Das Buch ist Teil einer Vorlesungsreihe, die sich über die ersten vier bis fünf Semester erstreckt. Es wendet sich in erster Linie anStudierende der Ingenieurwissenschaften, darüber hinaus aber allgemein an Studierende technischer und physikalischer Fachrichtungen sowie anStudierende der Angewandten Mathematik. Lernende und Lehrende finden mehr in dem Buch, als in einem Vorlesungszyklus behandelt werden kann. Angedacht ist, dass Dozenten einen "roten Faden" auswählen, der ihren Studenten den Weg in die Mathematik bahnt.
/ AUS DEM INHALT: / / /
1 Grundlagen 1
1.1 Reelle Zahlen 1
1.1.1 Die Zahlengerade 1
1.1.2 Rechnen mit reellen Zahlen 4
1.1.3 Ordnung der reellen Zahlen und ihre Vollständigkeit 8
1.1.4 Mengenschreib.weise 11
1.1.5 Vollständige Induktion 17
1.1.6 Potenzen, Wurzeln, Absolutbetrag 21
1.1.7 Summenformeln: geometrische, binomische, polynomische 24
1.2 Elementare Kombinatorik 31
1.2.1 Fragestellungen der Kombinatorik 31
1.2.2 Permutationen 31
1.2.3 Permutationen mit Identifikationen 32
1.2.4 Variationen ohne Wiederholungen 34
1.2.5 Variationen mit Wiederholungen 37
1.2.6 Kombinationen ohne Wiederholungen . 38
1.2.7 Kombinationen mit Wiederholungen 39
1.2.8 Zusammenfassung 41
1.3 Funktionen 42
1.3.1 Beispiele 42
1.3.2 Reelle Funktionen einer reellen Variablen 44
1.3.3 Tabellen, graphische Darstellungen, Monotonie 46
1.3.4 Umkehrfunktion, Verkettungen 51
1.3.5 Allgemeiner Abbildungsbegriff 54
1.4 Unendliche Folgen reeller Zahlen 56
1.4.1 Definition und Beispiele 56
1.4.2 Nullfolgen 57
1.4.3 Konvergente Folgen 60
1.4.4 Ermittlung von Grenzwerten . 62
1.4.5 Häufungspunkte, beschränkte Folgen 66
1.4.6 Konvergenzkriterien 68
1.4.7 Lösen von Gleichungen durch Iteration 71
1.5 Unendliche Reihen reeller Zahlen 74
1.5.1 Konvergenz unendlicher Reihen 74
1.5.2 Allgemeine Konvergenzkriterien 79
1.5.3 Absolut konvergente Reihen 82
1.5.4 Konvergenzkriterien für absolut konvergente Reihen 85
1.6 Stetige Funktionen 89
1.6.1 Problemstellung: Lösen von Gleichungen 89
1.6.2 Stetigkeit 91
1.6.3 Zwischenwertsatz 94
1.6.4 Regeln für stetige Funktionen 97
1.6.5 Maximum und Minimum stetiger Funktionen 99
1.6.6 Gleichmäßige Stetigkeit 102
1.6.7 Grenzwerte von Funktionen 105
1.6.8 Pole und Grenzwerte im Unendlichen 109
1.6.9 Einseitige Grenzwerte, Unstetigkeiten 112
2 Elementare Funktionen 115
2.1 Polynome 115
2.1.1 Allgemeines 115
2.1.2 Geraden 116
2.1.3 Quadratische Polynome, Parabeln 121
2.1.4 Quadratische Gleichungen 126
2.1.5 Berechnung von Polynomwerten, Horner-Schema 128
2.1.6 Division von Polynomen, Anzahl der Nullstellen 132
2.2 Rationale und algebraische Funktionen 135
2.2.1 Gebrochene rationale Funktionen 135
2.2.2 Algebraische Funktionen 139
2.2.3 Kegelschnitte 143
2.3 Trigonometrische Funktionen 147
2.3.1 Bogenlänge am Einheitskreis 147
2.3.2 Sinus und Cosinus 154
2.3.3 Tangens und Cotangens 158
2.3.4 Arcus-Funktionen 161
2.3.5 Anwendungen: Entfernungsbestimmung, Schwingungen 164
2.4 Exponentialfunktionen, Logarithmus, Hyperbelfunktionen 169
