Mathematik. Der Goldene Schnitt. Fraktale.
- Goldene Geometrie. Falten und Schneiden. Zahlenfolgen.
- Reguläre und halbreguläre Körper.
- Der Goldene Schnitt in Architektur, Kunst und Natur.
- Beispiele. Fragen. Antworten. Literatur. Index.
Mit einem Beitrag von Hans Wußing über populärwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig.
/ AUS DEM INHALT: / / /
1 Worum geht es? 13
1.1 Was ist der "Goldene Schnitt"? 13
1.2 Bezeichnungen 16
2 Fraktale 19
2.1 Fraktale in Natur und Technik 19
2.2 Der Goldene Baum 2 0
2.3 Fraktale Dimensionen 2 3
2.4 Die Herstellung von Fraktalen 2 4
2.5 Das Quadratfraktal 2 7
2.6 Dreieckfraktale 2 8
2.7 Das Goldene Quadratfraktal 32
2.8 Bearbeitung d e r Fragen im Abschnitt 2 3 4
3 Goldene Geometrie 3 5
3.1 Konstruktionen des Goldenen Schnittes 3 5
3.1.1 Die klassische Konstruktion 35
3.1.2 Konstruktion mit Winkelhalbierenden 3 6
3.1.3 Konstruktion im Schachbrett 38
3.1.4 Konstruktion im Dreiecksraster 3 9
3.1.5 Eine Konstruktion mit dem Zirkel allein 4 0
3.1.6 Eine Konstruktion mit einem freien Parameter 4 2
3.2 Das regelmäßige Fünfeck und das regelmäßige Zehneck 4 3
3.2.1 Näherungskonstruktionen für das regelmäßige Fünfeck 4 8
3.2.2 Rastergeometrie 4 9
3.2.3 Fraktale mit fünfteiliger Drehsymmetrie 51
3.3 Das Goldene Rechteck 5 3
3.3.1 Einheitsquadrat und Goldenes Rechteck 5 3
3.3.2 Konstruktion des Goldenen Rechteckes 5 4
3.3.3 Unterteilung des Goldenen Rechteckes 5 4
3.3.4 Spiralen im Goldenen Rechteck 5 8
3.3.5 Existenz irrationaler Zahlen 6 2
3.3.6 Verallgemeinerung des Goldenen Rechteckes 6 5
3.4 Goldene Vielecke 68
3.4.1 Das Goldene Parallelogramm 6 8
3.4.2 Goldene Dreiecke 6 9
3.5 Goldene Ellipsen 72
3.5.1 Flächenvergleich mit einem Kreis 72
3.5.2 Geometrie beim Umspulen 73
3.5.3 Ellipse im Quadratraster 7 5
3.6 Goldene Trigonometrie 7 6
3.6.1 Formeln und Beispiele 7 6
3.6.2 Fourier und der Goldene Schnitt 78
3.7 Bearbeitung der Fragen im Abschnitt 3 80
4 Falten und Schneiden 91
4.1 Papierstreifen-Konstruktion des regelmäßigen Fünfeckes 91
4.2 Origami 9 3
4.2.1 Das Goldene Rechteck 93
4.2.2 Fünfteilige Symmetrie 95
4.3 Fünfecke 97
4.4 Sternfiguren 9 9
4.4.1 Das Pentagramm 9 9
4.4.2 Die Figur von Odom 9 9
4.5 Bearbeitung der Fragen im Abschnitt 4 101
5 Zahlenfolgen 103
5.1 Linearisierung von Potenzen des Goldenen Schnittes 103
5.2 Fibonacci-Folgen 105
5.2.1 Goldenes Trapez und Goldener Stern 107
5.2.2 Stammbaum einer Drohne 109
5.2.3 Approximation des Goldenen Rechteckes durch Fibonacci-Quadrate I I I
5.2.4 Beliebige Startwerte 113
5.3 Potenzen von \ + y[2 114
5.4 Potenzen einer Lösung einer quadratischen Gleichung 117
5.5 Verallgemeinerte Fibonacci-Folgen 121
5.6 Kettenbrüche 128
5.7 Linearkombination zweier geometrischer Folgen 130
5.8 Kettenwurzeln 132
5.9 Bearbeitung d e r Fragen im Abschnitt 5 133
6 Reguläre und halbreguläre Körper 139
6.1 Die regulären Körper 139
6.2 Konstruktionen a u f der Basis des Würfels und des Oktaeders 140
6.3 Rhombenkörper 144
6.3.1 Das Rhombendodekaeder 144
6.3.2 Flechtmodelle für Würfel und Rhombendodekaeder 146
6.3.3 Das Rhombentriakontaeder 149
6.3.4 Rhomboeder 151
6.3.5 Zerlegung des Rhombentriakontaeders 152
6.3.6 Bilder von Hyperwürfeln 155
6.3.7 Ein Sternkörper 156
6.4 Bearbeitung der Fragen i m Abschnitt 6 " 158
7 Beispiele und weitere Fragen 161
7.1 Zahlenspielereien 161
7.2 Geometrie, Schnittpunkte 166
7.3 Ornamente 174
7.3.1 Nullstellen 174
7.3.2 Das Sinus-Ornament 176
7.3.3 Ornamente mit Kreisen 177
7.4 Das DIN-Format 178
7.4.1 Kombination von DIN A 4 und DIN A6 178
7.4.2 Konstruktion mit zwei DIN-Rechtecken 179
7.4.3 Das Reuleaux-Dreieck und das DIN-Format 180
7.5 Extrema und Wendepunkte. Funktionen 182
7.6 Goldene Wahrscheinlichkeiten 184
7.7 Bearbeitung der Fragen im Abschnitt 7 186
8 Der Goldene Schnitt in Architektur, Kunst und Natur 193
8.1 Architektur 193
8.1.1 Die Cheops-Pyramide 193
8.1.2 Antike 196
8.1.3 Das Alte Rathaus in Leipzig 196
8.2 Malerei 197
8.3 Verhältnisse am Menschen 200
8.4 Weiße und schwarze Magie 202
8.5 In der Natur 203
8.6 Bearbeitung der Fragen im Abschnitt 8 208
Literatur 211
Abbildungsnachweis 217
Hans Wußing: Über populärwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig 219
Namen- und Sachverzeichnis 227