Das Nachschlagewerk aus der Reihe „Basiswissen Schule“ umfasst alle Inhalte des Mathematikunterrichts der Sekundarstufe II auf dem Weg zur Abiturprüfung. Angefangen mit den Denk- und Arbeitsweisen in der Mathematik werden in einzelnen Kapiteln die Bereiche Funktionen, Differenzial- und Integralrechnung, der linearen Algebra sowie der analytischen Geometrie und Stochastik behandelt.
Das Buch ist thematisch aufgebaut, Zusammenfassungen am Ende jedes Kapitels erleichtern den schnellen Überblick.
Ergänzt wird das Angebot durch ein exklusives Lernpaket auf www.lernhelfer.de mit passendem digitalen Übungsmaterial für nur 1,– Euro.
Lernkartensets für die Oberstufe, Abitur-Originalprüfungen und das Schülerlexikon bei Lernhelfer bilden zusammen mit den Büchern der Reihe Basiswissen Abitur ein medienübergreifendes Angebot zur optimalen Vorbereitung auf das Abitur.
/ AUS DEM INHALT: / / /
1 Denk- und Arbeitsweisen der Mathematik
1.1 Mathematik und ihre grundlegenden Arbeitsmethoden 10
1.1.1 Grundlagen mathematischer Bildung 11
1.1.2 Kommunizieren, Argumentieren und Begründen 12
1.1.3 Mathematisieren und Modellieren 17
1.1.4 Lösen von Problemen 20
1.1.5 Internet und neue Medien 22
1.2 Grundbegriffe der Mathematik 24
1.2.1 Mengen 24
1.2.2 Logische Operationen mit Aussagen und Aussageformen .... 30
1.2.3 Definitionen 34
1.2.4 Schlussregeln 36
1.2.5 Beweise 39
2 Zahlenfolgen
2.1 Der Begriff Zahlenfolge 44
2.2 Eigenschaften von Zahlenfolgen 46
2.2.1 Monotonie und Beschränktheit 46
2.2.2 Partialsummen 48
2.3 Arithmetische und geometrische Zahlenfolgen 49
3 Funktionen und ihre Eigenschaften
3.1 Der Begriff Funktion 56
3.2 Darstellung von Funktionen 58
3.3 Eigenschaften von Funktionen 60
3.3.1 Monotonie und Beschränktheit 60
3.3.2 Symmetrie 61
3.3.3 Periodizität 61
3.3.4 Umkehrbarkeit 62
3.3.5 Nullstellen 63
3.3.6 Abschnittsweise definierte Funktionen 63
3.4 Verknüpfen und Verketten von Funktionen 65
3.5 Funktionenscharen 67
3.6 Klassen reeller Funktionen 68
3.6.1 Einteilung 68 .. Überblick 69
3.6.2 Lineare Funktionen 70
3.6.3 Quadratische Funktionen 71
3.6.4 Potenzfunktionen und Wurzelfunktionen 73
3.6.5 Gebrochenrationale Funktionen 74
3.6.6 Trigonometrische Funktionen 75
3.6.7 Exponentialfunktionen 81
3.6.8 Logarithmusfunktionen 82
3.6.9 Weitere spezielle reelle Funktionen 84 : Überblick 86
4 Gleichungen und Gleichungssysteme
4.1 Lineare, quadratische, biquadratische Gleichungen 88
4.2 Gleichungen höheren Grades 90
4.3 Gleichungen mit absoluten Beträgen 93
4.4 Wurzelgleichungen 94
4.5 Goniometrische Gleichungen 95
4.6 Exponential- und Logarithmengleichungen 97
4.7 Lineare Gleichungssysteme 98
4.7.1 Gaußsch'es Eliminierungsverfahren 98
4.7.2 Lösbarkeit und Lösungsmenge von Gleichungssystemen .... 101
4.7.3 Determinanten; Regel von Cramer 104
4.7.4 Homogene und inhomogene Gleichungssysteme 107
4.8 Lineare Ungleichungen und Ungleichungssysteme 110
5 Grenzwerte und Stetigkeit
