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Differentialgleichungen, Quantenmechanik, Wahrscheinlichkeitsrechnung - wie alle exakten Naturwissenschaften erfordert auch die Chemie mathematisches Handwerkszeug, um Prozesse und Phänomene zu untersuchen. Was angehende Chemiker von der Mathematik wissen müssen, bietet in bewährter Weise "Mathematik für Chemiker" in der siebten Auflage.
Das notwendige mathematische Rüstzeug wird maßgeschneidert fürs Studium vermittelt, anschaulich in der Darstellung und ohne komplizierte Beweisketten. Zahlreiche praktische Beispiele aus der Chemie wecken das Interesse an der Mathematik und stellten den Bezug zur fachlichen Anwendung her. Die leicht verständliche Form garantiert den sicheren Einstieg, im Aufgabenteil mit Lösungen lässt sich das erworbene Wissen selbstständig überprüfen. Weiterführende Themen machen das Buch zum wertvollen Begleiter bis zum Examen.
Durchgehend aktualisiert und um ein neues Kapitel zu numerischen Verfahren erweitert - für die Grundvorlesung Mathematik ebenso wie bei Fragen und Problemen im weiteren Studium unentbehrlich.
/ AUS DEM INHALT: / / /
Vorwort zur siebten Auflage XIII
Vorwort zur sechsten Auflage XV
Vorwort zur ersten Auflage XVII
1 Mathematische Grundlagen 1
1.1 Die Sprache der Mathematik 1
1.2 Mengenlehre 3
1.3 Zahlen 6
1.4 Einige Rechenregeln 12
1.5 Kombinatorik 15
2 Lineare Algebra 23
2.1 Matrizen 23
2.2 Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus 31
2.3 Determinanten 38
2.3.1 Definition 38
2.3.2 Rechenregeln 41
2.3.3 Berechnung von Determinanten 44
2.4 Lineare Unabhängigkeit und Rang einer Matrix 46
2.4.1 Lineare Unabhängigkeit 46
2.4.2 Rang einer Matrix 48
2.5 Lösungstheorie linearer Gleichungssysteme 50
2.5.1 Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme 50
2.5.2 Berechnung der Inversen einer Matrix 55
3 Unendliche Zahlenfolgen und Reihen 59
3.1 Unendliche Zahlenfolgen 59
3.1.1 Definitionen und Beispiele 59
3.1.2 Konvergenz einer Zahlenfolge 61
3.1.3 Das Rechnen mit Grenzwerten 64
3.2 Unendliche Reihen 68
3.2.1 Definitionen und Beispiele 68
3.2.2 Konvergenzkriterien 71
3.2.3 Das Rechnen mit unendlichen Reihen 74
3.2.4 Potenzreihen 76
4 Funktionen 79
4.1 Erläuterung des Funktionsbegriffes 79
4.2 Funktionen einer Variablen 80
4.2.1 Darstellung 80
4.2.2 Umkehrung und implizite Darstellung einer Funktion 82
4.2.3 Wichtige Begriffe zur Charakterisierung von Funktionen
4.2.4 Einige spezielle Funktionen 85
4.2.5 Stetigkeit 96
4.2.6 Funktionenfolgen 99
4.3 Funktionen mehrerer Variablen 102
4.3.1 Darstellung 102
4.3.2 Definitionsbereiche 107
4.3.3 Stetigkeit 108
5 Vektoralgebra 111
5.1 Rechnen mit Vektoren 111
5.1.1 Definition eines Vektors 111
5.1.2 Rechenregeln für Vektoren 114
5.1.3 Skalarprodukt 117
5.1.4 Vektorprodukt 119
5.1.5 Spatprodukt 122
5.2 Darstellung von Vektoren in verschiedenen Basen 125
5.2.1 Lineare Unabhängigkeit von Vektoren 125
5.2.2 Basis im R3 und Basiswechsel 128
5.2.3 Orthonormalbasis 132
6 Analytische Geometrie 137
6.1 Analytische Darstellung von Kurven und Flächen 137
6.1.1 Darstellung durch Gleichungen in x, y und z 137
6.1.2 Parameterdarstellung 146
6.2 Lineare Abbildungen 149
6.2.1 Definitionen 149
6.2.2 Eigenwerte und Eigenvektoren 151
6.2.3 Drehungen und Spiegelungen 155
6.3 Koordinatentransformationen 162
6.3.1 Lineare Transformationen 162
6.3.2 Transformation auf krummlinige Koordinaten 169
7 Differenziation und Integration einer Funktion einer Variablen 175
7.1 Differenziation 175
