Geschlossene Darstellung der linearen Algebra innerhalb des mehrbändigen Lehrwerks der höheren Mathematik für Studierende der Ingenieurwissenschaft (1. bis 5. Semester), anderer technischer und physikalischer sowie mathematischer Fachrichtungen.
/ AUS DEM INHALT: / / /
1 Vektorrechnung in zwei und drei Dimensionen 1
1.1 Vektoren in d e r Ebene 1
1.1.1 Kartesische Koordinaten und Zahlenmengen 1
1.1.2 Winkelfunktionen und Polarkoordinaten 3
1.1.3 Vektoren im R2 8
1.1.4 Physikalische und technische Anwendungen 13
1.1.5 Inneres Produkt (Skalarprodukt) 2 2
1.1.6 Parameterform und Hessesche Normalform einer Geraden 2 6
1.1.7 Geometrische Anwendungen 3 2
1.2 Vektoren im dreidimensionalen Raum 4 1
1.2.1 Der Raum R3 4 1
1.2.2 Inneres Produkt (Skalarprodukt) 4 6
1.2.3 Dreireihige Determinanten 4 9
1.2.4 Äußeres Produkt (Vektorprodukt) 5 0
1.2.5 Physikalische, technische und geometrische Anwendungen 5 5
1.2.6 Spatprodukt, mehrfache Produkte 6 3
1.2.7 Lineare Unabhängigkeit 6 7
1.2.8 Geraden und Ebenen im R3 7 0
2 Vektorräume beliebiger Dimensionen 75
2.1 Die Vektorräume R " und C " 7 5
2.1.1 Der Raum R " und seine Arithmetik 7 5
2.1.2 Inneres Produkt, Beträge von Vektoren 7 6
2.1.3 Unterräume, lineare Mannigfaltigkeiten 7 8
2.1.4 Geometrie im R ' \ Winkel, Orthogonalität 8 2
2.1.5 Der Raum C " 8 5
2.2 Lineare Gleichungssysteme, Gaußscher Algorithmus 8 6
2.2.1 Lösung quadratischer Gleichungssysteme 8 7
2.2.2 Matlab-Programme zur Lösung quadratischer Gleichungssysteme 9 0
2.2.3 Singulare lineare Gleichungssysteme 9 6
2.2.4 Allgemeiner Satz über die Lösbarkeit linearer quadratischer Gleichungssysteme 101
2.2.5 Rechteckige Systeme, Rangkriterium 104
2.3 Algebraische Strukturen: Gruppen und Körper 106
2.3.1 Einführung: Beispiel einer Gruppe 106
2.3.2 Gruppen 109
2.3.3 Endliche Permutationsgruppen 114
2.3.4 Homomorphismen, Nebenklassen 116
2.3.5 Körper 119
2.4 Vektorräume über beliebigen Körpern 121
2.4.1 Definition und Grundeigenschaften 121
2.4.2 Beispiele für Vektorräume 123
2.4.3 Unterräume, Basis, Dimension 125
2.4.4 Direkte Summen, freie Summen 130
2.4.5 Lineare Abbildungen: Definition und Beispiele 133
2.4.6 Isomorphismen, Konstruktion linearer Abbildungen 136
2.4.7 Kern, Bild, Rang 139
2.4.8 Euklidische Vektorräume, Orthogonalität 141
2.4.9 Ausblick a u f die Funktionalanalysis 143
3 Matrizen 147
3.1 Definition, Addition, s-Multiplikation 147
3.1.1 Motivation 147
3.1.2 Grundlegende Begriffsbildung 147
3.1.3 Addition, Subtraktion und .v-Multiplikation 149
3.1.4 Transposition, Spalten-und Zeilenmatrizen 152
3.2 Matrizenmultiplikation 154
3.2.1 Matrix-Produkt 154
3.2.2 Produkte mit Vektoren 157
3.2.3 Matrizen und lineare Abbildungen 158
3.2.4 Blockzerlegung 162
3.3 Reguläre und inverse Matrizen 164
3.3.1 Reguläre Matrizen 164
3.3.2 Inverse Matrizen 166
3.4 Determinanten 168
3.4.1 Definition, Transpositionsregel 169
3.4.2 Regeln für Determinanten 171
3.4.3 Berechnung von Determinanten mit dem Gaußschen Algorithmus 174
3.4.4 Matrix-Rang und Determinanten 178
3.4.5 Der Determinanten-Multiplikationssatz 180
3.4.6 Lineare Gleichungssysteme: die Cramersche Regel 181
3.4.7 Inversenformel 183
