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Vorbestellen	Zweigstelle: 07., Urban-Loritz-Pl. 2a	Standorte: NN.MA Fisc / College 6a - Naturwissenschaften / Regal 611	Status: Verfügbar	Frist:	Vorbestellungen: 0

Dieses „Lern-und Lesebuch“ gibt eine erste Einführung in die grundlegenden Methoden und Ergebnisse der Algebra. Wie in einführenden Vorlesungen üblich, besteht es aus den drei Teilen Gruppen-Ringe-Körper, das sind die tragenden Säulen der Algebra. Höhepunkt im dritten Kapitel ist die klassische Galoistheorie in zeitgemäßer Darstellung, bei der viele der zuvor erzielten Ergebnisse zusammengefügt werden. Neben den üblichen Inhalten enthält das Buch aber auch Exkurse zu weiterführenden Themen, wie Symmetrien Platonischer Körper, quadratische Zahlringe oder Wurzelausdrücke für Einheitswurzel nach der Methode von Gauss. Ein ausführlicher Anhang schildert die Entwicklung der axiomatischen Methode von Euklid bis Bourbaki. Um Studierende der Algebra behutsam mit den subtilen Methoden und dem engmaschigen Netz von Begriffen vertraut zu machen, werden viele motivierende Vorbemerkungen, zahlreiche charakteristische Beispiele und auch - was in der Algebra nicht sehr üblich ist - mit Bildern zur Illustration von manchen Rechnungen eingefügt. Damit soll erreicht werden, dass die Studierenden neben einer Vorlesung einen Begleittext zur Hand haben, der ihnen nicht nur hilft die Schwierigkeiten zu meistern, sondern auch ein Gefühl für die Klarheit und Schönheit der Algebra vermitteln kann. Auch ohne den Besuch einer Vorlesung ist das Buch wegen seiner ausführlichen Darstellung für ein Selbststudium gut geeignet. Viele der Beispiele sind als Übungsaufgaben mit Anleitung gestaltet. Der Autor Prof. Dr. Gerd Fischer, Zentrum Mathematik der TU München, ist Autor zahlreicher erfolgreicher Lehrbücher, u. a. der Linearen Algebra (Verlagstext)

 

 

 

Aus dem Inhalt:

