Durch zahlreiche neue Anwendungen in der Wirtschaft hat die Wahrscheinlichkeitstheorie auch in der Lehre an Bedeutung gewonnen. Der Autor fuhrt in die Wahrscheinlichkeitstheorie im Spannungsfeld zwischen theoretischen Grundlagen und Anwendung ein. Die systematische Darstellung der klassischen Themen wird durch viele Beispiele und Aufgaben erweitert. Dadurch ergeben sich auch Ansatzpunkte fur eine Vertiefung, beispielsweise auf dem Gebiet der Statistik und der Versicherungsmathematik.
/ AUS DEM INHALT: / / /
Einleitung 1
Teil I Mengensysteme und Abbildungen
1 Mengensysteme 7
1.1 Topologien 8
1.2 er- Algebren 14
1.3 Dynkin-Systeme 16
1.4 n-stabile Mengensysteme 17
1.5 Halbringe und Ringe 20
2 Topologische Räume und messbare Räume 25
2.1 Urbilder von Mengensystemen 25
2.2 Topologische Räume und stetige Abbildungen 27
2.3 Messbare Räume und messbare Abbildungen 29
3 Produkträume 33
3.1 Produkte und Projektionen 33
3.2 Produkte von topologischen Räumen 36
3.3 Produkte von messbaren Räumen 39
Teil II Maßtheorie
4 Mengenfunktionen 43
4.1 Inhalte 43
4.2 Maße 49
4.3 Signierte Maße 56
5 Fortsetzung von Maßen 63
5.1 Eindeutigkeitssatz 63
5.2 Äußere Maße 65
5.3 Existenzsatz 67
5.4 Approximationssatz 70
5.5 Lebesgue-Maß 72
6 Transformation von Maßen 79
6.1 Bildmaße 79
6.2 Translationsinvariante Maße auf ß(Rn) 80
6.3 Lineare Abbildungen des Lebesgue-Maßes 85
Teil III Integrationstheorie
7 Messbare Funktionen 91
7.1 Messbare Funktionen auf einem Messraum 92
7.2 Messbare Funktionen auf einem Maßraum 101
8 Lebesgue-Integral 109
8.1 Positive einfache Funktionen 110
8.2 Positive messbare Funktionen 115
8.3 Integrierbare Funktionen 123
8.4 LP-Räume 135
9 Berechnung des Lebesgue-Integrals 147
9.1 Integralinduzierte Maße und signierte Maße 148
9.2 Integration nach einem Maß mit Dichte 149
9.3 Absolutstetige und singuläre Maße 155
9.4 Integration nach einem Bildmaß 163
9.5 Integration nach einem eingeschränkten Maß 165
9.6 Produktmaße 168
9.7 Integration nach einem Produktmaß 175
9.8 Lebesgue-Integral und Riemann-Integral 180
Teil IV Wahrscheinlichkeitstheorie
10 Wahrscheinlichkeitsräume 193
10.1 Wahrscheinlichkeitsräume und Zufallsgrößen 194
10.2 Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume 196
10.3 Symmetrische Wahrscheinlichkeitsräume 198
10.4 Endliche Produkte von Wahrscheinlichkeitsräumen 202
10.5 Projektive Familien von Wahrscheinlichkeitsräumen 204
10.6 Satz von Andersen/Jessen 209
11 Unabhängigkeit 219
11.1 Unabhängige Familien von Ereignissen 219
11.2 Unabhängige Familien von Ereignissystemen 229
11.3 Unabhängige Familien von Zufallsgrößen 236
11.4 Produkte von Wahrscheinlichkeitsräumen 241
12 Univariate Verteilungen 245
12.1 Verteilungen und Verteilungsfunktionen 245
12.2 Transformationen von Verteilungen 267
12.3 Momente 274
12.4 Zentrale Momente 285
13 Multivariate Verteilungen 293
13.1 Verteilungen und Verteilungsfunktionen 293
13.2 Transformationen von Verteilungen 301
13.3 Randverteilungen 302
13.4 Unabhängigkeit 309
13.5 Verteilungen von Summen von Zufallsvariablen 314
13.6 Momente 319
13.7 Zentrale Momente 323
14 Konvergenz von Folgen von Zufallsvariablen 331
14.1 Fast sichere Konvergenz 331
14.2 Stochastische Konvergenz 333
14.3 Konvergenz im p-ten Mittel 335
15 Gesetze der Großen Zahlen 337
15.1 Schwache Gesetze der Großen Zahlen 337
15.2 Starke Gesetze der Großen Zahlen 341
15.3 Satz von Glivenko/Cantelli 353
15.4 Irrfahrten 357
Teil V Vertiefung der Wahrscheinlichkeitstheorie
16 Erzeugende Funktionen 369
16.1 Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion 370
16.2 Momenterzeugende Funktion 378
16.3 Kumulantenerzeugende Funktion 381
16.4 Charakteristische Funktion 383
17 Schwache Konvergenz und Zentraler Grenzwertsatz 391
17.1 Schwache Konvergenz 392
17.2 Straffheit 400
17.3 Zentraler Grenzwertsatz 405
18 Bedingte Erwartung 409
18.1 Bedingte Erwartung einer positiven Zufallsvariablen 410
18.2 Bedingte Erwartung und bedingte Integrierbarkeit 416
18.3 Bedingte Erwartung als Projektion 426
18.4 Martingale 428
19 Bedingte Wahrscheinlichkeit und bedingte Verteilung 435
19.1 Bedingte Wahrscheinlichkeit 435
19.2 Bedingte Unabhängigkeit 438
19.3 Bedingte Verteilung 442
19.4 Bedingte Dichte 446
19.5 Bedingte Gesetze der Großen Zahlen 451
20 Regularität und Satz von Kolmogorov 455
20.1 Regularität 456
20.2 Satz von Kolmogorov 458
Anhang
A Fakultät und Gamma-Funktion 465
A.1 Fakultät und Binomial-Koeffizient 465
A.2 Gamma-Funktion und Beta-Funktion 466
B Vektorräume, Ordnung und Topologie 467
B.1 Vektorräume 467
B.2 Ordnung 468
B.3 Topologie 469
B.4 Ordnung und Topologie 470
C Der Euklidische Raum 471
C. 1 Vektoren und Matrizen 471
C.2 Ordnung 473
C.3 Topologie 474
C.4 Ordnung und Topologie 474
Literaturverzeichnis 475
Symbolverzeichnis 477
Sachverzeichnis 481