2.4.1 Allgemeine Exponentialfunktionen 169
2.4.2 Wachstumsvorgänge. Die Zahl e 172
2.4.3 Die Exponentialfunktion exp(A") = e* und der natürliche Logarithmus 175
2.4.4 Hyperbel- und Areafunktionen 180
2.5 Komplexe Zahlen 183
2.5.1 Einführung 183
2.5.2 Der Körper der komplexen Zahlen 184
2.5.3 Exponentialfunktion, Sinus und Cosinus im Komplexen 191
2.5.4 Polarkoordinaten, geometrische Deutung der komplexen Multiplikation, Zeigerdiagramm 193
2.5.5 Fundamentalsatz der Algebra, Folgen und Reihen, stetige Funktionen im Komplexen 196
3 Differentialrechnung einer reellen Variablen 199
3.1 Grundlagen der Differentialrechnung 199
3.1.1 Geschwindigkeit 199
3.1.2 Differenzierbarkeit, Tangenten 202
3.1.3 Differentiationsregeln für Summen, Produkte und Quotrenten reeller Funktionen211
3.1.4 Kettenregel, Regel für Umkehrfunktionen, implizites Differenzieren 214
3.1.5 Mittelwertsatz der Differentialrechnung 220
3.1.6 Ableitungen der trigonometrischen Funktionen und der Arcusfunktionen . . . 2 2 3
3.1.7 Ableitungen der Exponential-und Logarithmus-Funktionen . 226
3.1.8 Ableitungen der Hyperbel-und Area-Funktionen 230
3.1.9 Zusammenstellung der wichtigsten Differentiationsregeln 230
3.2 Ausbau der Differentialrechnung 232
3.2.1 Die Regeln von de 1'Hospital 232
3.2.2 Die Taylorsche Formel 237
3.2.3 Beispiele zur Taylorformel 240
3.2.4 Zusammenstellung der Taylorreihen elementarer Funktionen 246
3.2.5 Berechnung von ix 249
3.2.6 Konvexität, geometrische Bedeutung der zweiten Ableitung 250
3.2.7 Das Newtonsche Verfahren 255
3.2.8 Bestimmung von Extremstellen 261
3.2.9 Kurvendiskussion 266
3.3 Anwendungen 273
3.3.1 Bewegung von Massenpunkten 273
3.3.2 Fehlerabschätzung 277
3.3.3 Zur binomischen Reihe: physikalische Näherungsformeln 278
3.3.4 Zur Exponentialfunktion: Wachsen und Abklingen 279
3.3.5 Zum Newtonschen Verfahren 282
3.3.6 Extremalprobleme 284
4 Integralrechnung einer reellen Variablen 289
4.1 Grundlagen der Integralrechnung 290
4.1.1 Flächeninhalt und Integral 290
4.1.2 Integrierbarkeit stetiger und monotoner Funktionen 294
4.1.3 Graphisches Integrieren, Riemannsche Summen, numerische Integration mit der Tangentenformel 296
4.1.4 Regeln für Integrale 300
4.1.5 Hauptsatz der Differential-und Integralrechnung 303
4.2 Berechnung von Integralen 306
4.2.1 Unbestimmte Integrale, Grundintegrale 306
4.2.2 Substitutionsmethode 309
4.2.3 Produktintegration 318
4.2.4 Integration rationaler Funktionen 323
4.2.5 Integration weiterer Funktionenklassen 328
4.2.6 Numerische Integration 331
4.3 Uneigentliche Integrale 336
4.3.1 Definition und Beispiele 336
4.3.2 Rechenregeln und Konvergenzkriterien 339
4.3.3 Integralkriterium für Reihen 346
4.3.4 Die Integralfunktionen Ei, Li, si, ci, das Fehlerintegral und die Gammafunktion 349
4.4 Anwendung: Wechselstromrechnung 353
4.4.1 Mittelwerte in der Wechselstromtechnik 353
4.4.2 Komplexe Funktionen einer reellen Variablen 355
4.4.3 Komplexe Wechselstromrechnung 359
4.4.4 Ortskurven bei Wechselstromschaltungen 364
5 Folgen und Reihen von Funktionen 369
