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10 von 52
Mathematik sehen und verstehen
Werkzeug des Denkens und Schlüssel zur Welt
VerfasserIn: Haftendorn, Dörte
Verfasserangabe: Dörte Haftendorn
Jahr: 2019
Verlag: Berlin ; Heidelberg, Springer Spektrum
Reihe: Lehrbuch
Mediengruppe: Buch
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 Vorbestellen Zweigstelle: 07., Urban-Loritz-Pl. 2a Standorte: NN.M Haft / College 6a - Naturwissenschaften Status: Verfügbar Frist: Vorbestellungen: 0
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Inhalt
Dieses Buch ist für Sie geschrieben. Sie zeigen Ihre Neugier dadurch, dass Sie es in die Hand genommen und umgedreht oder diesen Text angeklickt haben. Genau für Menschen wie Sie, die wissen wollen, wie es kommt, dass die Mathematik so universell die Phänomene des modernen Alltags durchzieht, ist dieses Buch geschrieben.
In die folgenden Themen werden Sie eingeführt:
Kryptografie und Codierung
Graphentheorie und Knotentheorie
Fraktale, Chaos und Ordnung
Funktionen und Optimierung
Computer für Mathematik und Numerik
Stochastik mit beurteilender Statistik und Markowketten
Geometrie mit Goldenem Schnitt und Kegelschnitten
Selbstverständnis der Mathematik
Das Besondere an diesem Buch: Sie werden in Ihrem Bedürfnis zu verstehen ernst genommen. Sie werden schrittweise und meist durch Bilder an die tragenden Prinzipien herangeführt. Auf der Website zum Buch können Sie Zusammenhänge erkunden. Auf Rechnungen und Umformung von Formeln wird weitestgehend verzichtet, der Devise folgend:
Besser Verstehen ohne zu rechnen als Rechnen ohne zu verstehen.
In der 3. Auflage wurden drei Bereiche ergänzt, die in besonderer Weise Kreativität und Eigentätigkeit ermöglichen. Es sind dies die keltischen Knoten, die Polynome im Affenkasten und das Erkunden von Funktionsquotienten.
Stimmen zum Buch:
"Spannend, lehrreich und verständlich - Mathematik erzählt als Vermessung der Welt."
Dr. Jürgen Neffe, Autor von "Einstein - Eine Biografie", "Darwin - Das Abenteuer des Lebens"
"Nach meiner Einschätzung handelt es sich um eines der besten populären Bücher zur Mathematik, die in den letzten Jahren erschienen sind. Ich empfehle es allen an Mathematik Interessierten, sogar für Studierende dieses Faches dürfte viel Neues darin zu lernen sein." Prof. Dr. Ehrhard Behrends, FU Berlin auf www.mathematik.de
 
 
Aus dem Inhalt:
1 Einleitung 1 / 1.1 Ziel dieses Buches 2 / 1.2 Historisches zur Lehre von Mathematik 2 / 1.3 Vorgehen in diesem Buch 3 / 1.4 Die Kapitel 4 / 1.5 Einige Bemerkungen 8 // 2 Kryptografie 11 / 2.1 Die alte und die neue Kryptografie 12 / 2.1.1 Alphabetische Verschlüsselung 12 / 2.1.2 Verschlüsseln mit dem One-Time-Pad 15 / 2.2 Primzahlen 16 / 2.2.1 Faktorensuchen ist schwer 17 / 2.2.2 Die Menge der Primzahlen 18 / 2.3 Restklassen modulo n 19 / 2.3.1 Vorschau auf die kryptografischen