Leitfaden 1 // 1 Gruppen 5 / 1.1 Halbgruppen, Gruppen und Untergruppen 5 / 1.1.1 Innere Verknüpfungen und Halbgruppen 5 / 1.1.2 Beispiele 6 / 1.1.3 Definition einer Gruppe 8 / 1.1.4 Abschwächung der Gruppenaxiome 9 / 1.1.5 Translationen und Kürzungsregeln 10 / 1.1.6 Definition einer Untergruppe 11 / 1.1.7 Erzeugung von Untergruppen 12 / 1.1.8 Untergruppen von Z, Kongruenzen und Restklassen 13 / 1.1.9 Beispiele 18 / 1.2 Homomorphismen und Normalteiler 28 / 1.2.1 Definition eines Homomorphismus 28 / 1.2.2 Beispiele 30 / 1.2.3 Nebenklassen 36 / 1.2.4 Ordnung und Index 38 / 1.2.5 Beispiele 40 / 1.2.6 Definition eines Normalteilers 44 / 1.2.7 Homomorphismen und Normalteiler 45 / 1.2.8 Faktorgruppen 46 / 1.2.9 Beispiele 47 / 1.3 Isomorphiesätze, Produkte von Gruppen und zyklische Gruppen 50 / 1.3.1 Isomorphiesätze 50 / 1.3.2 Äußeres direktes Produkt 53 / 1.3.3 Inneres direktes Produkt 54 / 1.3.4 Äußeres semidirektes Produkt* 58 / 1.3.5 Inneres semidirektes Produkt* 60 / 1.3.6 Beispiele* 62 / 1.3.7 Zyklische Gruppen 69 / 1.3.8 Teilbarkeit ganzer Zahlen 71 / 1.3.9 Der Chinesische Restsatz 75 // 1.3.10 Der euklidische Algorithmus 77 / 1.3.11 Produkte zyklischer Gruppen 81 / 1.3.12 Untergruppen zyklischer Gruppen 83 / 1.3.13 Zerlegung einer zyklischen Gruppe 84 / 1.3.14 Primrestklassengruppen 85 / 1.3.15 Automorphismen zyklischer Gruppen* 90 / 1.3.16 Beispiele 91 / 1.3.17 Unendlich zyklische und frei-abelsche Gruppen* 97 / 1.4 Operationen von Gruppen auf Mengen 102 / 1.4.1 Definition einer Operation 102 / 1.4.2 Beispiele 103 / 1.4.3 Bahnenraum und Standgruppe 104 / 1.4.4 Die Klassengleichung* 106 / 1.4.5 Zyklenzerlegung einer Permutation 108 / 1.4.6 Beispiele 110 / 1.5 Symmetriegruppen* 115 / 1.5.1 Regelmäßige n-Ecke und die Diedergruppe 115 / 1.5.2 Endliche Untergruppen von 0(2) 117 / 1.5.3 Symmetrien des Tetraeders 119 / 1.5.4 Symmetrien von Würfel und Oktaeder 120 / 1.5.5 Symmetrien von Ikosaeder und Dodekaeder 123 / 1.5.6 Die Klassengleichung der Ikosaedergruppe 126 / 1.5.7 Endliche Untergruppen von SO(3) 128 / 1.5.8 Symmetrien von Fußbällen 128 / 1.6 Struktursätze 130 / 1.6.1 Elemente zu vorgegebener Ordnung 130 / 1.6.2 Struktursatz für endliche abelsche Gruppen 132 / 1.6.3 Endliche abelsche p-Gruppen* 137 / 1.6.4 Klassifikation der endlichen abelschen Gruppen* 138 / 1.6.5 Endlich erzeugte abelsche Gruppen* 142 / 1.6.6 Spaltung in Torsion und freien Anteil * 144 / 1.6.7 Endliche p-Gruppen* 147 / 1.6.8 Die Sätze von Sylow* 149 / 1.6.9 Beispiele* 154 / 1.7 Einfache und auflösbare Gruppen* 162 / 1.7.1 Einfache Gruppen , 162 / 1.7.2 Kommutatorgruppen 164 / 1.7.3 Beispiele 165 / 1.7.4 Auflösbare Gruppen 166 / 1.7.5 Auflösbarkeit von p-Gruppen 169 // 2 Ringe 171 / 2.1 Grundbegriffe 171 / 2.1.1 Definition eines R ings 171 / 2.1.2 Einheiten, Körper, Unterringe 173 / 2.1.3 Ringhomomorphismen 175 / 2.1.4 Beispiele 176 / 2.1.5 Polynomringe 183 / 2.1.6 Grad eines Polynoms 186 / 2.1.7 Division mit Rest 188 / 2.1.8 Nullstellen und Werte von Polynomen 190 / 2.1.9 Einheitswurzeln in C 192 / 2.1.10 Polynome in mehrerenVeränderlichen* 194 / 2.1.11 Endliche Untergruppen der multiplikativen Gruppe eines Körpers 198 / 2.1.12 Einbettung einer Halbgruppe in eine Gruppe 200 / 2.1.13 Quotientenkörper 202 / 2.1.14 Beispiele 204 / 2.2 Ideale und Restklassenringe 206 / 2.2.1 Definition von Idealen 206 / 2.2.2 Ideale und Einheiten 207 / 2.2.3 Restklassenringe 208 / 2.2.4 Isomorphiesätze 209 / 2.2.5 Beispiele 210 / 2.2.6 Hauptidealringe und noethersche Ringe 213 / 2.2.7 Euklidische Ringe 215 / 2.2.8 Beispiele 