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Vorbestellen	Zweigstelle: 07., Urban-Loritz-Pl. 2a	Standorte: NN.MA Padb / College 6a - Naturwissenschaften	Status: Verfügbar	Frist:	Vorbestellungen: 0
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Diese Einführung in die Zahlentheorie wendet sich an Studierende sowie an Lehrerinnen und Lehrer aller Schulformen mit dem Fach Mathematik. Besonderheiten: - Schnupperkurs motiviert durch spannende Problemstellungen zur aktiven Auseinandersetzung mit der Zahlentheorie - Über 200 Aufgaben mit Lösungshinweisen ermöglichen eine selbstständige Erarbeitung vieler Fragestellungen - Aktuelle und ergiebige Internetadressen - Einsatz von Computeralgebrasystemen wie DERIVE wird am Beispiel des RSA-Verschlüsselungssystems realitätsnah dargestellt.

 

 

 

 

Aus dem Inhalt:

1 Vier spannende Probleme 1 / 1.1 Natürliche Zahlen als Summe zweier Primzahlen 1 / 1.2 Primzahlen als Differenz zweier Quadratzahlen 2 / 1.3 Freitag, der 13. - ein Unglückstag? 5 / 1.4 Welche Fehler erkennt die IBAN ? 7 // 2 Teiler, Vielfache, Reste 15 / 2.1 Definition 15 / 2.2 Teilbarkeits- und Vielfachenrelation als Ordnungsrelationen 18 / 2.2.1 Veranschaulichung durch Pfeildiagramme 18 / 2.2.2 Ordnungsrelation 21 / 2.3 Summen- und Produktregel 22 / 2.3.1 Summenregel 22 / 2.3.2 Differenzregel 23 / 2.3.3 Produktregeln 24 / 2.4 Division mit Rest 26 / 2.5 Kongruenzrelation/Restgleichheitsrelation 29 / 2.5.1 Seitenweise Addition von Kongruenzen 30 / 2.5.2 Seitenweise Multiplikation von Kongruenzen 31 / 2.5.3 Einsatzgebiete der Kongruenzrelation 33 / 2.6 A ufgaben 33 // 3 Primzahlen 37 / 3.1 Primzahlen - unterschiedliche Gesichter 37 / 3.2 Bestimmung von Primzahlen - Sieb des Eratosthenes 39 / 3.3 Verteilung der Primzahlen / 3.3.1 Primzahlzwillinge / 3.3.2 Primzahldrillinge/Primzahlvierlinge 45 / 3.3.3 Primzahllücken 46 / 3.4 Wie viele Primzahlen gibt es? 48 / 3.5 Primzahlformeln 50 / 3.6 Primzahlsatz 52 / 3.7 Jagd nach Primzahlrekorden 53 / 3.8 Vollkommene Z ahlen 55 / 3.9 Einige offene Primzahlprobleme 60 / 3.10 Aufgaben 62 // 4 Primzahlen - Bausteine der natürlichen Zahlen 65 / 4.1 Problematisierung 65 / 4.2 Existenz der Primfaktorzerlegungen 67 / 4.3 Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegungen 68 / 4.4 Folgerungen 71 / 4.4.1 Primzahlkriterium 71 / 4.4.2 Lemma von Euklid 73 / 4.4.3 Teilermengen 73 / 4.4.4 Weiterer Ausblick 75 / 4.5 Aufgaben 75 // 5 Größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches 79 / 5.1 ggT und Teilermengen 80 / 5.2 ggT und Primfaktorzerlegung 83 / 5.2.1 Ein Beispiel 83 / 5.2.2 Allgemeine Vorgehensweise 84 / 5.3 ggT und Euklidischer Algorithmus 85 / 5.3.1 Ein Beispiel 86 / 5.3.2 Verallgemeinerung der zentralen Beweisidee 88 / 5.3.3 Euklidischer Algorithmus 88 / 5.4 kgV und Vielfachenmengen 91 / 5.5 kgV und Primfaktorzerlegung 95 / 5.6 Zusammenhang zwischen ggT und kgV 96 / 5.7 Linearkombinationen natürlicher Zahlen 98 / 5.8 Lineare diophantische Gleichungen 103 / 5.9 Die Fermat¿sche Vermutung - eine abenteuerliche Geschichte 106 / 5.10 Aufgaben 108 // 6 Kongruenzen, Restklassenmengen und klassische Sätze 113 / 6.1 Die Kongruenzrelation modulo m 113 / 6.1.1 Rechnen mit Resten 113 / 6.1.2 Alternative Definition der Kongruenzrelation 116 / 6.1.3 Rechnen mit Kongruenzen 119 / 6.1.4 Die Kongruenzrelation als Äquivalenzrelation 120 / 6.2 Restklassenmengen modulo m 121 / 6.2.1 Restklassen als Äquivalenzklassen 122 / 6.2.2 Rechnen mit Restklassen 123 / 6.2.3 Restklassengleichungen 126 / 6.2.4 Sprachebenen der Zahlentheorie 127 / 6.2.5 Restklassenmengen als Beispiele für algebraische Strukturen 129 / 6.3 Klassische Sätze der Elementaren Zahlentheorie 135 / 6.3.1 Sätze von Euler und Fermat 135 / 6.3.2 Chinesischer Restsatz 138 / 6.3.3 Satz von Wilson 142 / 6.4 Aufgaben 143 // 7 Stellenwertsysteme und Teilbarkeitsregeln 147 / 7.1 Stellenwertsysteme - einige Bemerkungen 148 / 7.1.1 Dezimales