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Einführung in die Grundlagen der Funktionalanalysis auf Bachelor-/Masterniveau, dank ausführlicher Erklärung funktionalanalytischer Konzepte und anschaulicher Anwendungen gut verständlich. Voraussetzungen sind solide Kenntnisse der Analysis und linearen Algebra des Grundstudiums.

Aus dem Inhalt:Teil I Banachräume und lineare Operatoren // 1 Banachräume 3 / 1.1 Normen und Metriken 4 / 1.2 Supremums-Normen 8 / 1.3 Lp-Normen und Quotientenräume 11 / 1.4 Aufgaben 19 // 2 Kompakte Mengen 23 / 2.1 Der Satz von Arzelä-Ascoli 25 / 2.2 Separable Räume und ein Approximationssatz 29 / 2.3 Holder- und Sobolev-Normen 32 / 2.4 Aufgaben 36 // 3 Lineare Operatoren 39 / 3.1 Operatomormen 40 / 3.2 Isomorphien und Fortsetzungen 44 / 3.3 Lineare Operatoren auf endlichdimensionalen Räumen 48 / 3.4 Lineare Integral- und Differentialoperatoren 53 / 3.5 Aufgaben 57 // 4 Kleine Störungen 61 / 4.1 Banachalgebren und Neumannsche Reihe 61 / 4.2 Lineare Integralgleichungen 64 / 4.3 Grundlagen der Spektraltheorie 67 / 4.4 Der Banachsche Fixpunktsatz 74 / 4.5 Nichtlineare Integralgleichungen 76 / 4.6 Der Satz von Picard-Lindelöf 79 / 4.7 Aufgaben 81 // Teil II Fourier-Reihen und Hilberträume // 5 Fourier-Reihen und Approximationssätze 89 / 5.1 Der Satz von Fejdr 92 / 5.2 Faltung und Dirac-Folgen 97 / 5.3 Der Weierstraßsche Approximationssatz 100 / 5.4 Schwache Ableitungen und Sobolev-Räume 102 / 5.5 Punktweise Konvergenz von Fourier-Reihen 109 / 5.6 Aufgaben 112 // 6 Hilberträume 117 / 6.1 Die Parsevalsche Gleichung 121 / 6.2 Sobolev-Hilberträume und Fourier-Koeffizienten 128 / 6.3 Aufgaben 135 // 7 Lineare Operatoren auf Hilberträumen 139 / 7.1 Lineare Operatoren und Matrizen 140 / 7.2 Orthogonale Projektionen 142 / 7.3 Adjungierte Operatoren 148 / 7.4 Selbstadjungierte und unitäre Operatoren 154 / 7.5 Aufgaben 158 // Teil III Prinzipien der Funktionalanalysis // 8 Konsequenzen der V ollständigkeit 165 / 8.1 Der Satz von B aire 165 / 8.2 Das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit 169 / 8.3 Der Satz von der offenen Abbildung 172 / 8.4 Anwendungen auf Fourier-Reihen 177 / 8.5 Aufgaben 181 // 9 Stetige lineare Funktionale 185 / 9.1 Der Fortsetzungssatz von Hahn-Banach 186 / 9.2 Duale Operatoren und Annihilatoren 191 / 9.3 Kanonische Einbettung und reflexive Räume 192 / 9.4 Beispiele von Dualräumen 199 / 9.5 Stetige Projektionen 203 / 9.6 Aufgaben 208 // 10 Schwache Konvergenz 213 / 10.1 Trennung konvexer Mengen 214 / 10.2 Uniform konvexe Räume 220 / 10.3 Schwach konvergente Folgen 225 / 10.4 Schwach konvergente Teilfolgen 230 / 10.5 Variationsprobleme 233 / 10.6 Aufgaben 236 // Teil IV Spektraltheorie kompakter und selbstadjungierter Operatoren // 11 Fredholmoperatoren und kompakte Störungen 243 / 11.1 Kompakte lineare Operatoren 244 / 11.2 Fredholmoperatoren 250 / 11.3 Stabilität des Index 256 / 11.4 Spektren kompakter Operatoren 259 / 11.5 Aufgaben 262 // 12 Spektralzerlegungen 267 / 12.1 Modelle kompakter Operatoren 268 / 12.2 Der Spektralsatz für kompakte normale Operatoren 270 / 12.3 Hilbert-Schmidt-Operatoren 276 / 12.4 Singuläre Zahlen und Schmidt-Darstellungen 280 / 12.5 Schatten-Klassen und Integraloperatoren 286 / 12.6 Aufgaben 292 // 13 Unbeschränkte Operatoren 297 / 13.1 Abgeschlossene O peratoren 298 / 13.2 Adjungierte Operatoren 306 / 13.3 Symmetrische und selbstadjungierte Operatoren 310 / 13.4 Reguläre Sturm-Liouville-Probleme 315 / 13.5 Evolutionsgleichungen 325 / 13.6 Selbstadjungierte Operatoren und Quantenmechanik 328 / 13.7 Aufgaben 332 // Anhang A 337 / A.1 Lineare Algebra 337 / A.2 Metrische Räume und Kompaktheit 341 / A.3 Maße und Integrale 348 // Literatur 375 / Namenverzeichnis 377 / Sachverzeichnis 381 / Symbolverzeichnis