Körpern */ Konstruktion regulärer Vielecke */ Fermatsche Primzahlen/ Kennzeichnungen der Konstruierbarkeit regulärer Vielecke/ Die Konstruktion des regulären -Ecks/ Ein kurzer Beweis des quadratischen Reziprozitätsgesetz */Aufgaben // Auflösung algebraischer Gleichungen durch Radikale/ Zyklische Körpererweiterungen/ Kennzeichnung zyklischer Erweiterungen/ Eine hinreichende Bedingung/ Reine Polynome/ Eine notwendige Bedingung/ Hilberts Satz */ Zyklische Erweiterungen vom Primzahlgrad */ Auflösbarkeit/ Radikalerweiterungen/ Das Auflösbarkeitskriterium/ Eine hinreichende Bedingung/ Zwei Hilfssätze/ notwendige Bedingung /Aufgaben // Die allgemeine Gleichung/ Symmetrische Funktionen/ Der Körper der symmetrischen Funktionen/ Die elementarsymmetrischen Funktionen/ Der Hauptsatz über symmetrische Funktionen/ Das allgemeine Polynom/ Motivation/ Das allgemeine Polynom vom Grad n/ Die Galoisgruppe des allgemeinen Polynoms/ Der Satz von Ruffini-Abel/ Die Diskriminante eines Polynoms */ Die Diskriminante liegt in K/ Die Wurzel der Diskriminante/ Die allgemeine Gleichung vom Grad */ Reduktion auf spezielle kubische Polynome/ Cardanosche Formeln/ Der klassische Fall/ Die allgemeine Gleichung vom Grad */Aufgaben // Teil IV Moduln// Moduln */ Links- und Rechtsmoduln/ Untermoduln/ Direkte Produkte und direkte Summen von Moduln/ Faktormoduln/ Freie Moduln/ Moduln über Hauptidealringen /Aufgaben /A Hilfsmittel /Literaturverzeichnis /Stichwortverzeichnis