5.1 Grenzwerte und Konvergenz von Zahlenfolgen; Grenzwertsätze 116
5.2 Reihen 120
5.3 Grenzwerte von Funktionen; Grenzwertsätze 123
5.4 Stetigkeit von Funktionen 126
6 Differenzialrechnung
6.1 Grundbegriffe der Differenzialrechnung 130
6.1.1 Ableitung einer Funktion 130
6.1.2 Differenzierbarkeit und Stetigkeit 134
Überblick 136 6.1.3 Ableitungen höherer Ordnung 135
6.2 Regeln zur Ableitung von Funktionen 137
6.2.1 Konstanten-, Potenz-und Faktorregel 137
6.2.2 Summen-, Produkt-und Quotientenregel 138
6.2.3 Kettenregel 140
6.2.4 Umkehrregel 141
6.2.5 Ableitung von Funktionen in Parameterdarstellung 142
6.2.6 Partielle Ableitung von Funktionen mit zwei Variablen 143
6.3 Ableitung elementarer Funktionen 144
6.3.1 Ableitung von Potenzfunktionen 144
6.3.2 Ableitung von trigonometrischen Funktionen 144
Überblick 149 6.3.3 Ableitung von Exponential-und Logarithmusfunktionen .. . 145
6.4 Sätze über differenzierbare Funktionen 150
6.5 Untersuchung von Funktionseigenschaften 154
6.5.1 Monotonieverhalten 154
6.5.2 Extrema 155
6.5.3 Krümmungsverhalten und Wendestellen 162
6.5.4 Verhalten im Unendlichen 166
6.5.5 Unstetigkeitsstellen 168
6.5.6 Beispiele für Funktionsuntersuchungen 171
6.6 Extremwertprobleme 177
6.7 Bestimmen von Funktionsgleichungen 180
6.7.1 Approximation durch Polynomfunktionen 180
6.7.2 Die taylorsche Formel für ganzrationale Funktionen 184
6.7.3 Der Satz von Taylor 186
6.7.4 Das Verfahren der linearen Regression 189 Überblick 192
6.8 Näherungsverfahren zum Lösen von Gleichungen 193
6.8.1 Grafische Suche von Nullstellen 193
6.8.2 Bisektionsverfahren 194
6.8.3 Newtonsches Näherungsverfahren 195
6.8.4 Allgemeines Iterationsverfahren 196 Überblick 198
7 Integralrechnung
7.1 Das unbestimmte Integral 200
7.1.1 Die Begriffe Stammfunktion und unbestimmtes Integral. .. . 200
7.1.2 Regeln für das Ermitteln von unbestimmten Integralen 202
7.2 Das bestimmte Integral 204
7.2.1 Flächeninhalt unter der Normalparabel 204
7.2.2 Der Begriff bestimmtes Integral 205
7.2.3 Begriffserweiterung und Eigenschaften bestimmter Integrale 209
7.3 Beziehung zwischen bestimmtem und unbestimmtem Integral 211
7.3.1 Das bestimmte Integral als Funktion der oberen Grenze 211
7.3.2 Hauptsatz der Differenzial-und Integralrechnung 212
7.4 Weitereintegrationsmethoden 213
7.4.1 Integration durch lineare Substitution 213
7.4.2 Integration durch nichtlineare Substitution 213
7.4.3 Partielle Integration 215
7.4.4 Integration durch Partialbruchzerlegung 215
7.5 Berechnen bestimmter Integrale; Anwendungen 217
7.5.1 Integrationsregeln 217
7.5.2 Ermitteln von Flächeninhalten 217
7.5.3 Physikalische Probleme 224
7.5.4 Volumen und Mantelfläche von Rotationskörpern; Bogenlänge von Kurven 228 Überblick 233
7.6 Uneigentliche Integrale und nicht elementar integrierbare Funktionen 234
7.7 Numerische Integration 236 Überblick 238
8 Differenzen- und Differenzialgleichungen
8.1 Differenzengleichungen 240
