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Elementare Einführung in die Graphentheorie. Mit Übungsaufgaben.

Dieses Buch liefert eine Einführung in die Graphentheorie - ein Lehrgebiet, das heute nicht nur in der Mathematikausbildung eine große Rolle spielt. Die vielfältigen Anwendungen der Graphentheorie erlangten auch für Informatiker, Wirtschaftler, Chemiker und Ingenieure eine große Bedeutung.

Die ersten acht Kapitel dieses Buches behandeln die Grundlagen der Theorie ungerichteter Graphen. Nach einer Einführung in den Sprachgebrauch der Graphentheorie im ersten Kapitel sind planare Graphen, Unabhängigkeit, Färbungsprobleme, der Zusammenhang von Graphen sowie Bäume und Kreise weitere Schwerpunkte. Das letzte Kapitel befasst sich mit dem Thema gerichtete Graphen.

Die hier vorliegende Einführung in die Graphentheorie entstand aus einer Vorlesungsreihe zur Graphentheorie für Studierende der Computertechnologie und der Angewandten Mathematik an der Hochschule Mittweida.

Aus dem Inhalt:

1 Graphen 9 / 1.1 Definitionen 10 / 1.1.1 Knotengrade 11 / 1.1.2 Wege und Kreise 13 / 1.1.3 Zusammenhang 13 / 1.2 Operationen mit Graphen 14 / 1.2.1 Entfernen von Knoten und Kanten 14 / 1.2.2 Fusion und Kontraktion 15 / 1.2.3 Brücken und Artikulationen 16 / 1.2.4 Operationen mit Graphen 16 / 1.3 Spezielle Graphen 17 / 1.3.1 Der vollständige Graph 18 / 1.3.2 Weg und Kreis 19 / 1.3.3 Bäume 19 / 1.3.4 Bipartite Graphen 20 / 1.3.5 Reguläre Graphen 22 / 1.4 Isomorphe Graphen 23 / 1.4.1 Isomorphie 23 / 1.4.2 Gradfolgen 24 // 2 Graphen und Matrizen 27 / 2.1 Die Adjazenzmatrix eines Graphen 27 / 2.1.1 Potenzen der Adjazenzmatrix 28 / 2.1.2 Zerlegbare Matrizen 29 / 2.2 Die Inzidenzmatrix 30 / 2.2.1 Die Gradmatrix 31 / 2.3 Abstände in Graphen 31 / 2.3.1 Radius, Durchmesser und Zentrum 32 / 2.3.2 Die Abstandsmatrix 34 / 2.4 Gerüste 35 / 2.4.1 Die Anzahl der Gerüste 35 / 2.4.2 Die Admittanzmatrix und der Satz von Kirchhoff 37 // 3 Planare Graphen 41 / 3.1 Planare Einbettungen 41 / 3.1.1 Ebene Kurven und Einbettungen 41 / 3.1.2 Flächen eines planaren Graphen 43 / 3.1.3 Einbettungen auf der Kugel 43 / 3.1.4 Kreuzungszahl und Dicke 44 / 3.2 Die Eulersche Polyederformel 45 / 3.2.1 Polyeder 45 / 3.2.2 Die Polyederformel für zusammenhängende Graphen 46 / 3.2.3 Die Polyederformel für nicht zusammenhängende Graphen 48 / 3.3 Anwendungen der Polyederformel 48 / 3.3.1 Nichtplanare Graphen 48 / 3.3.2 Der Satz von Kuratowski 49 / 3.3.3 Maximale Kantenzahl planarer Graphen 51 / 3.3.4 Knotengrade in planaren Graphen 51 / 3.3.5 Platonische Körper 52 / 3.4 Der duale Graph 53 // 4 Unabhängige Knoten- und Kantenmengen 57 / 4.1 Unabhängige Knotenmengen 58 / 4.1.1 Die Unabhängigkeitszahl 58 / 4.1.2 Cliquen 61 / 4.1.3 Die Überdeckungszahl 62 / 4.2 Matchings 63 / 4.2.1 Alternierende Wege - der Satz vonBerge 64 / 4.2.2 Der Satz von König 66 / 4.3 Der Kantengraph 67 / 4.4 Faktoren 69 // 5 Färbungen von Graphen 72 / 5.1 Grundlagen 72 / 5.1.1 Zulässige Färbungen 72 / 5.1.2 Die chromatische Zahl 73 / 5.1.3 Schranken für die chromatische Zahl 74 / 5.2 Färbungen von planaren Graphen 76 / 5.3 Das chromatische Polynom 78 / 5.3.1 Der vollständige Graph 79 / 5.3.2 Der Baum 79 / 5.3.3 Die Dekompositionsgleichung 79 / 5.3.4 Der Kreis 81 / 5.3.5 Chromatisches Polynom und chromatische Zahl 82 / 5.3.6 Partitionen der Knotenmenge 83 / 5.4 Eine Anwendung 84 // 6 Der Zusammenhang von Graphen 89 / 6.1 Der Knotenzusammenhang 89 / 6.2 Der Kantenzusammenhang 92 / 6.2.1 Schnittmengen 92 / 6.2.2 Schnitte 93 / 6.2.3 Die Kantenzusammenhangszahl 94 / 6.2.4 Knotenzusammenhang und Kantenzusammenhang 94 / 6.3 Trennende Knotenmengen 95 / 6.3.1 Anwendung zur Berechnung der Unabhängigkeitszahl 95 / 6.3.2 Ein Berechnungsbeispiel 96 / 6.3.3 Die Berechnung des chromatischen Polynoms 97 / 6.4 Partielle fk-Bäume 99 / 6.4.1 k-Bäume 99 / 6.4.2 Partielle k-Bäume 100 / 6.4.3 Serien-Parallel-Graphen 101 // 7 Bäume 104 / 7.1 Eigenschaften von Bäumen 104 / 7.1.1 Die Anzahl der Bäume 105 / 7.1.2 Der Prüfercode und der Satz von Cayley 106 / 7.1.3 Isomorphieklassen von Bäumen 108 / 7.2 Wurzelbäume 108 / 7.3 Binäre Bäume 111 // 8 Kreise 115 / 8.1 Kreise in Graphen 115 / 8.1.1 Taille und Umfang 116 / 8.1.2 Basiskreise 117 / 8.2 Hamiltonkreise 118 / 8.3 Eulerkreise 121 // 9 Gerichtete Graphen 125 / 9.1 Definitionen und Eigenschaften gerichteter Graphen 125 / 9.1.1 Wege und Erreichbarkeit 126 / 9.1.2 Zusammenhang und starker Zusammenhang 126 / 9.1.3 Orientierungen 127 / 9.1.4 Innen- und Außengrad 128 / 9.1.5 Quellen und Senken 129 / 9.1.6 Vektorräume 130 / 9.1.7 Kozyklen 131 / 9.1.8 Zyklen- und Kozyklenräume 132 / 9.2 Turniere 136 / 9.3 Flüsse in Graphen 139 / Lösungen 144 / Literaturverzeichnis 156 / Symbolverzeichnis 158 / Sachwortverzeichnis 159