Dieses hervorragend eingeführte Lehrbuch eignet sich ideal für die Vorbereitung auf die Zwischenprüfung bzw. auf das Vordiplom. Es führt mit einem didaktisch durchdachten Konzept in die Lineare Algebra ein: Jedes Kapitel ist unterteilt in einen Kerntext mit Informationen zu den wichtigsten Sätzen der Theorie und speziellen Ergänzungen für Mathematiker und Physiker. Am Ende jedes Abschnitts werden neben Übungsaufgaben auch Testfragen zur Erfolgskontrolle angeboten.
/ AUS DEM INHALT: / / /
1. Mengen und Abbildungen
1.1 Mengen 1
1.2 Abbildungen 8
1.3 Test 14
1.4 Literaturhinweis 16
1.5 Übungen 18
2. Vektorräume
2.1 Reelle Vektorräume 20
2.2 Komplexe Zahlen und komplexe Vektorräume 26
2.3 Untervektorräume 30
2.4 Test 32
2.5 Körper (Ein Abschnitt für Mathematiker) 34
2.6 Was sind Vektoren? (Ein Abschnitt für Physiker) 38
2.7 Komplexe Zahlen vor 400 Jahren (Historische Notiz) 51
2.8 Literaturhinweis 52
2.9 Übungen 53
3. Dimensionen
3.1 Lineare Unabhängigkeit 56
3.2 Der Dimensionsbegriff 60
3.3 Test 65
3.4 Beweis des Basisergänzungssatzes und des Austauschlemmas (Ein Abschnitt für Mathematiker) 67
3.5 Das Vektorprodukt (Ein Abschnitt für Physiker) 70
3.6 Der "Steinitzsche Austauschsatz" (Historische Notiz) 76
3.7 Literaturhinweis , 77
3.7 Übungen 78
4. Lineare Abbildungen
4.1 Lineare Abbildungen 80
4.2 Matrizen 88
4.3 Test 95
4.4 Quotientenvektorräume (Ein Abschnitt für Mathematiker) 97
4.5 Drehungen und Spiegelungen des R2 (Ein Abschnitt für Physiker) 101
4.6 Historische Notiz 106
4.7 Literaturhinweis 106
4.8 Übungen 107
5. Matrizenrechnung
5.1 Multiplikation 110
5.2 Rang einer Matrix 116
5.3 Elementare Umformungen 117
5.4 Test 120
5.5 Wie invertiert man eine Matrix? (Ein Abschnitt für Mathematiker) 122
5.6 Mehr über Drehungen und Spiegelungen (Ein Abschnitt für Physiker) 126
5.7 Historische Notiz 131
5.8 Literaturhinweis 132
5.8 Übungen 132
6. Die Determinante
6.1 Die Determinante 135
6.2 Berechnung von Determinanten 140
6.3 Die Determinante der transponierten Matrix 143
6.4 Eine Determinantenformel für die inverse Matrix 145
6.5 Determinante und Matrizenprodukt 147
6.6 Test 149
6.7 Determinante eines Endomorphismus 151
6.8 Die Leibnizsche Formel 153
6.9 Historische Notiz 155
6.10 Literaturhinweis 155
6.11 Übungen 156
7. Lineare Gleichungssysteme
7.1 Lineare Gleichungssysteme 158
7.2 Die Cramersche Regel 161
7.3 Der Gaußsche Algorithmus 162
7.4 Test 166
7.5 Mehr über lineare Gleichungssysteme 168
7.6 Wiegen mit der Kamera (Ein Abschnitt für Physiker) 171
7.7 Historische Notiz 175
7.8 Literaturhinweis 175
7.9 Übungen 176
8. Euklidische Vektorräume
8.1 Skalarprodukte 178
8.2 Orthogonale Vektoren 182
8.3 Orthogonale Abbildungen 187
8.4 Gruppen 189
8.5 Test 192
8.6 Literaturhinweis 193
8.7 Übungen 194
9. Eigenwerte
9.1 Eigenwerte und Eigenvektoren 197
9.2 Das charakteristische Polynom 201
9.3 Test 204
9.4 Polynome (Ein Abschnitt für Mathematiker) 206
9.5 Literaturhinweis 210
9.6 Übungen 210
10. Die Hauptachsen-Transformation
10.1 Selbstadjungierte Endomorphismen 212
10.2 Symmetrische Matrizen 214
10.3 Die Hauptachsen-Transformation für selbstadjungierte Endomorphismen 218
10.4 Test 221
10.5 Literaturhinweis 223
10.6 Übungen 224
11. Klassifikation von Matrizen
11.1 Was heißt "Klassifizieren"? 226
11.2 Der Rangsatz 231
11.3 Die Jordansche Normalform 232
11.4 Nochmals die Hauptachsentransformation 235
11.5 Der Sylvestersche Trägheitssatz 236
11.6 Test 243
11.7 Literaturhinweis 245
11.8 Übungen 246
Antworten zu den Tests 248
Literaturverzeichnis 263
Register 265