Rechnungen 20 / 2.3.2 Der Modul der Restklassen modulo n 21 / 2.3.3 Allgemeines Rechnen modulo n 22 / 2.3.4 Multiplizieren modulo n 24 / 2.3.5 Potenzieren modulo n 26 / 2.3.6 Inversenbestimmung modulo n 30 / 2.4 Euklidischer Algorithmus und der ggT 31 / 2.4.1 Inversenbestimmung mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus 33 / 2.5 Kryptografische Verfahren 34 / 2.5.1 Diffie-Hellman-Schlüsselvereinbarung 35 / 2.5.2 RSA-Verschlüsselung 37 / 2.5.3 Digitale Signatur 42 / 2.5.4 Zertifizierung der öffentlichen Schlüssel 43 / 2.6 Rückblick auf die moderne Kryptografie 45 // 3 Codierung 47 / 3.1 Europäische Artikelnummer: EAN 47 / 3.1.1 Prüfung der EAN und Berechnung der Prüfziffer 48 / 3.1.2 Aufbau des Strichcodes 50 / 3.2 Buchnummern ISBN-10 und ISBN-13 51 / 3.2.1 Eigenschaften und Prüfung der alten ISBN-10 52 / 3.2.2 Vor- und Nachteile der neuen ISBN-13 53 / 3.3 IBAN, die internationale Bankkontonummer 54 / 3.3.1 Aufbau der IBAN 54 / 3.3.2 Bestimmung der IBAN-Prüfzahl 55 / 3.4 Codierung mit 0 und 1 ist überall 56 / 3.4.1 Fehlerkorrigierende Codes 57 / 3.5 QR-Code, das gescheckte Quadrat 60 / 3.5.1 Aufbau des QR-Codes 60 / 3.5.2 Für Sie erfunden: Zwerg-QR-Code 61 / 3.6 Rückblick auf die Codierung 63 // 4 Graphentheorie und Knotentheorie 65 / 4.1 Allerlei Graphen 65 / 4.1.1 Euler, Königsberg und Graphen 66 / 4.1.2 Beschreibung von Graphen 70 / 4.2 Aufspannende Bäume 72 / 4.2.1 Minimale Spannbäume 73 / 4.2.2 Spannbäume in ungewichteten Graphen 74 / 4.3 Kürzeste Wege 76 / 4.3.1 Kürzeste Wege in gewichteten Graphen 77 / 4.3.2 Dijkstra-Algorithmus 78 / 4.4 Färbungen 81 / 4.4.1 Konfliktgraphen 81 / 4.4.2 Landkartenfärbung 83 / 4.5 Knotentheorie 84 / 4.5.1 Definitionen der Knotentheorie 85 / 4.5.2 Aufgabe der Knotentheorie 87 / 4.5.3 Primknoten strukturieren die Knotentheorie 88 / 4.5.4 Dreifärbbarkeit als Knoteninvariante 89 / 4.5.5 Die p-Etikettierbarkeit als Knoteninvariante 92 / 4.5.6 Das Alexander-Polynom als Knoteninvariante 95 / 4.5.7 Verschlingungen und Zöpfe 97 / 4.6 Keltische Knoten 99 / 4.6.1 Erkunden keltischer Knoten 99 / 4.6.2 Erfinden keltischer Knoten 101 / 4.6.3 Ornamente mit keltischen Knoten 103 / 4.7 Graphen- und Knotentheorie: Rückblick und Ausblick 105 // 5 Fraktale, Chaos, Ordnung 107 / 5.1 Idee von Rekursion und Iteration 109 / 5.1.1 Spinnwebdarstellung rekursiver Folgen 110 / 5.1.2 Wachstumsvorgänge 112 / 5.1.3 Feigenbaumdiagramm 114 / 5.2 Fraktale und Dimension 117 / 5.2.1 Wegfraktale, Lindenmayer-Systeme 117 / 5.2.2 Selbstähnlichkeit und Dimension 121 / 5.2.3 Iterierte-Funktionen-Systeme (IFS) 123 / 5.3 Mandelbrot- und Julia-Mengen 128 / 5.3.1 Das echte Apfelmännchen 128 / 5.3.2 Julia-Mengen 133 / 5.4 Muster der Natur 136 / 5.4.1 Zelluläre Automaten 136 / 5.4.2 Spiralen mit goldenem Winkel 139 / 5.4.3 Spiralen mit Fibonacci-Zahlen 142 / 6 Welt der Funktionen 145 // 6.1 Funktionenfamilien 