8.1.1 Die Begriffe Differenzengleichung und Lösung einer Differenzengleichung 240
8.1.2 Lineare Differenzengleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten 243
8.2 Differenzialgleichungen 246
8.2.1 Arten von Differenzialgleichungen 246
8.2.2 Lösungsverhalten von Differenzialgleichungen 247
8.2.3 Lösungsverfahren für Differenzialgleichungen 1. Ordnung 250
8.2.4 Näherungsverfahren zur Lösung von Differenzialgleichungen 1. Ordnung 253 Überblick 254
9 Komplexe Zahlen 255
9.1 Komplexe Zahlen als geordnete Paare reeller Zahlen 256
9.2 Algebraische Darstellung komplexer Zahlen 258
9.3 Trigonometrische Darstellung komplexer Zahlen 260
9.4 Komplexe Zahlen in Exponentialform 262
10 Vektoren und Vektorräume
10.1 Zur Entwicklung der analytischen Geometrie 264
10.2 Vektoren; Gleichheit, Addition und Vervielfachung 265
10.3 Parallelität, Kollinearität und Komplanarität von Vektoren 271
10.4 Linearkombination von Vektoren; Basen in der Ebene und im Raum 272
10.5 Koordinatensysteme 276
10.6 Punkte, Strecken und Dreiecke in einem Koordinatensystem 282
10.6.1 Mittelpunkt einer Strecke in der Ebene und im Raum 282
10.6.2 Schwerpunkt eines Dreiecks 282
10.6.3 Betrag eines Vektors; Länge einer Strecke 283
Überblick 285 10.6.4 Flächeninhalt eines Dreiecks 284
10.7 Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit 286
10.8 Skalarprodukt von Vektoren 288
10.8.1 Definition und Eigenschaften 288
10.8.2 Anwendungen des Skalarprodukts 291
10.9 Vektorprodukt und Spatprodukt von Vektoren 293
10.9.1 Vektorprodukt 293
Überblick 297 10.9.2 Spatprodukt 294
10.10 Beweise unter Verwendung von Vektoren 298
10.11 Vektorräume 299
10.11.1 Der Begriff Vektorraum 299
10.11.2 Unterräume und Erzeugendensysteme 300
10.11.3 Basen und Dimension von Unterräumen 302
11 Analytische Geometrie der Ebene und des Rames
11.1 Geraden in der Ebene und im Raum 304
11.1.1 Punktrichtungsgleichung einer Geraden 304
11.1.2 Zweipunktegleichung einer Geraden 307
11.1.3 Normalform der Gleichung einer Geraden in der Ebene .. . 308
11.1.4 Lagebeziehungen von Geraden 310
Überblick 315 11.1.5 Orthogonalität und Schnittwinkel von Geraden der Ebene . 313
11.2 Ebenen im Raum 316
11.2.1 Gleichung einer Ebene in Vektorform 316
11.2.2 Gleichung einer Ebene in Koordinatenschreibweise 317
11.2.3 Hessesche Normalform der Ebenengleichung 320
11.2.4 Spezielle Ebenen 321
11.2.5 Lagebeziehungen von Gerade und Ebene 323
Überblick 329 11.2.6 Lagebeziehungen von zwei Ebenen 326
11.3 Schnittwinkelberechnungen 330
11.3.1 Schnittwinkel zweier Geraden im Raum 330
11.3.2 Schnittwinkel einer Geraden mit einer Ebene 331
Überblick 333 11.3.3 Schnittwinkel zweier Ebenen 331
11.4 Abstandsberechnungen 334
11.4.1 Abstand eines Punktes von einer Geraden in der Ebene und von einer Ebene im Raum 334
11.4.2 Abstand eines Punktes von einer Geraden im Raum 336
11.4.3 Abstand von Geraden im Raum 337
11.4.4 Abstand von Ebenen 340 o Überblick 341
11.5 Kreise und Kugeln 342
