Eine Zusammenstellung zahlreicher Aufgaben mit vollständig durchgerechneten Lösungen zu den wesentlichen Inhalten der Analysis und linearen Algebra der ersten Semester. Für angehende Naturwissenschaftler und Ingenieure an Fachhochschulen und Berufsakademien.
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Vorwort xi
Teil I: Aufgaben
1 Funktionen 3
1.1 Elementare Funktionen 3
1.1.1 Lineare Funktionen 3
1.1.2 Quadratische Funktionen 5
1.1.3 Polynome 7
1.1.4 Gebrochen rationale Funktionen 8
1.1.5 Trigonometrische Funktionen 8
1.1.6 Potenzregeln und Exponentialfunktionen 10
1.1.7 Betrags-Funktion 11
1.2 Einige Eigenschaften von Funktionen 12
1.3 Umkehrfunktionen 13
1.3.1 Wurzelfunktionen 13
1.3.2 Arcus-Funktionen 14
1.3.3 Logarithmus 15
1.4 Modifikation von Funktionen 18
2 Komplexe Zahlen 21
2.1 Grundlagen 21
2.2 Eigenschaften 22
2.3 Polardarstellung 24
3 Folgen und Reihen 27
3.1 Folgen 27
3.2 Reihen 29
3.3 Potenzreihen 32
4 Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit 35
4.1 Grenzwerte 35
4.2 Stetigkeit 36
5 Differenzialrechnung 39
5.1 Differenzierbare Funktionen 39
5.2 Rechenregeln 41
5.3 Anwendungen 44
5.3.1 Kurvendiskussion 44
5.3.2 Regel von de L'Hospital 45
5.3.3 Newton-Verfahren 46
5.3.4 Taylorpolynome und -reihen 47
6 Integralrechnung 51
6.1 Definition und elementare Eigenschaften 51
6.2 Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung 54
6.3 Integrationstechniken 55
6.3.1 Einfache Integrationstechniken 55
6.3.2 Partielle Integration 57
6.3.3 Substitution 59
6.3.4 Partialbruch-Zerlegung 60
7 Vektorrechnung 61
7.1 Vektoren und Vektorraum 61
7.2 Linearkombination 62
7.3 Skalarprodukt 63
7.4 Vektorprodukt 67
7.5 Geraden und Ebenen 69
8 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen 73
8.1 Grundlagen 73
8.2 Gaußsches Eliminationsverfahren 75
8.3 Matrizen 78
8.4 Quadratische Matrizen 81
8.5 Determinanten 83
8.6 Eigenwerte und -vektoren 84
8.7 Quadratische Formen 85
9 Funktionen mit mehreren Veränderlichen 87
10 Differenzialrechnung bei mehreren Veränderlichen 91
10.1 Partielle Ableitung und Gradient 91
10.2 Anwendungen 93
10.2.1 Lokale Extremstellen bei Funktionen mit mehreren Variablen 93
10.2.2 Jacobi-Matrix und lineare Approximation 94
10.3 Weiterführende Themen 95
10.3.1 Kurven 95
10.3.2 Kettenregel 96
10.3.3 Richtungsableitung 96
10.3.4 Hesse-Matrix 97
11 Integration bei mehreren Veränderlichen 99
11.1 Satz von Fubini 99
11.2 Integration in anderen Koordinatensystemen 101
Teil II: Lösungen
1 Funktionen 105
1.1 Elementare Funktionen 105
1.1.1 Lineare Funktionen 105
1.1.2 Quadratische Funktionen 115
1.1.3 Polynome , 124
1.1.4 Gebrochen rationale Funktionen 128
1.1.5 Trigonometrische Funktionen 133
1.1.6 Potenzregeln und Exponentialfunktionen 140
1.1.7 Betrags-Funktion 146
1.2 Einige Eigenschaften von Funktionen 148
1.3 Umkehrfunktionen 153
1.3.1 Wurzelfunktionen 153
1.3.2 Arcus-Funktionen 155
1.3.3 Logarithmus 160
1.4 Modifikation von Funktionen 172
2 Komplexe Zahlen 181
2.1 Grundlagen 181
2.2 Eigenschaften 185
2.3 Polardarstellung 194
3 Folgen und Reihen 205
3.1 Folgen 205
3.2 Reihen 213
3.3 Potenzreihen 225
4 Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit 235
4.1 Grenzwerte 235
4.2 Stetigkeit 239
5 Differenzialrechnung 245
5.1 Differenzierbare Funktionen 245
5.2 Rechenregeln . . . , 252
5.3 Anwendungen 269
5.3.1 Kurvendiskussion 269
5.3.2 Regel von de L'Hospital 275
5.3.3 Newton-Verfahren 278
5.3.4 Taylorpolynome und -reihen 282
6 Integralrechnung 295
6.1 Definition und elementare Eigenschaften 295
6.2 Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung 304
6.3 Integrationstechniken 307
6.3.1 Einfache Integrationstechniken 307
6.3.2 Partielle Integration 318
6.3.3 Substitution 328
6.3.4 Partialbruch-Zerlegung 337
7 Vektorrechnung 341
7.1 Vektoren und Vektorraum 341
7.2 Linearkombination 345
7.3 Skalarprodukt 353
7.4 Vektorprodukt 370
7.5 Geraden und Ebenen 379
8 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen 401
8.1 Grundlagen 401
8.2 Gaußsches Eliminationsverfahren 410
8.3 Matrizen 425
8.4 Quadratische Matrizen 439
8.5 Determinanten 446
8.6 Eigenwerte und -vektoren 453
8.7 Quadratische Formen 458
9 Punktionen mit mehreren Veränderlichen 463
10 Differenzialrechnung bei mehreren Veränderlichen 477
10.1 Partielle Ableitung und Gradient 477
10.2 Anwendungen 486
10.2.1 Lokale Extremstellen bei Funktionen mit mehreren Variablen 486
10.2.2 Jacobi-Matrix und lineare Approximation 490
10.3 Weiterführende Themen 495
10.3.1 Kurven 495
10.3.2 Kettenregel 500
10.3.3 Richtungsableitung 501
10.3.4 Hesse-Matrix 503
11 Integration bei mehreren Veränderlichen 509
11.1 Satz von Fubini 509
11.2 Integration in anderen Koordinatensystemen 515