3.4.8 Entwicklungssatz 186
3.4.9 Zusammenstellung d e r wichtigsten Regeln über Determinanten 189
3.5 Spezielle Matrizen 191
3.5.1 Definition d e r wichtigsten speziellen Matrizen 191
3.5.2 Algebraische Strukturen von Mengen spezieller Matrizen 195
3.5.3 Orthogonale und unitäre Matrizen 197
3.5.4 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen 200
3.5.5 Zerlegungen und Transformationen symmetrischer Matrizen 201
3.5.6 Positiv definite Matrizen und Bilinearformen 204
3.5.7 Kriterien für positiv definite Matrizen 206
3.5.8 Direkte Summe und direktes Produkt von Matrizen 209
3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren 211
3.6.1 Definition von Eigenwerten und Eigenvektoren 211
3.6.2 Anwendung: Schwingungen 2 1 4
3.6.3 Eigenschaften des charakteristischen Polynoms 217
3.6.4 Eigenvektoren und Eigenräume 2 2 3
3.6.5 Symmetrische Matrizen und ihre Eigenwerte 228
3.7 Die Jordansche Normalform 235
3.7.1 Praktische Durchführung d e r Transformation a u f Jordansche Normalform . . . 2 4 0
3.7.2 Berechnung des charakteristischen Polynoms und d e r Eigenwerte einer Matrix mit dem Krylov-Verfahren 249
3.7.3 Das Jacobi-Verfahren zur Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren symmetrischer Matrizen 251
3.7.4 Von-Mises-lteration, Deflation und inverse Iteration zur numerischen Eigenwert- und Eigenvektorberechnung 254
3.8 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen 2 6 0
3.8.1 Rangkriterium 2 6 0
3.8.2 Quadratische Systeme, Fredholmsche Alternative 262
3.8.3 Dreieckszerlegung von Matrizen durch den Gaußschen Algorithmus, Cholesky-Verfahren 2 6 4
3.8.4 Lösung großer Gleichungssysteme 269
3.8.5 Einzelschrittverfahren 277
3.9 Matrix-Funktionen 2 8 6
3.9.1 Matrix-Potenzen 2 8 6
3.9.2 Matrixpolynome 287
3.9.3 Annullierende Polynome, Satz von Cayley-Hamilton 289
3.9.4 Das Minimalpolynom einer Matrix 2 9 4
3.9.5 Folgen und Reihen von Matrizen 297
3.9.6 Potenzreihen von Matrizen 299
3.9.7 Matrix-Exponentialfunktion, Matrix-Sinus- und Matrix-Cosinus-Funktion . . . 3 0 3
3.10 Drehungen, Spiegelungen, Koordinatentransformationen 307
3.10.1 Drehungen und Spiegelungen in d e r Ebene 308
3.10.2 Spiegelung im R " , QR-Zerlegung 310
3.10.3 Drehungen im dreidimensionalen Raum 3 1 3
3.10.4 Spiegelungen und Drehspiegelungen im dreidimensionalen Raum 320
3.10.5 Basiswechsel und Koordinatentransformation 321
3.10.6 Transformation bei kartesischen Koordinaten 324
3.10.7 Affine Abbildungen und affine Koordinatentransformationen 326
3.10.8 Hauptachsentransformation von Quadriken 328
3.10.9 Kegelschnitte 3 3 3
3.10.10 Flächen zweiten Grades: Ellipsoide, Hyperboloide, Paraboloide 336
3.11 Lineare Ausgleichsprobleme 340
3.11.1 Die Methode d e r kleinsten Fehlerquadrate 3 4 0
3.11.2 Lösung d e r Normalgleichung 349
3.11.3 Lösung des Minimierungsproblenis 3 5 0
4 Anwendungen 363
4.1 Technische Strukturen 3 6 3
4.1.1 Ebene Stabwerke 3 6 3
4.1.2 Elektrische Netzwerke 370
4.2 Roboter-Bewegung 380
4.2.1 Einführende Betrachtungen 380
4.2.2 Kinematik eines ( " + 1 )-gliedrigen Roboters 381
Anhang 391
A Lösungen zu den Übungen 393
Symbole 401
Literaturverzeichnis 403
Stichwortverzeichnis 409