Das Buch umfasst den Inhalt einer Vorlesungsreihe, die sich über die ersten vier bis fünf Semester erstreckt. Neu aufgenommen sind zahlreiche Beispiele, in denen Differentialgleichungen bzw. Systeme von Differentialgleichungen mit Mathematica gelöst werden. Der Abschnitt Fouriertransformation wird um die wichtigen Bereiche Diskrete Fouriertransformation (DFT) und Schnelle Fouriertransformation (FFT) erweitert und somit aktualisiert. Anhand von Beispielen wird deren algorithmische Behandlung dargestellt und erklärt.
Für die neue Auflage wurde das Buch vollständig überarbeitet und erweitert. Insbesondere wurde das Layout umfassend modernisiert.
/ AUS DEM INHALT: / / /
I Gewöhnliche Differentialgleichungen 1
1 Einführung in die Gewöhnlichen Differentialgleichungen 1
1.1 Was ist eine Differentialgleichung? 1
1.1.1 Differentialgleichungen als Modelle für technisch-physikalische Probleme . . 1
1.1.2 Definition einer gewöhnlichen Differentialgleichung n-ter Ordnung 8
1.2 Differentialgleichungen 1-ter Ordnung 10
1.2.1 Geometrische Interpretation. Folgerungen 10
1.2.2 Grundprobleme 13
1.2.3 Existenz-und Eindeutigkeitssatz 15
1.2.4 Anwendungen des Existenz- und Eindeutigkeitssatzes 23
1.2.5 Elementare Lösungsmethoden 28
1.2.6 Numerische Verfahren 41
1.3 DGln höherer Ordnung und Systeme 1 -ter Ordnung 83
1.3.1 Existenz-und Eindeutigkeitssätze 88
1.3.2 Abhängigkeit von Anfangsdaten und Parametern 90
1.3.3 Elementare Lösungsmethoden bei nichtlinearen Differentialgleichungen 2-ter Ordnung 93
1.4 Ebene autonome Systeme (Einführung) 109
1.4.1 Fortsetzbarkeit der Lösungen von Anfangswertproblemen 110
1.4.2 Phasenebene, Orbits und Gleichgewichtspunkte 115
1.4.3 Lineare autonome Systeme 124
1.4.4 Ebene nichtlineare autonome Systeme 127
2 Lineare Differentialgleichungen 139
2.1 Lösungsverhalten 140
2.1.1 Globale Existenz und Eindeutigkeit bei Systemen 1-ter Ordnung 140
2.1.2 Globale Existenz und Eindeutigkeit bei Differentialgleichungen n-ter Ordnung 143
2.2 Homogene lineare Systeme 1-ter Ordnung 143
2.2.1 Fundamentalsystem 144
2.2.2 Wronski-Determinante 146
2.3 Inhomogene lineare Systeme 1-ter Ordnung 148
2.3.1 Inhomogene Systeme und Superposition 148
2.3.2 Spezielle Lösungen und Variation der Konstanten 149
2.4 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung 152
2.4.1 Fundamentalsystem und Wronski-Determinante 152
2.4.2 Reduktionsprinzip 155
2.4.3 Variation der Konstanten 158
3 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 163
3.1 Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung 163
3.1.1 Homogene Differentialgleichungen und Konstruktion eines Fundamentalsystems 163
3.1.2 Inhomogene Differentialgleichungen und Grundzüge der Operatorenmethode . 170
3.1.3 Inhomogene Differentialgleichungen und Grundlösungsverfahren 177
3.1.4 Anwendungen 180
3.2 Lineare Systeme 1-ter Ordnung 194
3.2.1 Eigenwerte und-vektoren bei symmetrischen Matrizen 195
3.2.2 Systeme mit symmetrischen Matrizen 195
3.2.3 Hauptvektoren. Jordansche Normalform 198
3.2.4 Systeme mit beliebigen Matrizen 200
3.2.5 Systeme und Matrix-Funktionen 205
3.2.6 Zurückfiihrung auf Differentialgleichungen höherer Ordnung. Systeme höherer Ordnung 210
3.2.7 Anwendungen 213
4 Potenzreihenansätze und Anwendungen 225
4.1 Potenzreihenansätze 225
4.1.1 Differentialgleichungen mit regulären Koeffizienten 225
4.1.2 Hermitesche Differentialgleichung 228
4.2 Verallgemeinerte Potenzreihenansätze 233