148 / 6.1.1 Parabeln und elementare Variationen 148 / 6.1.2 Geraden und Potenzfunktionen 155 / 6.1.3 Polynome in ihrer Vielfalt 158 / 6.1.4 Sinus, Kosinus und Musik 171 / 6.1.5 Exponentialfunktionen 176 / 6.1.6 Umkehrfunktionen 177 / 6.2 Funktionenbauhof 180 / 6.2.1 Summe von Funktionen 181 / 6.2.2 Produkt von Funktionen 182 / 6.2.3 Verkettung von Funktionen 183 / 6.2.4 Kehrwertbildung von Funktionen 185 / 6.2.5 Quotienten von Funktionen 186 / 6.2.6 Quotienten von Polynomen 188 / 6.3 Blick auf den Punkt: Ableitung 192 / 6.3.1 Ableitungsfunktion 194 / 6.3.2 Die e-Funktion, das Geheimnis wird gelüftet 198 / 6.4 Blick auf das Ganze: das Integral 200 / 6.4.1 Definition des Integrals 203 / 6.4.2 Weitere Anwendungen des Integrals 205 / 6.5 Großartiger Zusammenhang 207 / 6.5.1 Teppich abrollen mit der Integralfunktion 208 / 6.6 Funktionen in höheren Räumen 212 / 6.6.1 Funktionen im 3D-Raum 212 / 6.6.2 Mathematische 3D-Lösungen im Bauwesen 216 / 6.6.3 Noch höher hinaus 218 // 7 Optimierung als Ziel 221 / 7.1 Extremwertaufgaben 221 / 7.2 Gewinnoptimierung 224 / 7.3 Lineare Optimierung 224 / 7.4 Minimalflächen 226 / 7.5 Methode der kleinsten Quadrate 228 / 7.6 Optimierung ist überall 230 // 8 Computer und Mathematik 231 / 8.1 Binärsystem 232 / 8.1.1 Zahlenhellseher 234 / 8.1.2 Plus und Mal mit Binärzahlen 235 / 8.1.3 Subtraktion mit Trick 235 / 8.1.4 Binäre Kommazahlen 236 / 8.2 Zahldarstellung im Computer 237 / 8.2.1 Experimente mit Kommazahlen in Computern 238 / 8.2.2 Maschinengenauigkeit 239 / 8.2.3 Binäre Gleitkommazahlen in Computern 240 / 8.3 Numerisch arbeitende Werkzeuge 241 / 8.3.1 Software für numerische Aufgaben 242 / 8.3.2 Numerik ist überall 242 / 8.3.3 Tabellenkalkulationen 242 / 8.4 Dynamische Mathematik 243 / 8.4.1 Dynamische-Geometrie-Systeme (DGS) 244 / 8.4.2 Dynamische-3D-Geometrie 245 / 8.4.3 Vom Taschenrechner zum Handheld-Computer 246 / 8.5 Computer-Algebra-Systeme (CAS) 247 / 8.5.1 Die Mächtigkeit der CAS 249 / 8.5.2 Computer in nicht-numerischen Anwendungen 249 / 8.6 Berechenbarkeit 250 / 8.6.1 Berechenbar, aber nicht effektiv berechenbar 251 / 8.6.2 Komplexität von Programmen 251 / 8.6.3 Die Klasse der NP-vollständigen Probleme 252 / 8.6.4 Nutzen der Computerbeschränkungen 254 / 8.7 Computer in unserer Welt 254 // 9 Numerik 255 / 9.1 Numerische Verfahren der Analysis 255 / 9.1.1 Heron-Verfahren für Wurzeln 255 / 9.1.2 Nullstellensuche 257 / 9.1.3 Numerische Integration 260 / 9.2 Für alle Fälle: Polynome 264 / 9.2.1 Ein Taylor schneidert Polynomkleider, die fast passen 264 / 9.2.2 Zwischenwerte: Interpolation mit Polynomen 266 / 9.2.3 Splines: damit es in der richtigen Weise krumm wird 267 / 9.2.4 Bézier-Splines: frei gestaltete Formen 268 / 9.3 Fourier-Reihen 270 / 9.3.1 Klangfarben 271 / 9.3.2 Aufstellen der Fourier-Reihe für periodische Funktionen 272 / 9.4 Differenzialgleichungen 274 / 9.5 Ohne