Die Neubearbeitung legt besonderen Wert auf eine facettenreiche und exakte Theorievermittlung [...]
/ AUS DEM INHALT: / / /
Einleitung
Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Hinweise zum Aufbau und Gebrauch des Werkes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Prüfe dein Wissen und Können: Kompetenzcheck für die Unterstufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Prüfe dein Wissen und Können: Kompetenzcheck für die Unterstufe - Lösungen . . . . . . . . . . . . . . 10
1 Die Sprache der Mathematik
?????? 0. Wiederholung, Vorübungen und Vorschau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
?????? 1. Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
?????? 2. Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
?????? 3. Beziehungen zwischen Mengen - Beziehungen zwischen Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
?????? 4. Verknüpfen von Bedingungen - Verknüpfen von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
?????? 5. Mengenalgebra - Aussagenalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
?????? 6. Rückblick und Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Kompetenzcheck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Exkurs: Merkwürdiges von unendlichen Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2 Rechnen mit "konkreten" und "allgemeinen" Zahlen
?????? 0. Wiederholung und Vorschau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
?????? 1. Gleitkommadarstellung und Einheitensystem (SI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
?????? 2. Zum "sinnvollen" und "korrekten" Gebrauch von Näherungswerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
?????? 3. Terme und Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
?????? 4. Aquivalente Terme und Rechengesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
?????? 5. Ganzzahlarithmetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
?????? 6. Teilbarkeit und Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
?????? 7. Zahlendarstellung in anderen Zahlensystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
?????? 8. Betrachtungen über reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
?????? 9. Rückblick und Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Kompetenzcheck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Exkurs: Von Zahlenspielereien zur Zahlentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3 Algebraisches Lösen von Gleichungen mit einer Variablen
?????? 0. Wiederholung und Vorschau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
?????? 1. "Lineare" Gleichungen mit einer Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
?????? 2. Quadratische Gleichungen mit einer Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
?????? 3. Die Satzgruppe von VIETA - Produktgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
?????? 4. Gleichungen mit Bruchtermen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
?????? 5. Textaufgaben - Gleichungen mit Formvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
?????? 6. Gleichungen mit Formvariablen - Fallunterscheidungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
?????? 7. Rückblick und Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Kompetenzcheck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Exkurs: Knobeleien rund um Äquivalenzumformungen von Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4 Funktionen - Bedeutung, Darstellung und Eigenschaften
?????? 0. Wiederholung und Vorschau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
?????? 1. Ablesen von Eigenschaften einer Funktion aus ihrem Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
?????? 2. Zeichnen von Funktionsgraphen aus Wertetabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
?????? 3. Termdefinierte Funktionen - Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
?????? 4. Graphisches Lösen von Gleichungen mit einer Variablen - Nullstellen einer Funktion . . . . . . 120
?????? 5. Rückblick und Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Kompetenzcheck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Exkurs: Darstellung von Funktionen mit EXCEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5 Spezielle Funktionen - Klassifikation und Anwendungen
?????? 0. Wiederholung, Vorübungen und Vorschau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
?????? 1. Die lineare Funktion - Definition und Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
?????? 2. Konstruktion und Eigenschaften der Graphen linearer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
?????? 3. Direkte Proportionalität und linearer Zusammenhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
?????? 4. Stückweise lineare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
?????? 5. Indirekte Proportionalitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
?????? 6. Proportionalitäten höherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
?????? 7. Funktionen vom Typ y = ax2 + bx + c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
?????? 8. Rückblick und Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
Kompetenzcheck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Exkurs: Wie rechnet der Finanzminister? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen
?????? 0. Wiederholung und Vorschau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
?????? 1. Eine lineare Gleichung mit zwei Variablen - Lineare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
?????? 2. Graphisches Lösen linearer Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen
und zwei Variablen - Lösungsfälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
?????? 3. Algebraisches Lösen linearer Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Variablen . 167
?????? 4. Textaufgaben zu linearen Gleichungssystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
?????? 5. Lineare Gleichungssysteme mit Formvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
?????? 6. Rückblick und Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
Kompetenzcheck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
Exkurs: Gerade(n)wegs ins Unendliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
7 Trigonometrie
?????? 0. Wiederholung, Vorübungen und Vorschau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
?????? 1. Winkelmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
?????? 2. Festlegen von Winkeln durch rechtwinkelige Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
?????? 3. Auflösung des rechtwinkeligen Dreiecks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
?????? 4. Winkelfunktionen "spitzer" Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
?????? 5. Polarkoordinaten - Winkelfunktionen im Standardintervall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
?????? 6. Auflösung des schiefwinkeligen Dreiecks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
?????? 7. Rückblick und Ausblick - Vermessungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
Kompetenzcheck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
Exkurs: Landvermessung einst und jetzt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
8 Ebene Koordinatengeometrie
?????? 0. Wiederholung und Vorschau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
?????? 1. Punkte und Pfeile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
?????? 2. Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
?????? 3. Vektoraddition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
?????? 4. Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
?????? 5. Das skalare Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
?????? 6. Abtragen und Teilen von Strecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
?????? 7. Parameterdarstellung von Strecken und Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
?????? 8. Untersuchen der Lagebeziehungen zweier Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
?????? 9. Zusammenhänge zwischen verschiedenen Formen von "Geradengleichungen" . . . . . . . . . . . . . 256
?????? 10. Rückblick und Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
Kompetenzcheck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
Exkurs: Gibt es eine eindimensionale Geometrie? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
Anhang
Kompetenzcheck - Lösungen zu Kapitel 1 bis 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
Mathematische Zeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
Stichwortregister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286