4.2.1 Differentialgleichungen mit singulären Koeffizienten 233
4.2.2 Besseische Differentialgleichung 234
5 Rand- und Eigenwertprobleme. Anwendungen 241
5.1 Rand-und Eigenwertprobleme 243
5.1.1 Beispiele zur Orientierung 243
5.1.2 Randwertprobleme 244
5.1.3 Eigenwertprobleme 246
5.2 Anwendung auf eine partielle Differentialgleichung 247
5.2.1 Die schwingende Saite 247
5.2.2 Physikalische Interpretation 251
5.3 Anwendung auf ein nichtlineares Problem (Stabknickung) .253
5.3.1 Aufgabenstellung 253
5.3.2 Das linearisierte Problem 255
5.3.3 Das nichtlineare Problem. Verzweigungslösungen 256
II Distributionen 263
6 Verallgemeinerung des klassischen Funktionsbegriffs 265
6.1 Motivierung und Definition 265
6.1.1 Einführende Betrachtungen 265
6.1.2 Der Grundraum Cp^R") 268
6.1.3 Distributionen (im weiteren Sinn) 271
6.2 Distributionen als Erweiterung der klassischen Funktionen 272
6.2.1 Stetige Funktionen und Distributionen 272
6.2.2 Die Diracsche Delta-Funktion 274
7 Rechnen mit Distributionen. Anwendungen 277
7.1 Rechnen mit Distributionen 277
7.1.1 Grundoperationen 277
7.1.2 Differentiation. Beispiele 278
7.2 Anwendungen 282
7.2.1 Grundlösung der Wärmeleitungsgleichung 282
7.2.2 Ein Differentialgleichungsproblem 283
III Integraltransformationen 289
8 Fouriertransformation 295
8.1 Motivierung und Definition 295
8.1.1 Einführende Betrachtungen 295
8.1.2 Definition der Fouriertransformation. Beispiele 301
8.2 Umkehrung der Fouriertransformation 304
8.2.1 Umkehrsatz im Raum © 304
8.2.2 Umkehrsatz für stückweise glatte Funktionen 308
8.2.3 Eindeutigkeit der Umkehrung 311
8.3 Eigenschaften der Fouriertransformation 311
8.3.1 Linearität 311
8.3.2 Verschiebungssatz 312
8.3.3 Faltungsprodukt 312
8.3.4 Differentiation 315
8.3.5 Fouriertransformation und temperierte Distributionen 318
8.3.6 Fouriertransformation kausaler Funktionen und Hilberttransformation 320
8.4 Anwendungen auf partielle Differentialgleichungsprobleme 324
8.4.1 Wärmeleitungsgleichung 324
8.4.2 Potentialgleichung 326
8.5 Diskrete Fouriertransformation 330
8.5.1 Diskrete Fouriertransformation (DFT) 330
8.5.2 Schnelle Fouriertransformation (FFT) 342
9 Laplacetransformation 351
9.1 Motivierung und Definition 351
9.1.1 Zusammenhang zur Fouriertransformation 351
9.1.2 Definition der Laplacetransformation 352
9.2 Umkehrung der Laplacetransformation 355
9.2.1 Umkehrsatz und Identitätssatz 355
9.2.2 Berechnung der Inversen 357
9.3 Eigenschaften der Laplacetransformation 359
9.3.1 Linearität 359
9.3.2 Verschiebungssätze. Streckungssatz 359
9.3.3 Faltungsprodukt 360
9.3.4 Differentiation 363
9.3.5 Integration 365
9.3.6 Laplacetransformation und periodische Funktionen 366
9.4 Anwendungen auf gewöhnliche lineare Differentialgleichungen 369
9.4.1 Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 369
9.4.2 Differentialgleichungen mit variablen Koeffizienten 373
9.4.3 Differentialgleichungen mit unstetigen Inhomogenitäten 375
10 3-Transformation 381
10.1 Motivierung und Definition 381
10.1.1 Einführende Betrachtungen 381
10.1.2 U-Transformation und Zusammenhang zur Laplacetransformation 382
10.1.3 Definition der 3-Transformation 384
10.2 Eigenschaften der 3-Transformation 387
10.2.1 Grundlegende Operationen. Rechenregeln 387
10.2.2 Umkehrung der 3-Transformation 390
10.3 Anwendungen 393
10.3.1 Lineare Differenzengleichungen 393
10.3.2 Impulsgesteuerte Systeme 396
IV Anhang 403
Symbole 425
Literaturverzeichnis 427
Stichwortverzeichnis 433