Numerik geht es nicht 275 // 10 Stochastik 277 / 10.1 Beschreibende Statistik 277 / 10.1.1 Fehler in der beschreibenden Statistik 277 / 10.1.2 Regression 279 / 10.2 Wahrscheinlichkeitstheorie 279 / 10.2.1 Der Wahrscheinlichkeitsbegriff 279 / 10.2.2 Axiome von Kolmogorow 282 / 10.2.3 Mehrstufige Zufallsversuche 284 / 10.2.4 Simulation der Gleichverteilung 286 / 10.3 Zufallsgröße, Erwartungswert und Verteilung 287 / 10.3.1 Krüge für den Handwerkermarkt 287 / 10.3.2 Kombinatorik 289 / 10.4 Verteilungen 292 / 10.4.1 Binomialverteilung 292 / 10.4.2 Simulation von Bernoulli-Ketten 297 / 10.4.3 Simulation der Binomialverteilung und Beispiele 299 / 10.4.4 Kumulierte Verteilungsfunktionen 301 / 10.4.5 Normalverteilung 302 / 10.5 Beurteilende Statistik 309 / 10.6 Beurteilende Statistik: Schätzen 310 / 10.6.1 Intervallschätzung im binomialen Fall 310 / 10.6.2 Intervallschätzung im normalverteilten Fall 312 / 10.7 Beurteilende Statistik: Testen 312 / 10.7.1 Hypothesentest im binomialen Fall 313 / 10.7.2 Allgemeine Vorgehensweise beim Signifikanztest 316 / 10.7.3 Deutung der Unsicherheit beim Signifikanztest 319 / 10.7.4 Hypothesentest mit den z-sigma-Grenzen 319 / 10.7.5 Trennschärfe eines Tests 320 / 10.7.6 Hypothesentest bei Messreihen 321 / 10.8 Stochastische Prozesse 322 / 10.8.1 Markow-Ketten 322 / 10.8.2 Warteschlangen 328 / 10.9 Stochastik im Rückblick 334 // 11 Geometrie 335 / 11.1 Der goldene Schnitt 336 / 11.1.1 Interaktive Erkundung des goldenen Schnittes 339 / 11.2 Die Kegelschnitte 341 / 11.2.1 Namensgeheimnis der Kegelschnitte 342 / 11.3 Reflexion bei Parabeln 345 / 11.3.1 Konstruktion der Reflexion 346 / 11.3.2 Anwendungen der Parabelreflexion 346 / 11.3.3 Die Parabel und ihre Leitgerade 347 / 11.4 Reflexion bei Ellipsen und Hyperbeln 349 / 11.4.1 Anwendungen der Ellipsenreflexion 350 / 11.4.2 Ellipse, Hyperbel und ihr gemeinsamer Leitkreis 351 / 11.4.3 Fadenkonstruktionen von Ellipse und Hyperbel 353 / 11.5 Kaustiken und Katakaustiken 354 / 11.6 Geometrie im Rückblick 355 // 12 Selbstverständnis der Mathematik 357 / 12.1 Mathematiker und Mathematikerinnen 357 / 12.2 Algebra und Zahlaufbau 359 / 12.2.1 Natürliche und ganze Zahlen 359 / 12.2.2 Rationale und reelle Zahlen 360 / 12.2.3 Komplexe Zahlen 361 / 12.3 Mathematische Schönheit 363 / 12.4 Beweisen 365 / 12.4.1 Ein Beweis in der Geometrie 365 / 12.4.2 Ein Beweis in der Analysis 367 / 12.5 Die unlösbaren Probleme der Antike 370 / 12.6 Fazit 372 // 13 Lösungen 373 / Literaturverzeichnis 383 / Sachverzeichnis 396
Details
VerfasserIn: Haftendorn, Dörte
VerfasserInnenangabe: Dörte Haftendorn
Jahr: 2019
Verlag: Berlin ; Heidelberg, Springer Spektrum
Systematik: NN.M
ISBN: 978-3-662-58136-0
2. ISBN: 3-662-58136-1
Beschreibung: 3. Auflage, XII, 406 Seiten, Illustrationen, Diagramme
Reihe: Lehrbuch
Fußnote: Literaturverzeichnis: Seite [383]-394. -
Mediengruppe: Buch