5.1 Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen und-reihen 369
5.1.1 Gleichmäßige und punktweise Konvergenz von Funktionenfolgen 369
5.1.2 Vertauschung von Grenzprozessen 373
5.1.3 Gleichmäßig konvergente Reihen . 376
5.2 Potenzreihen 379
5.2.1 Konvergenzradius 379
5.2.2 Addieren und Multiplizieren von Potenzreihen sowie Differenzieren und Integrieren 383
5.2.3 Identitätssatz, Abelscher Grenzwertsatz 384
5.3 Der Weierstraß'sche Approximationssatz 387
5.3.1 Bemerkung zur Polynomapproximation 387
5.3.2 Approximation von stetigen Funktionen durch Bernstein-Polynome 388
5.4 Interpolation 393
5.4.1 Polynominterpolation 393
5.4.2 Splineinterpolation 410
5.5 Fourierreihen 419
5.5.1 Periodische Funktionen 419
5.5.2 Trigonometrische Reihen, Fourier-Koeffizienten 420
5.5.3 Beispiele für Fourierreihen 422
5.5.4 Konvergenz von Fourierreihen 430
5.5.5 Komplexe Schreibweise von Fourierreihen 435
5.5.6 Anwendung: Gedämpfte erzwungene Schwingung 438
6 Differentialrechnung mehrerer reeller Variabler 443
6.1 Der n-dimensionale Raum R" 443
6.1.1 Spaltenvektoren 443
6.1.2 Arithmetik im R" 444
6.1.3 Folgen und Reihen von Vektoren 450
6.1.4 Topologische Begriffe 452
6.1.5 Matrizen 455
6.2 Abbildungen im R" 459
6.2.1 Abbildungen aus R" inR'" 459
6.2.2 Funktionen zweier reeller Variabler 460
6.2.3 Stetigkeit im' R" o 466
6.3 Differenzierbare Abbildungen von mehreren Variablen 468
6.3.1 Partielle Ableitungen 468
6.3.2 Ableitungsmatrix, Differenzierbarkeit, Tangentialebene 472
6.3.3 Regeln für differenzierbare Abbildungen. Richtungsableitung 478
6.3.4 Das vollständige Differential 482
6.3.5 Höhere partielle Ableitungen 486
6.3.6 Taylorformel und Mittelwertsatz 488
6.4 Gleichungssysteme, Extremalprobleme, Anwendungen 491
6.4.1 Newton-Verfahren im K" 491
6.4.2 Satz über implizite Funktionen, Invertierungssatz 496
6.4.3 Extremalprobleme ohne Nebenbedingungen 501
6.4.4 Extremalprobleme mit Nebenbedingungen 504
7 Integralrechnung mehrerer reeller Variabler 511
7.1 Integration bei zwei Variablen 511
7.1.1 Anschauliche Einführung des Integrals zweier reeller Variabler 511
7.1.2 Analytische Einführung des Integrals zweier reeller Variabler 521
7.1.3 Grundlegende Sätze 525
7.1.4 Riemannsche Summen 531
7.1.5 Anwendungen 533
7.1.6 Krummlinige Koordinaten, Transformationen, Funktionaldeterminanten 540
7.1.7 Transformationsformel für Bereichsintegrale 545
7.2 Allgemeinfall: Integration bei mehreren Variablen 551
7.2.1 Riemannsches Integral im R" 551
7.2.2 Grundlegende Sätze 554
7.2.3 Krummlinige Koordinaten, Funktionaldeterminante, Transformationsformeln . 556
7.2.4 Rauminhalte 562
7.2.5 Rotationskörper 565
7.2.6 Anwendungen: Schwerpunkte, Trägheitsmomente 568
7.3 Parameterabhängige Integrale 576
7.3.1 Stetigkeit und Integrierbarkeit parameterabhängiger Integrale 576
7.3.2 Differentiation eines parameterabhängigen Integrals 577
7.3.3 Differentiation bei variablen Integrationsgrenzen 578
Anhang 581
A Lösungen zu den Übungen 583
Symbole 589
Literaturverzeichnis 591
Stichwortverzeichnis 595