7.1.1 Die erste Ableitung einer Funktion 175
7.1.2 Rechenregeln für das Differenzieren 179
7.1.3 Differenziation einiger Funktionen 183
7.1.4 Differenziation komplexwertiger Funktionen 187
7.1.5 Höhere Ableitungen 191
7.1.6 Mittelwertsatz der Differenzialrechnung 192
7.1.7 Anwendungen 193
7.2 Integration von Funktionen 196
7.2.1 Das bestimmte Integral 196
7.2.2 Das unbestimmte Integral 203
7.2.3 Integrationsmethoden 207
7.2.4 Uneigentliche Integrale 216
7.2.5 Anwendungen 220
7.3 Differenziation und Integration von Funktionenfolgen 226
7.4 Die Taylor-Formel 228
7.5 Unbestimmte Ausdrücke: Regel von de l'Hospital 236
7.6 Kurvendiskussion 242
7.6.1 Definitionen 242
7.6.2 Bestimmung von Nullstellen 244
7.6.3 Bestimmung von Extrema 247
7.6.4 Bestimmung von Wendepunkten und Sattelpunkten 249
8 Differenziation und Integration von Funktionen mehrerer Variablen 251
8.1 Differenziation 251
8.1.1 Die partielle Ableitung 251
8.1.2 Höhere Ableitungen und der Satz von Schwarz 255
8.1.3 Existenz einer Tangentialebene 258
8.1.4 Das totale Differenzial 259
8.1.5 Die Kettenregel 262
8.1.6 Differenziation impliziter Funktionen 265
8.1.7 Partielle Ableitungen in der Thermodynamik 268
8.2 Einfache Integrale 271
8.3 Bereichsintegrale 275
8.3.1 Definition des zweidimensionalen Bereichsintegrals 275
8.3.2 Berechnung des zweidimensionalen Bereichsintegrals 278
8.3.3 Allgemeine Bereichsintegrale 282
8.3.4 Transformationsformel 283
8.3.5 Berechnung von Volumina und Oberflächen 290
8.4 Kurvenintegrale 299
8.4.1 Definition und Berechnung 299
8.4.2 Wegunabhängigkeit des allgemeinen Kurvenintegrals 304
8.4.3 Vollständiges und unvollständiges Differenzial 308
8.4.4 Satz von Gauß im R2 310
8.5 Oberflächenintegrale 313
8.6 Die Taylor-Formel 317
8.7 Extremwerte 320
8.7.1 Definitionen 320
8.7.2 Bestimmung von Extremwerten und Sattelpunkten 322
8.7.3 Bestimmung von Extremwerten unter Nebenbedingungen 325
9 Vektoranalysis und Tensorrechnung 333
9.1 Vektoranalysis 333
9.1.1 Vektor- und Skalarfelder 333
9.1.2 Der Gradient 335
9.1.3 Konservative Vektorfelder 338
9.1.4 Die Divergenz und der Satz von Gauß im R3 340
9.1.5 Die Rotation und der Satz von Stokes 344
9.1.6 Rechenregeln 347
9.1.7 Krummlinige Koordinaten 349
9.2 Tensorrechnung 354
9.2.1 Tensoren zweiter Stufe 354
9.2.2 Tensoren höherer Stufe 358
10 Fourier-Reihen und Fourier-Transformation 361
10.1 Fourier-Reihen 361
10.1.1 Reelle Fourier-Reihen 361
10.1.2 Komplexe Fourier-Reihen 368
10.1.3 Fourier-Reihe einer Funktion in mehreren Variablen 370
10.2 Fourier-Transformation 373
10.2.1 Definitionen 373
10.2.2 Beispiele 378
10.2.3 Eigenschaften 382
10.2.4 Anwendungen in der Chemie 392
10.3 Orthonormalsysteme 399
11 Gewöhnliche Differenzialgleichungen 405
11.1 Beispiele und Definitionen 405
11.2 Differenzialgleichungen erster Ordnung 412
11.2.1 Richtungsfeld, Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen 412
11.2.2 Trennung der Variablen 415
11.2.3 Lineare Differenzialgleichungen 417
11.2.4 Systeme homogener linearer Differenzialgleichungen 421
11.2.5 Systeme inhomogener linearer Differenzialgleichungen 431
11.2.6 Exakte Differenzialgleichungen 433
11.3 Lineare Differenzialgleichungen höherer Ordnung 439
11.3.1 Allgemeines über die Existenz von Lösungen 439
11.3.2 Die ungedämpfte freie Schwingung 443
11.3.3 Die gedämpfte freie Schwingung 449
11.3.4 Die erzwungene Schwingung 451
11.3.5 Systeme von DifFerenzialgleichungen zweiter Ordnung 455
11.4 Spezielle lineare DifFerenzialgleichungen zweiter Ordnung 461