216 / 2.2.9 Der Hilbertsche B asissatz* 220 / 2.2.10 Operationen mit Idealen* 222 / 2.2.11 Der Chinesische Restsatz* 223 / 2.2.12 Beispiele* 225 / 2.2.13 Primideale und maximale Ideale 227 / 2.2.14 Beispiele 229 / 2.2.15 Existenz maximaler Ideale und das Lemma von ZORN* 231 / 2.3 Teilbarkeit in Integritätsringen 235 / 2.3.1 Teiler und assoziierte Elemente 235 / 2.3.2 Irreduzible Elemente und Primelemente 236 / 2.3.3 Teilerketten 240 / 2.3.4 Primzahlen 242 / 2.3.5 Faktorielle Ringe 245 / 2.3.6 Gemeinsame Teiler und Vielfache 247 / 2.3.7 Polynomringe über faktoriellen Ringen 249 / 2.3.8 Irreduzibilitätskriterien für Polynome 255 / 2.3.9 Beispiele 259 / 2.3.10 Ringe holomorpher Funktionen* 264 / 2.4 Quadratische Zahlkörper und Zahlringe* 266 / 2.4.1 Quadratische Zahlkörper 266 / 2.4.2 Quadratische Zahlringe 269 / 2.4.3 Einheiten in quadratischen Zahlringen 271 / 2.4.4 Euklidische quadratische Zahlringe 276 / 2.4.5 Faktorzerlegung in quadratischen Zahlringen 280 / 2.4.6 Ideale als ideale Zahlen 287 // 3 Körpererweiterungen 291 / 3.1 Grundbegriffe 291 / 3.1.1 Charakteristik und Primkörper 292 / 3.1.2 Grad einer Körpererweiterung 293 / 3.1.3 Adjunktion von Elementen 295 / 3.1.4 Algebraische und transzendente Elemente 297 / 3.1.5 Das Minimalpolynom 299 / 3.1.6 Beispiele 301 / 3.1.7 Algebraische Körpererweiterungen 306 / 3.1.8 Algebraisch abgeschlossene Körper 309 / 3.2 Konstruktion von Körpererweiterungen 313 / 3.2.1 Symbolische Adjunktion von Nullstellen 313 / 3.2.2 Existenz und Fortsetzung von Körperisomorphismen 315 / 3.2.3 Zerfällungskörper eines Polynoms 320 / 3.2.4 Beispiele 324 / 3.2.5 Der algebraische Abschluss* 328 / 3.3 Einfache und mehrfache Nullstellen 332 / 3.3.1 Vielfachheit von Nullstellen und formale Ableitung 332 / 3.3.2 Separabilität 335 / 3.3.3 Der Frobenius-Homomorphismus 337 / 3.3.4 Endliche Körper 339 / 3.3.5 Beispiele 342 / 3.3.6 Algebraischer Abschluss eines endlichen Körpers 345 / 3.3.7 Der Satz vom primitiven Element 346 / 3.3.8 Beispiele 347 / 3.3.9 Resultanten* 349 / 3.3.10 Diskriminanten* 353 / 3.3.11 Beispiele* 355 / 3.4 Galois-Theorie 359 / 3.4.1 Symmetrische Polynome 359 / 3.4.2 Die Galoisgruppe 364 / 3.4.3 Fixkörper 370 / 3.4.4 Galois-Erweiterungen 373 / 3.4.5 Der Hauptsatz der Galois-Theorie 376 / 3.4.6 Beispiele 379 / 3.4.7 Der Fundamentalsatz der Algebra* 383 / 3.4.8 Diskriminante und Galois-Gruppe* 387 / 3.4.9 Galois-Theorie endlicher Körper* 389 / 3.5 Lösung von Polynomgleichungen* 391 / 3.5.1 Quadratische G leichungen 391 / 3.5.2 Kubische G leichungen 391 / 3.5.3 Beispiele 395 / 3.5.4 Gleichungen vierten Grades 397 / 3.5.5 Beispiele 401 / 3.5.6 Kreisteilung in Charakteristik Null 404 / 3.5.7 Kreisteilung in Charakteristik p > 0 411 / 3.5.8 Reine Polynome 414 / 3.5.9 Zyklische Erweiterungen 417 / 3.5.10 Lösbarkeit von Polynomgleichungen 419 / 3.5.11 Die allgemeine Polynomgleichung 423 / 3.5.12 Gleichungen fünften Grades und das Ikosaeder 424 / 3.5.13 Darstellung von Einheitswurzeln 427 / 3.5.14 Beispiele 429 / 3.5.15 Das Umkehrproblem der Galois-Theorie 434 / 3.6 Geometrische Konstruktionen 437 / 3.6.1 Konstruktionen mit Zirkel und Lineal 438 / 3.6.2 Der Körper der konstruierbaren Punkte 439 / 3.6.3 Struktur des Körpers der konstruierbaren Punkte 441 / 3.6.4 Unlösbarkeit klassischer Konstruktionsaufgaben 444 / 3.6.5 Konstruktion von regelmäßigen n-Ecken* 446 / 3.6.6 Andere Regeln für Konstruktionsverfahren* 451 // Anhang 1 Platonische Körper 453 / Anhang 2 Begriffe und Axiome 459 // Literaturverzeichnis 481 / Index 487 / Symbolverzeichnis 493