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Lehrbuch der linearen Algebra für die gymnasiale Oberstufe und den Übergang ins Studium ingenieurtechnischer und naturwissenschaftlicher Fächer im typisch aufgelockerten Stil der "... für Dummies"-Reihe.

 

 

 

 

Aus dem Inhalt:

Einführung 21 / Zu diesem Buch 21 / Konventionen in diesem Buch 21 / Was Sie nicht lesen müssen 22 / Törichte Annahmen über den Leser 22 / Wie dieses Buch aufgebaut ist 22 / Symbole in diesem Buch 25 / Wie es weitergeht 25 // TEIL I / GRUNDLAGEN DER LINEAREN ALGEBRA 27 / Kapitel 1 / Die bunte Welt der linearen Algebra 29 / Dafür braucht man lineare Algebra 30 / Systeme von Gleichungen lösen 31 / Geometrische Rätsel knacken 32 / Die Bausteine der linearen Algebra erkennen 34 / Körper und Vektorräume 34 / Sinnvolle Verknüpfungen von Vektoren 35 / Die Werte in Reih' und Glied bringen 36 / Matrizen und ihre Verknüpfungen 38 / Determinanten 40 / Alles in einen linearen Zusammenhang bringen 41 / Lineare Abbildungen 41 / Affine Transformationen 44 / Noch bunter geht es nicht 44 / Eigenwerte und Eigenvektoren 45 / Diagonalisieren und der Spektralsatz 47 / Wie man den linearen Überblick behält 49 / Kapitel 2 / Zahlen gegen reelle Komplexe 53 / Reelle Zahlen in der Realität 53 / Grundidee der komplexen Zahlen 56 / Crashkurs: Rechnen mit komplexen Zahlen 60 / Addition und Subtraktion komplexer Zahlen 60 / Multiplikation und Division komplexer Zahlen 63 // Besonderheiten komplexer Zahlen 65 / Beträge komplexer Zahlen 65 / Konjugierte Komplexe 67 // Kapitel 3 / Körper und andere Welten 73 / Verkündigung der Körpergesetze 73 / Das Assoziativgesetz 75 / Das Kommutativgesetz 78 / Das neutrale Element 81 / Inverse Elemente 82 / Das Distributivgesetz 84 / Die Algebraische Struktur der Körper 85 / Endlich unendliche Körper 86 / Der kleinste Körper 86 / Die Klassischen Zahlkörper 89 / Na so was: die Restklassenkörper 90 / Kapitel 4 / Wen Amors Vektor trifft 93 / Woher die Vektoren kommen 93 / Erweitern Sie Ihren Horizont - um n Dimensionen 94 / Grundlegende Vektoroperationen 96 / Addition und Subtraktion von Vektoren 97 / Skalare Multiplikation von Vektoren 99 / Das Skalarprodukt von Vektoren 100 / Die Norm eines Vektors 102 / Das Vektorprodukt 104 / Der Winkel zwischen Vektoren 105 / Diese Vektoren sind nicht normal 108 / Jetzt wird es eng: der n-Raum 109 / Der Euklidische/7-Raum 110 / Der komplexe n-Raum 111 / Warum das alles kein Unsinn ist 112 / Arbeit und Kraft 113 / Das Drehmoment 114 / Tricks mit Vektoren 116 / Der Kosinussatz 116 // TEIL II / LANDSCHAFTSERKUNDUNG ZUR LINEAREN ALGEBRA 119 / Kapitel 5 / Vektorräume mit Aussicht 121 / Räume voller Vektoren 121 / Vektorraumoperationen 122 / Addition von Vektoren 123 / Skalare Multiplikation 124 / Vektorraumeigenschaften 125 / Massenhaft Beispiele für Vektorräume 126 / Vektorräume aus/7-Tupeln 126 / Vektorräume aus Polynomen 127 / Vektorräume aus Matrizen 129 / Vektorräume von Folgen und Funktionen 130 / Vektorräume aus linearen Abbildungen 132 / Vektorräume aus Körpern 133 / Unterräume - aber nicht im Kellergeschoss 133 / Die formale Spezifikation der Unterräume 134 / Eine Abkürzung zu den Unterräumen 135 / Aufräumen in den Unterräumen 136 / Summen von Unterräumen 140 / Direkte Summen von Unterräumen 142 // Kapitel 6 / LGS - Auf lineare Steine können Sie bauen 145 / Wie lineare Gleichungssysteme entstehen 145 / Darstellungsmöglichkeiten linearer Gleichungssysteme 150 / Die Quadratische Form 150 / Die Stufenform 152 / Die ldealform 153 / Prinzipielle Lösungsmengen von LGSen 155 / Eindeutige Lösung 155 / Freie Parameter in der Lösung 156 / Keine Lösungen 158 / Das Gauß'sche Eliminationsverfahren zur Lösung von LGSen 158 / Der Gauß-Jordan-Algorithmus 163 / Lösung eines LGS über die erweiterte Koeffizientenmatrix 165 / So geht es auch: