Dieses Lehrbuch ist leicht verständlich, speziell für Anfänger der Mathematik. Unter den vielen Büchern über Lineare Algebra, die Sie in der Bibliothek oder einer Buchhandlung finden, eignet dieses sich besonders dafür, Ihr erstes Mathematikbuch zu sein.
Der Stil ist locker, lustig, leicht und unterhaltsam. Vor allem wurde versucht, die üblichen k.o.-Schläge, wie etwa "wie man leicht sieht", "trivialerweise folgt", "man sieht unmittelbar", zu vermeiden.
Durch viele Lernhilfen ist das Buch ideal geeignet zum Selbststudium: Zu jedem Kapitel gibt es zunächst eine Reihe von insgesamt über 250 "ganz dummen" Fragen, die zur unmittelbaren Kontrolle dienen; dann gibt es eine reiche Auswahl von leicht lösbaren Übungsaufgaben und schließlich tiefergehende "Projekte". Alles in allem über 300 Übungsaufgaben - mit Tipps zu ihrer Lösung.
/ AUS DEM INHALT: / / /
1 Was wir wissen müssen, bevor wir anfangen können 1
1.1 Mengen 1
1.2 Äquivalenzrelationen 4
1.3 Abbildungen 7
1.4 Wann haben zwei Mengen gleich viele Elemente? 13
1.5 Die I-Notation 18
1.6 Beweisprinzipien 20
1.7 Verständnisfragen, Übungen und Tipps 22
2 Körper 29
2.1 Die Definition 29
2.1.1 Gesetze der Addition 29
2.1.2 Gesetze der Multiplikation 30
2.1.3 Distributivgesetz 30
2.2 Beispiele von Körpern 32
2.2.1 Der Körper der komplexen Zahlen 33
2.2.2 Der Quaternionenschiefkörper 36
2.2.3 Einige endliche Körper 40
2.2.4 Konstruktion eines Körpers mit vier Elementen 44
2.3 Automorphismen von Körpern 46
2.3.1 Die Definitionen 47
2.3.2 Der Körper der rationalen Zahlen 47
2.3.3 Der Körper der reellen Zahlen 50
2.3.4 Konjugiert-komplexe Zahlen 51
2.4 Verständnisfragen, Übungen und Tipps 52
3 Vektorräume 59
3.1 Die Definition 59
3.2 Beispiele von Vektorräumen 61
3.2.1 Vektorräume mit Hilfe von Geometrie 61
3.2.2 Der Vektorraum Kn 62
3.2.3 Der Vektorraum aller m x n-Matrizen 63
3.2.4 Der Vektorraum aller unendlichen Folgen 64
3.2.5 Ein Vektorraum unendlicher Folgen 64
3.2.6 Vektorräume von Funktionen 64
3.2.7 Lösungen eines Gleichungssystems 65
3.2.8 Teilmengen einer Menge 65
3.2.9 Körper als Vektorräume 65
3.3 Elementare Theorie der Vektorräume 66
3.3.1 Der Begriff der Basis 67
3.3.2 Der Steinitzsche Austauschsatz 75
3.3.3 Der Dimensionssatz 83
3.3.4 Faktorräume 85
3.4 Zur Geschichte der linearen Algebra 92
3.5 Verständnisfragen, Übungen und Tipps 94
4 Anwendungen von Vektorräumen 105
4.1 Lineare Gleichungssysteme 105
4.1.1 Begriffe und Fragen 105
4.1.2 Exkurs über Matrizen 106
4.1.3 Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen 111
4.1.4 Der Gaußsche Algorithmus 116
4.2 Affine Geometrie 122
4.2.1 Affine Räume 123
4.2.2 Unterräume 126
4.3 Codierungstheorie 129
4.3.1 Grundlegende Begriffe 129
4.3.2 Lineare Codes 133
4.4 Verständnisfragen, Übungen und Tipps 139
5 Lineare Abbildungen 147
5.1 Definitionen und grundlegende Eigenschaften 147
5.2 Darstellung von linearen Abbildungen durch Matrizen 154
5.3 Der Homomorphiesatz 162
5.4 Der Dualraum 166
5.5 Verständnisfragen, Übungen und Tipps 171
6 Polynomringe 177
6.1 Ringe 177
6.1.1 Gesetze der Addition 177
6.1.2 Gesetz der Multiplikation 178
6.1.3 Distributivgesetze 178
6.2 Was ist eigentlich x? 179
6.3 Polynomdivision 187
6.4 Ideale von K[x] 192
6.5 Verständnisfragen, Übungen und Tipps 195
7 Determinanten 203
7.1 Die Determinantenfunktion 203
7.2 Permutationen 207
7.3 Gerade und ungerade Permutationen 211
7.4 Die Leibnizsche Determinantenformel 218
7.5 Wie berechnet man eine Determinante? 222
7.6 Der Multiplikationssatz 233
7.7 Verständnisfragen, Übungen und Tipps 236
8 Diagonalisierbarkeit 241
8.1 Einführung 241
8.2 Eigenvektoren und Eigenwerte 243
8.3 Das charakteristische Polynom 249
8.4 Das Minimalpolynom 256
8.5 Verständnisfragen, Übungen und Tipps 265
9 Elementarste Gruppentheorie 271
9.1 Beispiele von Gruppen 271
9.1.1 Gruppen in bekannten Strukturen 273
9.1.2 Gruppen aus bekannten Objekten 274
9.1.3 Gruppen aus Permutationen 276
9.2 Einfache Strukturaussagen für Gruppen 278
9.2.1 Untergruppen 278
9.2.2 Zyklische Gruppen 282
9.2.3 Der Homomorphiesatz 285
9.3 Verständnisfragen, Übungen und Tipps 289
10 Skalarprodukte 295
10.1 Ein Beispiel 295
10.2 Bilinearformen 297
10.3 Skalarprodukte 307
10.4 Orthogonale Abbildungen 315
10.5 ... und eine zweite symmetrische Bilinearform? 324
10.6 Verständnisfragen, Übungen und Tipps 329
11 Lösungen 337
11.1 Lösungsvektoren der d-Aufgaben 337
11.2 Tipps zur Lösung der Übungsaufgaben 339
Literatur 359
Sachverzeichnis 361