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"Ebene Geometrie" von Koecher und Krieg betont - anders als vergleichbare Lehrbücher zum Thema - den analytischen Standpunkt. Es bietet eine Einführung in die axiomatische Geometrie affiner und projektiver Ebenen und behandelt die klassische Schulgeometrie mit den Methoden der Linearen Algebra. Weiterführende Ergebnisse sind z.B. die Sätze von Feuerbach, Morley oder Pascal. Neu in dieser Auflage u.a: der Satz von Connes (1999) mit einem neuen Beweis des Satzes von Morley. Die Zeichnungen des Buches sind unter http://www.mathA.rwth-aachen.de/geometrie verfügbar. Ein gut strukturierter Lehrtext mit einer Fülle von Übungsaufgaben.

 

 

 

 

Aus dem Inhalt:

Prolog. Die Elemente des EUKLID 1 / 1. EUKLID 2. Axiome 3. Über die Sprache der Geometrie // Kapitel I. Grundlagen der ebenen euklidischen Geometrie 5 // Einleitung 5 // §1. Affine Ebenen 7 / 1. Inzidenz-Axiome 2. Richtungen 3. Ordnung 4. Beispiele 5. Affine Isomorphismen 6*. Über das ParaHelen-Axiom von EUKLID bis GAUSS // §2. Translationsebenen 16 / 1. Dilatationen 2. Fixgeraden 3. Translationen 4. Translations-Axiom 5. P als additive Gruppe 6. Multiplikatoren-Schiefkörper 7. Beschreibung der Dilatationen 8. Automorphismen // §3. Affine Koordinatenebenen 30 / 1. Satz von DESARGUES 2. DESARGUES-Ebenen 3. Affine Koordinatenebenen 4. Koordinatenebenen als DESARGUES-Ebenen 5*. Ausblicke // §4. PAPPUS-Ebenen 38 / 1. Satz von PAPPUS 2. Dreimal PAPPUS ist DESARGUES 3. Äquivalenzsatz 4. Satz von WEDDERBURN // §5. Euklidische Ebenen 42 / 1. Einleitung 2. Normierte Gruppen 3. Metrische Translationsebenen 4. Euklidische Ebenen 5. Hauptsatz für euklidische Ebenen // Kapitel II. Affine Geometrie in Koordinatenebenen 51 // Einleitung 51 // §1. Schnittpunkte von Geraden 52 / 1. Erinnerung an die Lineare Algebra 2. Determinantenfunktion 3. Geraden 4. Schnittpunkte 5. Die affine Gruppe 6. Die alternierende Funktion [x, y, z] 7. Geometrische Interpretation der Addition // §2. Erste Schnittpunktsätze 63 / 1. Strahlensätze 2. Satz von DESARGUES 3. Satz von PAPPUS 4. Satz von PASCAL 5*. Vollständiges Vierseit 6*. Allgemeiner Satz von DESARGUES // §3. Anfänge einer Dreiecks-Geometrie 71 / 1. Dreiecke 2. Schwerpunktsatz 3*. Schwerpunkt von endlich vielen Punkten 4*. Das Analogon eines Flächenmaßes // §4*. Dreieckskoordinaten 75 / 1. Definition 2. Geradengleichung 3. Parabel durch drei Punkte // §5. Die Sätze von MENELAOS und CEVA 78 / 1. Ein Geradenmaß 2. Regula sex quantitatum 3. Historisches 4*. Ein Produkt auf den Geraden // §6*. Das Doppelverhältnis 83 / 1*. Definition 2*. Harmonische Punkte // §7*. BROCARDsche Punkte 86 / 1*. Eine quadratische Form 2*. Der Ansatz von BROCARD 3*. Eine Verallgemeinerung 4*. Analoge Punkte // Kapitel III. Analytische Geometrie in der euklidischen Ebene 91 // Einleitung 91 // Gültigkeitsbereich* 92 // §1. Die reelle euklidische Ebene 93 / 1. Das Skalarprodukt 2. Die Abbildung x ¿i> x1- 3. Der Zusammenhang zwischen [x,y] und (x,y) 4. Betrag und Abstand 5. Winkel 6. Die orthogonale Gruppe 7. Die Bewegungen der Ebene 8. Kongruenz und Ähnlichkeit 9*. Bewegungsinvarianten // §2. Das Dreieck 108 / Einleitung 1. Erste metrische Sätze 2. Geradengleichung 3. Abstand eines Punktes von einer Geraden 4. Mittelsenkrechte im Dreieck 5. Höhen im Dreieck 6. Halbebenen 7. Winkelhalbierende 8. Rechtwinklige Dreiecke 9*. Orientierte Flächen // §3. Trigonometrie 125 / 1. Kongruenz-Sätze 2. Formel von HERON 3. Tangens-Satz 4. Relationen zwischen den Winkeln 5. Abstände zwischen vier Punkten 6*. Der Satz von / MORLEY 7*. Der Satz von CONNES // §4. Geometrie und Arithmetik 135 / 1. Pythagoräische Tripel 2. Die rationalen Punkte des Einheitskreises 3. Heronische Dreiecke 4. Satz von PICK // Kapitel IV. Das Dreieck und seine Kreise 143 // Einleitung 143 // §1. Der Kreis 143 / 1. Mittelpunktsgleichung 2. Tangente 3. Kreis und Gerade 4. Polare 5*. Mehrere Kreise 6*. Satz von BODENMILLER 7*. Die Stereographische Projektion 8*. Inversion am Kreis // §2. Der Umkreis eines Dreiecks 159 / 1. Existenzsatz 2. Peripheriewinkel 3. EuLER-Gerade 4. FEUERBACH-Kreis 5*. Mittendreieck 6*. Höhenfußpunkt-Dreieck 7*. WALLACE-Gerade // §3*. Vier Punkte auf einem Kreis 173 / 1*. Vierecke 2*. Sehnenvierecke 3*. Satz von PTOLEMAEUS 4*. Satz von MlQUEL // §4. Die Berührkreise eines Dreiecks 177 / Einleitung 1. Mittelpunkte und Radien 2. Satz von LEIBNIZ 3. Folgerungen 4. Satz von FEUERBACH // §5*. Die komplexe Zahlenebene 185 / 1*. Die komplexen Zahlen als euklidische Ebene. 2*. Das komplexe Doppelverhältnis 3*. Der Satz von MlQUEL 4*. Die BROCARDschen Punkte 5*. // Anwendungen // Kapitel V. Kegelschnitte 197 // Einleitung 197 // §1. Ellipsen und Hyperbeln 198 / 1. Ellipse 2. Hyperbel 3. Gemeinsame Beschreibung 4. Hauptachsentransformation 5. Tangenten 6. Brennpunkt-Tangenten-Abstand 7. Einhüllende Tangentenschar 8. Asymptoten einer Hyperbel 9*. Beschreibung durch Kreise // §2. Die Parabel 213 / 1. Definition 2. Tangenten 3. Brennpunkt-Tangenten-Abstand // §3. Die allgemeine Kurve zweiten Grades 218 / 1. Vorbemerkungen 2. Die allgemeine Gleichung zweiten Grades 3. Normalform 4. Klassifikation der Kurven zweiten Grades 5. Affine Normalformen 6. Kurven zweiten Grades als Kegelschnitte 7. Infinitesimale Beschreibung einer Tangente // §4. Scheitel- und Brennpunktgleichung 226 / 1. Kurven mit Leitlinien 2. Scheitelgleichung 3. Zusammenhang zwischen Scheitelgleichung und Mittelpunktsgleichung 4. Brennpunktgleichung // §5. Der Fünf-Punkte-Satz und der Satz von PASCAL 232 / 1. Problemstellung 2. Schnittpunkte 3. Ein Polynom zweiten Grades 4. Fünf-Punkte-Satz 5. Satz von PASCAL 6. Beschreibung mit Determinanten // Kapitel VI. Grundlagen der ebenen projektiven Geometrie 241 // Einleitung 241 / §1. Projektive Ebenen 242 / 1. Die Axiome 2. Die projektive Ebene über K 3. Die Konstruktion einer projektiven Ebene 4. Die Konstruktion einer affinen Ebene 5. Projektive Isomorphismen 6. Dualität // §2. Die projektive Ebene über einem Körper 250 1. Punkte und Geraden 2. Die Automorphismengruppe 3. Dualität 4. Der Satz von DESARGUES 5. Der Satz von PAPPUS/PASCAL // §3. Die reelle projektive Ebene 259 / 1. Das Vektorprodukt 2. Quadriken 3. Der Fünf-Punkte-Satz 4. Tangenten / 5. Der Satz von PASCAL // Literaturverzeichnis 269 / Symbolverzeichnis 273 / Sachverzeichnis 275