LR-Zerlegung nach Gauß 167 / Determinanten zur Bestimmung von Lösungen 169 / Lösung ä la Cramer & Cramer 170 / Inverse Matrizen zur Lösung einer Matrizengleichung 172 / Parametrisierte LGS 173 // Kapitel 7 / Die Matrix ist überall 181 / Wie eine Matrix das Leben erleichtert 181 / Lineare Gleichungssysteme als Matrizen darstellen 183 / Grundlegende Matrixoperationen 184 / Addition von Matrizen 184 / Skalare Multiplikation von Matrizen 185 / Matrix-Vektorprodukt 187 / Matrizenmultiplikation 188 / Transposition von Matrizen 191 / Der Rang einer Matrix 193 / Attribute von Matrizen 194 / Quadratische Matrizen 194 / Reguläre Matrizen 196 / Idempotente Matrizen 197 / Diagonalmatrizen 198 / Adjungierte von Matrizen bestimmen 199 / Komplementäre Matrizen erzeugen 200 / Matrizen invertieren 202 / Mittels Determinanten und Adjunkten 203 / Mittels Gauß-Jordan-Algorithmus 203 / Komplexe Matratzen, pardon, Matrizen 205 / Unitäre Matrizen 205 / Hermitesche Matrizen 207 / Schiefhermitesche Matrizen 208 / Ähnliche Matrizen 208 / Der Matrix auf der Spur 210 // Kapitel 8 / Die lineare Unabhängigkeitserklärung 213 / Wir kombinieren linear 213 / Warum unabhängig besser ist als abhängig 215 / Bestimmung der linearen Unabhängigkeit 216 / Bei n-Tupel-Vektoren 217 / Bei Polynomen 220 / Bei Matrizen 222 / Bei linearen Abbildungen 225 / Im Allgemeinen 228 / Fallstricke der linearen Unabhängigkeit 232 / Lineare Unabhängigkeit mit der Lösung von Gleichungssystemen 233 // Kapitel 9 / Basen, keine lästige Verwandtschaft 235 / Auf dieser Basis beruht unsere Arbeit 235 / Erzeugende Systeme 241 / Lineare Hüllen als Unterräume 242 / Lineare Unabhängigkeit von Basisvektoren 243 / Erzeugte Unterräume 244 / Matrizen und Basen: So geht das! 248 / Dimensionen und Basisvektoren 249 / Der Dimensionssatz 250 / Jetzt haben Sie endlich die Koordinaten 251 / Basen für Orthonormal-Verbraucher 252 // TEIL III / ANALYTISCHE GEOMETRIE FÜRS LEBEN 257 / Kapitel 10 / Geometrische Grundelemente 259 / Affinität zu geometrischen Räumen 259 / Punkte im Euklidischen /7-Raum 263 / Darstellungsmöglichkeiten von Geraden 264 / Parameterform 264 / Gleichungsform 266 / Darstellungsmöglichkeiten von Ebenen 266 / Parameterform 266 / Normalenvektor und Normalenform 267 / Koordinatenform 268 / Achsenabschnittsform 270 / Aus der Form gesprungen oder wie Sie von einer Form / in die andere gelangen 271 / Festhalten, jetzt kommen höherdimensionale Objekte 272 / Parameterformen 272 / Koordinatenformen und Gleichungssysteme 273 / Was sonst noch interessant ist 275 / Dreiecke 275 / Parallelogramme 276 / Spate 277 / Flächen zweiter Ordnung 279 / Elliptisches Paraboloid 280 / Hyperbolisches Paraboloid 281 // Kapite11 / Abstand halten und schneiden 283 / Wir bestimmen den Abstand von 283 / Punkt zu Punkt 284 / Punkt zu Gerade 286 / Punkt zu Ebene 288 / Wenn sich zwei Geraden treffen 290 / Abstand paralleler Geraden 290 / Abstand windschiefer Geraden 292 / Schnittpunkt und -Winkel zweier Geraden 295 / Ebenen kommen ins Spiel 299 / Abstand einer Geraden von einer parallelen Ebene 299 / Durchstoßpunkt und -Winkel von Gerade zu Ebene 300 / Abstand zweier paralleler Ebenen 303 / Schnittgerade und -Winkel zwischen Ebenen 304 / Überdimensionale Objekte 308 / Abstandsbestimmung allgemein 308 / Schnittobjekte und -Winkel ermitteln 309 // Kapitel 12 / Geometrische Transformationen 311 / Geometrie jenseits Lineal und Zirkel 311 / Affine Abbildungen 312 / Identität 317 / Translation 317 / Transvektion (Scherung) 318 / Rotation 321 / Spiegelung 328 / Kontraktion 334 / Die Hauptachsentransformation 336 / Hauptachsentransformation - 3D 340 // TEIL IV / LINEARE ALGEBRA FOR RUNAWAY DUMMIES 347 / Kapitel 13 / Raubtierfütterung der Morphismen 349 / Was Homomorphismen eigentlich sind 349 / Beispiel 1: Quadratische Funktionen 350 / Beispiel 2: Trigonometrische Funktionen 351 / Beispiel 3: Exponential- oder Logarithmusfunktionen 352 / Beispiel 4: Endlich linear 354 // Wurfarten, die Sie sich merken sollten 355 / Kern einer linearen Abbildung 355 / Bild einer linearen Abbildung 355 / Surjektivität 356 / Injektivität 357 / Bijektivität 358 / Operationen auf Homomorphismen 359 / Morphismen, Aufzucht und Pflege 362 / Homomorphismen 362 / Epimorphismen 362 / Monomorphismen 362 / Isomorphismen 363 / Endomorphismen 364 / Automorphismen 365 / Projektionen 366 / Orthogonale Projektionen 369 / Ansteckungsgefahr bei Morphismen, Diagnose: Singularität 371 / Lineare Operatoren in der Technik 373 // Kapitel 14 / Ganz bestimmte Determinanten 377 / Warum Determinanten wichtig sind 377 / Was Permutationen mit Determinanten zu tun haben 379 / Berechnung von Determinanten 381 / Determinanten von 2x2-Matrizen 381 / Determinanten mit der Regel von Sarrus berechnen 382 / Berechnung von Determinanten im Allgemeinen 385 / Rechenregeln für Determinanten 386 / Wie sich die Transpositionen auf Determinanten auswirken 386 / Diagonalmatrizen sind die besten Freunde von Determinanten 387 / Die Determinate der Einheitsmatrix 387 / Skalare Multiplikation und Determinanten 388 / Determinanten und der Zeilentausch/Spaltentausch 388 / Leibniz trifft auf Gauß 389 / Determinantenberechnung für Dreiecksmatrizen 390 / Zusammenhang zwischen Determinante und Invertierbarkeit einer Matrix 391 / Unterdeterminanten 391 / Der Entwicklungssatz 394 / Determinanten von Homomorphismen 396 / Determinanten und das Spatprodukt 397 // Kapitel 15 / Es reicht, wir wechseln die Basis 399 / Ausgangssituation 399 / Wo die neuen Basisvektoren herkommen 403 / Die Übergangsmatrix bestimmen 404 / Die Übergangsmatrix als linearer Operator 410 / Basiswechsel bei allgemeinen Homomorphismen 413 / Ein instruktives Beispiel zum Basiswechsel 416 / Dem Ingeniör ist nichts zu schwör 416 // Kapitel 16 / Artige Eigenwerte 419 / Eigenartige Werte 419 / Eigenwerte von Endomorphismen 421 / Von Eigenwerten über Eigenvektoren zu Eigenräumen 422 / Eigenwerte der Matrixdarstellungen 423 / Wie man aus Eigenwerten die zugehörigen Eigenvektoren presst 426 / Eigenartige Eigenräume 427 / Das Jacobi-Verfahren zur Bestimmung von Eigenwerten 429 / Praxisbeispiele 434 / Mechanische Schwingungen 434 / Elektromagnetische Schwingkreise 435 // Kapitel 17 / Diagonalisieren statt um die Ecke denken 439 / Was Matrizen und Homomorphismen gemeinsam haben 439 / Was die Diagonalmatrix eines Homomorphismus bedeutet 442 / Wann Sie überhaupt diagonalisieren können 444 / Diagonalisieren ohne Verrenkungen 447 / Eine Null als Eigenwert 449 / Eigene Werte ohne Potenz 451 / Was man Schlaues mit der Diagonalisierung anstellen kann 452 / Potenzieren nach Basiswechsel 453 / Betrachten Sie den Gipfel 455 / Der Spektralsatz für Endomorphismen 460 / Anwendung des Spektralsatzes für den reellen Zahlenkörper 465 / Anwendung des Spektralsatzes für den komplexen Zahlenkörper 468 / Die charakteristische Gleichung an unerwarteter Stelle 470 / Der Satz von Cayley-Hamilton 471 / Anwendungen des Satzes von Cayley-Hamilton 472 / Was Sie tun, wenn Sie oben angekommen sind 475 // TEIL V / DER TOP-TEN-TEIL 477 / Kapitel 18 / Lineare Algebra in fast 10 Minuten 479 / Linearität verstehen und keine Angst vor Algebra haben 479 / Grundaspekte der analytischen Geometrie verinnerlichen 480 / Gleichungssysteme mit geometrischen Objekten identifizieren 480 / LGSe mit unterschiedlichen Methoden lösen 480 / Zusammenhang von Matrizen und linearen Abbildungen begreifen 481 / Determinanten und Eigenwerte als Herz einer Matrix betrachten 481 / Basiswechsel als Spezialfall eines Isomorphismus erkennen 481 / Diagonalisieren zur Ermittlung von Eigenwerten 482 / Den Spektralsatz als Gipfel der Erkenntnis ansehen 482 / Stichwortverzeichnis 485