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Dieses Lehrbuch zur Algebra bietet eine Einführung in die grundlegenden Begriffe und Methoden der modernen Algebra. Es werden die Themen eines Grundkurses zur Algebra ausführlich und motivierend behandelt.

 

 

Die Algebra wird von vielen Studierenden als sehr abstrakt empfunden. Daher haben sich die Autoren bemüht, die Ergebnisse und Begriffe mit zahlreichen Beispielen zu unterlegen. Die Beweisführungen sind ausführlich, die Kapitel sind in kleine Lerneinheiten unterteilt. Diese Lerneinheiten führen Schritt für Schritt an die Ergebnisse heran und können durch diese Darstellung vom Leser besser nachvollzogen werden.

 

 

Die zahlreichen Aufgaben unterschiedlicher Schwierigkeitsgrade zum Ende der Kapitel überprüfen das Gelernte und fördern das tiefere Verständnis der Theorie.

 

 

Das Buch wurde für die 5. Auflage vollständig durchgesehen und um einen ausführlichen Abschnitt zum semidirekten Produkt von Gruppen erweitert. Zudem wurden Lösungsmethoden inklusive Beispiele für manche typischen Aufgabenstellungen übersichtlich zusammengestellt, z.B. zum Nachweis der Reduzibilität bzw. Irreduzibilität von Polynomen.

 

 

Aus dem Inhalt:

Teil I Gruppen / 1 Halbgruppen 3 / 1.1 Definitionen 3 / 1.2 Unterhalbgruppen 7 / 1.3 Invertierbare Elemente 7 / 1.4 Allgemeines Assoziativ-und Kommutativgesetz 9 / 1.5 Potenzen und Vielfache 10 / 1.6 Homomorphismen, Isomorphismen 11 / 1.7 Direkte Produkte 14 / Aufgaben 15 / / 2 Gruppen 17 / 2.1 Eigenschaften und Beispiele vonGruppen 17 / 2.2 Untergruppen 22 / 2.3 Homomorphismen 26 / Aufgaben 30 / / 3 Untergruppen 33 / 3.1 Erzeugendensysteme. Elementordnungen 33 / 3.2 Nebenklassen 40 / 3.3 Der Satz von Lagrange 42 / Aufgaben 47 / / 4 Normalteiler und Faktorgruppen 49 / 4.1 Normalteiler 49 / 4.2 Normalisatoren 52 / 4.3 Faktorgruppen 54 / 4.4 Der Homomorphiesatz 59 / 4.5 Innere Automorphismen und das Zentrum einer Gruppe * 61 / 4.6 Isomorphiesätze 62 / Aufgaben 66 / / 5 Zyklische Gruppen 69 / 5.1 Der Untergruppenverband zyklischer Gruppen 69 / 5.2 Klassifikation der zyklischen Gruppen 71 / 5.3 Anwendungen in der Zahlentheorie 72 / 5.4 Die Automorphismengruppen zyklischer Gruppen * 79 / Aufgaben 80 / / 6 Direkte und semidirekte Produkte 83 / 6.1 Äußere direkte Produkte 83 / 6.2 Innere direkte Produkte 84 / 6.3 Anwendung in der Zahlentheorie 88 / 6.4 Semidirekte Produkte 95 / Aufgaben 101 / / 7 Gruppenoperationen 103 / 7.1 Bahnen und Stabilisatoren 103 / 7.2 Der Fixpunktsatz 109 / 7.3 Die Klassengleichung 110 / Aufgaben 113 / / 8 Die Sätze von Sylow 115 / 8.1 Der erste Satz von Sylow 115 / 8.2 Der zweite Satz von Sylow 119 / 8.3 Gruppen kleiner Ordnung 122 / 8.4 Einfache Gruppen 125 / Aufgaben 128 / / 9 Symmetrische und alternierende Gruppen 131 / 9.1 Kanonische Zerlegung in Zyklen 131 / 9.2 Alternierende Gruppen 136 / 9.3 Zur Einfachheit der alternierenden Gruppen 138 / Aufgaben 140 / / 10 Der Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen 143 / 10.1 Der Hauptsatz 143 / 10.2 Klassifikation der endlichen abelschen Gruppen 146 / 10.3 Die zweite Version des Hauptsatzes * 148 / Aufgaben 149 / / 11 Auflösbare Gruppen 151 / 11.1 Normalreihen und Kompositionsreihen 151 / 11.2 Kommutatorgruppen 156 / 11.3 Auflösbare Gruppen 159 / 11.4 Untergruppen, Faktorgruppen und Produkte auflösbarer Gruppen 160 / 11.5 Klassen auflösbarer Gruppen 162 / Aufgaben 163 / / 12 Freie Gruppen * 165 / 12.1 Existenz und Eindeutigkeit freier Gruppen 166 / 12.2 Definierende Relationen 175 / 12.3 Beispiele 178 / Aufgaben 179 / / Teil II Ringe / 13 Grundbegriffe der Ringtheorie 183 / 13.1 Definition und Beispiele 183 / 13.2 Teilringe 186 / 13.3 Die Einheitengruppe 187 / 13.4 Homomorphismen 188 / 13.5 Integritätsbereiche 190 / 13.6 Charakteristik eines Ringes mit 1 191 / 13.7 Körper und Schiefkörper 193 / 13.8 Quotientenkörper 194 / Aufgaben 197 / / 14 Polynomringe 201 / 14.1 Motivation 202 / 14.2 Konstruktion des Ringes R[N0] 202 / 14.3 Polynome in einer Unbestimmten 204 / 14.4 Prime Restklassengruppen * 214 / 14.5 Polynome in mehreren Unbestimmten 216 / Aufgaben 219 / / 15 Ideale 221 / 15.1 Definitionen und Beispiele 221 / 15.2 Erzeugung von Idealen 223 / 15.3 Einfache Ringe 225 / 15.4 Idealoperationen 227 / 15.5 Faktorringe 228 / 15.6 Isomorphiesätze 230 / 15.7 Primideale 231 / 15.8 Maximale Ideale 233 / Aufgaben 236 / / 16 Teilbarkeit in Integritätsbereichen 241 / 16.1 Teilbarkeit 241 / 16.2 Idealtheoretische Interpretation 246 / Aufgaben 247 / 17 Faktorielle Ringe 249 / 17.1 Kennzeichnungen faktorieller Ringe 249 / 17.2 Der nichtfaktorielle Ring Z[V—5] * 253 / Aufgaben 255 / / 18 Hauptidealringe. Euklidische Ringe 257 / 18.1 Hauptidealringe 257 / 18.2 Euklidische Ringe 260 / 18.3 Der euklidische Ring Z[i] * 263 / 18.4 Weitere Ringe der Form Z[Vd] * 265 / Aufgaben 269 / / 19 Zerlegbarkeit in Polynomringen und noethersche Ringe 273 / 19.1 Der Satz von Gauß 273 / 19.2 Irreduzibilität 278 / 19.3 Noethersche Ringe * 286 / Aufgaben 289 / / Teil III Körper / 20 Grundlagen der Körpertheorie 295 / 20.1 Körpererweiterungen 295 / 20.2 Ring-und Körperadjunktion 301 / 20.3 Algebraische Elemente. Minimalpolynome 303 / Aufgaben 305 / / 21 Einfache und algebraische Körpererweiterungen 309 / 21.1 Einfache Körpererweiterungen 309 / 21.2 Fortsetzung von Isomorphismen auf einfache Erweiterungen 312 / 21.3 Algebraische Körpererweiterungen 314 / Aufgaben 318 / / 22 Konstruktionen mit Zirkel und Lineal * 321 / 22.1 Konstruierbarkeit 321 / 22.2 Die drei klassischen Probleme 328 / Aufgaben 330 / / 23 Transzendente Körpererweiterungen * 331 / 23.1 Transzendenzbasen 331 / 23.2 Der Transzendenzgrad 335 / Aufgaben 336 / / 24 Algebraischer Abschluss. Zerfällungskörper 337 / 24.1 Der algebraische Abschluss eines Körpers 338 / 24.2 Zerfällungskörper 344 / 24.3 Normale Körpererweiterungen 349 / Aufgaben 351 / / 25 Separable Körpererweiterungen 355 / 25.1 Ableitung. Mehrfache Wurzeln 355 / 25.2 Separabilität 358 / 25.3 Vollkommene Körper 360 / 25.4 Der Satz vom primitiven Element 361 / 25.5 Der separable Abschluss 364 / Aufgaben 368 / / 26 Endliche Körper 371 / 26.1 Existenz und Eindeutigkeit 371 / 26.2 Der Verband der Teilkörper 374 / 26.3 Automorphismen 376 / Aufgaben 376 / / 27 Die Galoiskorrespondenz 379 / 27.1 K- Automorphismen 380 / 27.2 Die allgemeine Galoiskorrespondenz 383 / 27.3 Algebraische Galoiserweiterungen 388 / 27.4 Hauptsatz der endlichen Galoistheorie 390 / 27.5 Ergänzungen 393 / Aufgaben 396 / / 28 Der Zwischenkörperverband einer Galoiserweiterung * 399 / 28.1 Norm und Spur 399 / 28.2 Hinweise zur Ermittlung des Fixkörpers ^(A) 400 / 28.3 Hinweise zur Ermittlung von T = V(L/K) 402 / 28.4 Beispiele 403 / 28.5 Die Galoisgruppe eines Polynoms 405 / Aufgaben 409 / / 29 Kreisteilungskörper 413 / 29.1 Einheitswurzeln. Kreisteilungskörper 414 / 29.2 Kreisteilungspolynome 416 / 29.3 Die Galoisgruppe von KrJK 421 / 29.4 Konstruktion regulärer Vielecke * 423 / Aufgaben 427 / / 30 Auflösung algebraischer Gleichungen durch Radikale 429 / 30.1 Zyklische Körpererweiterungen 430 / 30.2 Auflösbarkeit 434 / 30.3 Das Auflösbarkeitskriterium 435 / Aufgaben 439 / / 31 Die allgemeine Gleichung 441 / 31.1 Symmetrische Funktionen 441 / 31.2 Das allgemeine Polynom 444 / 31.3 Die Diskriminante eines Polynoms * 447 / 31.4 Die allgemeine Gleichung vom Grad 3 * 449 / 31.5 Die allgemeine Gleichung vom Grad 4 * 452 / Aufgaben 454 / / Teil IV Moduln / 32 Moduln* 457 / 32.1 Links- und Rechtsmoduln 457 / 32.2 Untermoduln 460 / 32.3 Direkte Produkte und direkte Summen von Moduln 461 / 32.4 Faktormoduln 462 / 32.5 Freie Moduln 466 / 32.6 Moduln über Hauptidealringen 470 / Aufgaben 478 / / Hilfsmittel 481 / Literatur 489 / Stichwortverzeichnis 491