Das vorliegende Lehrbuch bietet eine moderne Einführung in die Differenzialgeometrie - etwa im Umfang einer einsemestrigen Vorlesung. Zunächst behandelt es die Geometrie von Flächen im Raum. Viele Beispiele schulen Leser in geometrischer Anschauung, deren wichtigste Klasse die Minimalflächen bilden. Zu ihrem Studium entwickeln die Autoren analytische Methoden und lösen in diesem Zusammenhang das Plateausche Problem. Es besteht darin, eine Minimalfläche mit vorgegebener Berandung zu finden. Als Beispiel einer globalen Aussage der Differenzialgeometrie beweisen sie den Bernsteinschen Satz. Weitere Kapitel behandeln die innere Geometrie von Flächen einschließlich des Satzes von Gauss-Bonnet, und stellen die hyperbolische Geometrie ausführlich dar. Die Autoren verknüpfen geometrische Konstruktionen und analytische Methoden und folgen damit einem zentralen Trend der modernen mathematischen Forschung. Verschiedene geistesgeschichtliche Bemerkungen runden den Text ab. Die Neuauflage wurde überarbeitet und aktualisiert.
/ AUS DEM INHALT: / / /
1. Der begriffliche Rahmen 1
1.1 Geometrie 1
1.2 Anschauliche und Analytische Geometrie 1
1.3 Glattheit 6
1.4 Messungen 9
1.5 Übungsaufgaben 11
2. Kurven 13
2.1 Bogenlänge 13
2.2 Die Variation der Bogenlänge 18
2.3 Krümmung 19
2.4 Totalkrümmung geschlossener ebener Kurven 23
2.5 Totalkümmung von Raumkurven 25
2.6 Torsion 27
2.7 Übungsaufgaben 29
3. Die erste Fundamentalform 35
3.1 Länge und Winkel 35
3.2 Skalarprodukte 37
3.3 Flächeninhalt 39
3.4 Zueinander isometrische Immersionen 41
3.5 Übungsaufgaben 42
4. Die zweite Fundamentalform 45
4.1 Die Lageänderung des Tangentialraums 45
4.2 Die Gaußabbildung einer Hyperfläche 46
4.3 Weingarten-Abbildung 48
4.4 Abstandsfunktion und Parallelhyperflächen 51
4.5 Die lokale Gestalt einer Hyperfläche 53
4.6 Der Normalanteil des Krümmungsvektors 54
4.7 Normalenschnitte 56
4.8 Übungsaufgaben 57
5. Geodäten und Kürzeste 61
5.1 Die Variation der Bogenlänge auf Immersionen 61
5.2 Die Differentialgleichung der Geodäten 62
5.3 Die geodätische Exponentialabbildung 64
5.4 Kürzeste Kurven 67
5.5 Übungsaufgaben 68
6. Die tangentiale Ableitung 71
6.1 Die ChristofFelsymbole 71
6.2 Die Levi-Civita-Ableitung 72
6.3 Vektorfelder längs Kurven, Parallelität 74
6.4 Gradient und Hesseform 76
6.5 Übungsaufgaben 79
7. Nabelpunkte und konforme Abbildungen 81
7.1 Nabelpunkthyperflächen 81
7.2 Orthogonale Hyperflächensysteme 82
7.3 Konforme Abbildungen 84
7.4 Möbius-Transformationen 87
7.5 Die Stereographische Projektion 91
7.6 Übungsaufgaben 94
8. Minimalflächen 99
8.1 Variation des Flächeninhalts 99
8.2 Minimaler Flächeninhalt 102
8.3 Seifenhäute und mittlere Krümmung 106
8.4 Konforme Parameter und komplexe Zahlen 110
8.5 Die Weierstraß-Darstellung 115
8.6 Konstruktion konformer Parameter 120
8.7 Minimale Graphen und Satz von Bernstein 122
8.8 Übungsaufgaben 127
9. Das Plateau-Problem 133
9.1 Einführung 133
9.2 Flächeninhalt und Energie 135
9.3 Das Dirichletsche Prinzip 136
9.4 Bestimmung der Randparameter 140
9.5 Schwache Konformität 144
9.6 Ausschluss von Verzweigungspunkten 153
9.7 Harmonische Funktionen 157
9.8 Holomorphe Funktionen 164
9.9 Übungsaufgaben 169
10. Minimalflächen und Maximumprinzip 171
10.1 Das Maximumprinzip für minimale Hyperflächen 171
10.2 Hindernisse für Minimalflächen 175
10.3 Übungsaufgaben 179
11. Innere und äußere Geometrie 181
11.1 Von der inneren zur Riemannschen Geometrie 181
11.2 Die Levi-Civita-Ableitung 184
11.3 Der Riemannsche Krümmungstensor 187
11.4 Lokal euklidische Metriken 190
11.5 Gauß-Gleichung und Theorema Egregium 192
11.6 Übungsaufgaben 195
12. Krümmung und Gestalt 197
12.1 Geodätische Koordinaten 197
12.2 Die Jacobigleichung 199
12.3 Die hyperbolische Ebene 201
12.4 Geodätische Krümmung auf Flächen 208
12.5 Der Satz von Gauß-Bonnet 209
12.6 Zusammenhangsform und Krümmung 212
12.7 Der Satz von Gauß-Bonnet im Großen 214
12.8 Übungsaufgaben 219
A. Integration 225
A.1 Cartanableitung und Integration 225
A.2 Der Divergenzsatz 230
A.3 Integrationsbedingungen 232
A.4 Übungsaufgaben 235
B. Gewöhnliche Differentialgleichungen 237
B.1 Existenz und Eindeutigkeit 237
B.2 Lineare Differentialgleichungen 239
B.3 Stetige Abhängigkeit von Parametern und Anfangswerten ... 240
B.4 Differenzierbare Abhängigkeit von den Anfangswerten 242
B.5 Der Fluss eines Vektorfeldes 244
B.6 Übungsaufgaben 246
Literatur 249
Sachverzeichnis 251