Stellenwertsystem 148 / 7.1.2 Nichtdezimale Stellenwertsysteme 149 / 7.1.3 Notation einer Zahl in verschiedenen Basen 149 / 7.1.4 Anforderungen an eine Basis 150 / 7.1.5 Mögliche Basen von Stellenwertsystemen 150 / 7.2 Ausgewählte Eigenschaften der Kongruenzrelation 153 / 7.3 Endstellenregeln 153 / 7.3.1 Dezimales Stellenwertsystem 154 / 7.3.2 Nichtdezimale Stellenwertsysteme 158 / 7.4 Quersummenregeln 160 / 7.4.1 Dezimales Stellenwertsystem 160 / 7.4.2 Nichtdezimale Stellenwertsysteme 162 / 7.5 Alternierende Quersummenregeln 164 / 7.5.1 Dezimales Stellenwertsystem 164 / 7.5.2 Nichtdezimale Stellenwertsysteme 168 / 7.6 Vorteile des Zugangsweges über die Kongruenzrelation 170 / 7.7 Aufgaben 171 // 8 Dezimalbrüche/Systembrüche 175 / 8.1 Darstellungsformen von rationalen Zahlen 176 / 8.1.1 Größenvergleich von gemeinen Brüchen als Herausforderung 176 / 8.1.2 Vorteile der unterschiedlichen Darstellungsformen 177 / 8.1.3 Erste einfache Darstellungswechsel 177 / 8.2 Dezimalbruchentwicklungen als Erweiterung des Dezimalsystems 178 / 8.2.1 Erweiterung des Dezimalsystems und des Divisionsalgorithmus 178 / 8.2.2 Erste Erkundungen 182 / 8.2.3 Erste Systematisierungen 183 / 8.3 Endliche Dezimalbruchentwicklungen 184 / 8.4 Periodische Dezimalbruchentwicklungen 186 / 8.4.1 Reinperiodische Dezimalbruchentwicklungen 187 / 8.4.2 Gemischtperiodische Dezimalbruchentwicklungen 191 / 8.5 Andere Stellenwertsysteme - andere Systembruchentwicklungen 192 / 8.5.1 Erste Beispiele 192 / 8.5.2 Divisionsalgorithmus in anderen Stellenwertsystemen 194 / 8.5.3 Verallgemeinerung der Resultate aus dem Dezimalsystem 196 / 8.6 A ufgaben 198 // 9 Fehler erkennen, Fehler korrigieren - Prüfziffern & Co 201 / 9.1 GTIN und EAN 203 / 9.1.1 Aufbau und Zielsetzung 203 / 9.1.2 Die Prüfziffer 205 / 9.1.3 Sicherheit des Prüfziffernsystems 207 / 9.1.4 Zusammenfassung 213 / 9.2 Die Internationale Standardbuchnummer ISBN-1 3 213 / 9.2.1 Einige Bemerkungen zur Einführung 213 / 9.2.2 Aufbau der ISBN-13 213 / 9.2.3 Sicherheit des ISBN-13-Prüfziffernsystems 214 / 9.2.4 Zusammenhang von ISBN-10 und ISBN-13 215 / 9.3 Die Internationale Standardbuchnummer ISBN-10 215 / 9.3.1 Berechnung der ISBN-10-Prüfziffer 215 / 9.3.2 Sicherheit des ISBN-10-Prüfziffernverfahrens 216 / 9.3.3 Zusammenfassung 220 / 9.4 Die Pharmazentralnummer PZN 221 / 9.4.1 Aufbau der PZN und Berechnung der Prüfziffer 222 / 9.4.2 Sicherheit der PZN 222 / 9.5 Die Internationale Bankkontonummer IBAN 223 / 9.5.1 Sicherheit des IBAN-Prüfziffernverfahrens 223 / 9.5.2 Zusammenfassung 228 / 9.6 Quick-Response-Code & Co. - eine Skizze 229 / 9.6.1 Entwicklung, Zielsetzung und Aufbau des QR-Codes 230 / 9.6.2 Grundidee der Fehlerkorrektur 231 / 9.6.3 Verwandte Codes 232 / 9.7 Aufgaben 233 // 10 Verschlüsselung und digitale Signaturen - RSA & Co 237 / 10.1 Grundsituationen der Kryptologie 237 / 10.2 Symmetrische und asymmetrische Verschlüsselung 239 / 10.2.1 Symmetrische Verfahren 239 / 10.2.2 Asymmetrische Verfahren 240 / 10.2.3 Vor- und Nachteile der beiden Verfahren & hybride Verfahren 242 / 10.3 Beispiele für symmetrische Verfahren - Cäsar-Chiffren & Co 243 / 10.3.1 Monoalphabetische Substitution 243 / 10.3.2 Polyalphabetische Substitution 246 / 10.4 Ein Beispiel für asymmetrische Verschlüsselung - das RSA-Verfahren 247 / 10.4.1 Grundidee des RSA-Verfahrens 247 / 10.4.2 Wahl des Moduls und Generierung der Schlüssel 251 / 10.4.3 Effektivität und Effizenz des Verfahrens 253 / 10.5 Aufgaben 255 // 11 Ausblick: Quadratische Reste 257 / 11.1 Erste Begriffe und Erkundungen 258 / 11.2 Erste Aussagen über quadratische Reste 260 / 11.3 Das Legendre-Symbol und weitere Aussagen 262 / 11.4 Das Quadratische Reziprozitätsgesetz 263 // Lösungshinweise zu ausgewählten Aufgaben 265 // Liste der wichtigsten Symbole und Bezeichnungen 273 // Bisher erschienene Bände der Reihe Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II 277 // Literatur 279 / Sachverzeichnis 281