11.4.1 Potenzreihenansatz 461
11.4.2 Die Legendre-Differenzialgleichung 464
11.4.3 Die Laguerre-Differenzialgleichung 470
11.4.4 Die Bessel-Differenzialgleichung 474
12 Partielle Differenzialgleichungen 479
12.1 Definition und Beispiele 479
12.2 Die Potenzialgleichung 483
12.2.1 Lösung durch Fourier-Transformation 483
12.2.2 Lösung durch Fourier-ßeihenansatz 484
12.2.3 Lösung in Polarkoordinaten 487
12.3 Die Wärmeleitungsgleichung 489
12.3.1 Lösung durch Fourier-Transformation 489
12.3.2 Lösung durch Separationsansatz 491
12.4 Die Wellengleichung 494
12.4.1 Lösung durch Separationsansatz 494
12.4.2 Allgemeine Lösungsformel 497
12.4.3 Die schwingende Membran 499
12.5 Die Schrödinger-Gleichung 504
12.5.1 Die stationäre Gleichung 504
12.5.2 Der harmonische Oszillator 505
12.5.3 Das Wasserstoffatom 509
13 Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik 519
13.1 Einführung 519
13.1.1 Quantenmechanische Begriffe 519
13.1.2 Axiomatik der Quantenmechanik 523
13.2 Hilbert-Räume 526
13.2.1 Sobolev-ßäume 526
13.2.2 Vollständige Orthonormalsysteme 532
13.2.3 Lineare Operatoren 536
13.2.4 Dualräume und Dirac-Notation 537
13.3 Beschränkte lineare Operatoren 541
13.3.1 Definition und Beispiele 541
13.3.2 Projektoren 545
13.3.3 Symmetrische Operatoren 547
13.4 Unbeschränkte lineare Operatoren 555
13.4.1 Selbstadjungierte Operatoren 555
13.4.2 Die Heisenberg'sche Unschärferelation 560
13.4.3 Spektraldarstellung selbstadjungierter Operatoren 562
13.5 Zeitentwicklung quantenmechanischer Systeme 571
14 Wahrscheinlichkeitsrechnung 575
14.1 Einleitung 575
14.1.1 Aufgaben der Wahrscheinlichkeitsrechnung 575
14.1.2 Der Ereignisraum 577
14.1.3 Zufallsgrößen 578
14.2 Diskrete Zufallsgrößen 580
14.2.1 Statistische Definition der Wahrscheinlichkeit 580
14.2.2 Summe von Ereignissen 582
14.2.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit 584
14.2.4 Produkt von Ereignissen 587
14.2.5 Totale Wahrscheinlichkeit 588
14.3 Kontinuierliche Zufallsgrößen 590
14.3.1 Wahrscheinlichkeitsdichte 590
14.3.2 Verteilungsfunktion 593
14.4 Kette von unabhängigen Versuchen 598
14.4.1 Herleitung der exakten Gleichungen 598
14.4.2 Diskussion der Funktion Pn(m) 601
14.4.3 Näherungsgesetze für große n 602
14.4.4 Markow'sche Ketten 607
14.5 Stochastische Prozesse 614
14.5.1 Definitionen 614
14.5.2 Der Poisson-Prozess 615
15 Fehler-und Ausgleichsrechnung 619
15.1 Zufällige und systematische Fehler 619
15.2 Mittelwert und Fehler der Einzelmessungen 620
15.2.1 Verteilung der Messwerte und Mittelwert 620
15.2.2 Mittlerer Fehler der Einzelmessungen 622
15.2.3 Wahrscheinlicher Fehler der Einzelmessung 623
15.2.4 Praktische Durchführung der Rechnungen 624
15.3 Fehlerfortpflanzung 626
15.3.1 Maximaler Fehler 626
15.3.2 Fortpflanzung des mittleren Fehlers 628
15.3.3 Mittlerer Fehler des Mittelwertes 631
16 Numerische Methoden 633
16.1 Lineare Gleichungssysteme 633
16.1.1 Gauß-Algorithmus 633
16.1.2 Thomas-Algorithmus 637
16.1.3 Iterative Lösungsmethoden 639
16.1.4 Ausgleichsrechnung 642
16.2 Nichtlineare Gleichungen 646
16.2.1 Newton-Verfahren im Eindimensionalen 646
16.2.2 Newton-Verfahren im Mehrdimensionalen 647
16.3 Eigenwertprobleme 650
16.3.1 Potenzmethode 650
16.3.2 QR-Verfahren 653
16.4 Gewöhnliche Differenzialgleichungen 656
16.4.1 Euler-Verfahren 656
16.4.2 Runge-Kutta-Verfahren 659
16.4.3 Steife Differenzialgleichungen 662
16.5 Softwarepakete 665
Antworten und Lösungen 667
Literaturverzeichnis 701
Weiterführende Literatur 703
Stichwortverzeichnis 707