11.5.1 Gleichungen von Kreis und Kugel 342
11.5.2 Kreis und Gerade 346
11.5.3 Lagebeziehungen von Kreisen 347
11.5.4 Lagebeziehungen von Kugeln, Geraden und Ebenen 348 [o Überblick 352
11.6 Kegelschnitte 353
11.6.1 Schnittfiguren eines Kegels 353
11.6.2 Ellipse 354
11.6.3 Hyperbel 357
11.6.4 Parabel 359
12 Matrizen
12.1 Der Begriff Matrix 362
12.2 Rechnen mit Matrizen 365
12.2.1 Addition und skalare Vervielfachung von Matrizen 365
12.2.2 Multiplikation von Matrizen 366
12.2.3 Bilden inverser Matrizen 370
12.3 Rang einer Matrix; Hauptsatz über lineare Gleichungssysteme 372
12.4 Lineare Abbildungen 374
13 Wahrscheinlichkeitstheorie
13.1 Zufallsexperimente 378
13.1.1 Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen 378
13.1.2 Zufällige Ereignisse; Verknüpfen von Ereignissen 380
13.1.3 Absolute und relative Häufigkeiten; empirisches Gesetz der großen Zahlen 382
13.1.4 Wahrscheinlichkeitsverteilung; Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten 383
13.1.5 Vier- und Mehrfeldertafeln; Zerlegungen der Ergebnismenge 386
13.2 Gleichverteilung (Laplace-Experimente) 388
13.2.1 Der Begriff Gleichverteilung 388
13.2.2 Rechenregel für die Gleichverteilung (Laplace-Regel) 389
13.2.3 Pfadregeln 390
13.2.4 Zählprinzip bei k-Tupeln 391
13.2.5 Zählprinzip bei n-elementigen Mengen 394
13.2.6 Urnenmodelle; Ziehen mit und ohne Zurücklegen; hypergeometrische Verteilung 395
13.2.7 Simulation mithilfe von Zufallszahlen 398
13.3 Bedingte Wahrscheinlichkeiten 401
13.3.1 Der Begriff bedingte Wahrscheinlichkeit 401
13.3.2 Rechnen mit bedingten Wahrscheinlichkeiten 402
13.3.3 Unabhängigkeit von Ereignissen 404
13.4 Zufallsgrößen 406
13.4.1 Endliche Zufallsgrößen 406
13.4.2 Erwartungswert 408
13.4.3 Streuung 410
13.5 Binomialverteilung 414
13.5.1 Bernoulli-Experimente 414
13.5.2 Bernoulli-Ketten; binomialverteilte Zufallsgrößen 415
Überblick 420 13.5.3 Grafische Veranschaulichung der Binomialverteilung 417
13.5.4 Tabellierungen zur Binomialverteilung 421
13.5.5 Erwartungswert und Streuung binomialverteilter Zufallsgrößen 425
13.5.6 Grenzwertsatz von Moivre-Laplace zur Binomialverteilung. . 427
13.5.7 Normalverteilung 430
Überblick 436 13.5.8 Zentraler Grenzwertsatz 435
14 Beschreibende und beurteilende Statistik 437
14.1 Beschreibende Statistik 438
14.1.1 Zu Anliegen und geschichtlicher Entwicklung der beschreibenden Statistik 438
Überblick 444 14.1.2 Kenngrößen statistischer Erhebungen 438
14.2 Beurteilende Statistik 445
14.2.1 Zu Anliegen und geschichtlicher Entwicklung der beurteilenden Statistik 445
14.2.2 Grundprobleme des Testens von Hypothesen 445
14.2.3 Alternativtests 449
Überblick 460 14.2.4 Signifikanztests 456
15 Rechenhilfsmittel
15.1 Geschichtlicher Abriss 462
15.2 Elektronische Hilfsmittel 465
15.2.1 Grafikfähige Taschenrechner 465
15.2.2 Computeralgebrasysteme 468
15.2.3 Tabellenkalkulationen 475
15.2.4 Dynamische Geometriesoftware r 479
A Anhang
Register 484
Bildquellenverzeichnis 496