Mathematiklehrbuch für den Einsatz an Technikerschulen für Unterricht und Selbststudium. Mit Aufgaben und Lösungen.
Das Buch ist in erster Linie für Studierende an Technikerschulen gedacht. Darüber hinaus bietet es jedem mathematisch interessierten Leser die Möglichkeit, sich in den angebotenen Stoff einzuarbeiten und seine mathematischen Kenntnisse aufzufrischen.
Sein Inhalt orientiert sich an den Lehrplänen vieler Bundesländer und enthält zusätzlich weiterführende Abschnitte.
Durch die Art der Stoffdarbietung eignet sich das Buch sowohl für den Gebrauch im Unterricht als auch zum Selbststudium.
In der Neubearbeitung wurden alle enthaltenen Themen überarbeitet und inhaltlich zum Teil neu strukturiert. Weiterhin sind zwei neue Kapitel hinzugefügt worden; die Inhalte zu Komplexen Zahlen wurden gebündelt und das Kapitel zur Vektorrechnung ist neu entstanden.
Zahlreiche Beispiele und Übungsaufgaben mit Lösungen dienen der Festigung des Lehrstoffes. Mithilfe von Kontrollfragen am Ende jedes Abschnitts kann das erworbene Wissen überprüft werden.
Einige Autoren sind inzwischen im Ruhestand, deshalb haben Dr. Horst Bach und die Bearbeiter (Elke Katz, Annette Thon, Dr. Manfred Bannach, Ingo Mees) die einzelnen Kapitel übernommen. Alle unterrichten an Technikerschulen in Leipzig, Mühlhausen, Halle und Berlin.
/ AUS DEM INHALT: / / /
1 Rechenoperationen 13
1.1 Grundbegriffe der Mengenlehre und Logik 13
1.1.0 Vorbemerkung 13
1.1.1 Begriff der Menge 13
1.1.2 Relationen zwischen Mengen 16
1.1.3 Operationen mit Mengen 19
1.2 Zahlenbereiche 23
1.2.0 Vorbemerkung 23
1.2.1 Bereich der reellen Zahlen und seine Teilbereiche 23
1.2.2 Zahlensysteme 25
1.2.3 Intervalle, Absoluter Betrag, Runden von Zahlen 27
1.3 Rechenoperationen erster und zweiter Stufe 32
1.3.0 Vorbemerkung 32
1.3.1 Grundbegriffe 32
1.3.2 Rechenoperationen mit Zahlen 34
1.3.3 Algebraische Summen 35
1.3.4 Bruchrechnung 39
1.3.5 Proportionen 44
1.3.6 Summenzeichen 49
1.4 Rechenoperationen dritter Stufe 51
1.4.0 Vorbemerkung 51
1.4.1 Rechnen mit Potenzen und Wurzeln 51
1.4.2 Rechnen mit Logarithmen 61
1.4.3 Potenz eines Binoms 68
1.5 Aufgaben 71
1.6 Lösungen 80
2 Gleichungen und Ungleichungen 86
2.1 Gleichungen mit einer Variablen 86
2.1.0 Vorbemerkung 86
2.1.1 Grundbegriffe 86
2.1.2 Lösen von algebraischen Gleichungen 90
2.1.3 Lösen von transzendenten Gleichungen 99
2.1.4 Lösen von Gleichungen durch Näherungsverfahren 104
2.2 Ungleichungen 110
2.2.0 Vorbemerkung 110
2.2.1 Grundbegriffe 110
2.2.2 Einfache Typen linearer Ungleichungen 111
2.3 Lineare Gleichungssysteme 113
2.3.0 Vorbemerkung 113
2.3.1 Herkömmliche Lösungsverfahren 114
2.3.2 Lösbarkeitsbetrachtungen 117
2.3.3 Gaußscher Algorithmus 120
2.3.4 Determinantenverfahren 125
2.4 Aufgaben 131
2.5 Lösungen 138
3 Geometrie 143
3.1 Planimetrie 143
3.1.0 Vorbemerkung 143
3.1.1 Grundbegriffe 143
3.1.2 Winkel an sich schneidenden Geraden 146
3.1.3 Bewegungen in der Ebene, Kongruenz, Symmetrie 147
3.1.4 Grundkonstruktionen 151
3.1.5 Ähnlichkeit 154
3.1.6 Allgemeines Dreieck 156
3.1.7 Rechtwinkliges, gleichschenkliges und gleichseitiges Dreieck 163
3.1.8 Viereck 166
3.1.9 Regelmäßiges n-Eck 168
3.1.10 Kreis 170
3.1.11 Flächeninhalte 174
3.2 Stereometrie 180
3.2.0 Vorbemerkung 180
3.2.1 Quader 181
3.2.2 Prisma und Pyramide 183
3.2.3 Prismatoid 188
3.2.4 Zylinder und Kegel 190
3.2.5 Cavalierisches Prinzip 195
3.2.6 Kugel und Kugelteile 195
3.3 Aufgaben 200
3.4 Lösungen 208
4 Trigonometrie 215
4.1 Goniometrie 215
4.1.0 Vorbemerkung 215
4.1.1 Winkelmessung 215
4.1.2 Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck 216
4.1.3 Winkelfunktionen für beliebige Winkel 222
4.1.4 Quadrantenrelationen 225
4.1.5 Zusammenhang zwischen den Funktionswerten eines Winkels ..231
4.1.6 Additionstheoreme 233
4.2 Dreiecksberechnung 237
4.2.1 Allgemeines 237
4.2.2 Sinus-und Kosinussatz 238
4.2.3 Grundaufgaben der Dreiecksberechnung 244
4.2.4 Weitere Anwendungen 246
4.3 Aufgaben 252
4.4 Lösungen 258
5 Funktionen 263
5.0 Vorbemerkung 263
5.1 Der Funktionsbegriff 263
5.1.1 Die Definition einer Funktion 263
5.1.2 Darstellungsformen von Funktionen 264
5.1.3 Eigenschaften von Funktionen 269
5.1.4 Die Umkehrfunktion 271
5.2 Lineare Funktionen (Geraden) 274
5.2.1 Die analytischen Darstellungsarten linearer Funktionen 274
5.2.2 Die lineare Funktion und ihre Umkehrfunktion 277
5.2.3 Lagebeziehungen zwischen Geraden 279
5.3 Quadratische Funktionen (Parabeln) 283
5.3.1 Die Darstellungsarten quadratischer Funktionen 283
5.3.2 Die Umwandlung zwischen den Darstellungsarten quadratischer Funktionen 288
5.3.3 Die Umkehrfunktion der quadratischen Funktion 291
5.4 Potenz- und Wurzelfunktionen : 293
5.4.1 Potenzfunktionen und ihre Eigenschaften 293
5.4.2 Wurzelfunktionen und ihre Eigenschaften 295
5.5 Ganzrationale Funktionen 296
5.6 Gebrochenrationale Funktionen 300
5.7 Exponential- und Logarithmusfunktionen 303
5.7.1 Exponentialfunktionen und ihre Eigenschaften 303
5.7.2 Logarithmusfunktionen und ihre Eigenschaften 306
5.8 Trigonometrische Funktionen und ihre Umkehrfunktionen 307
5.9 Der Einfluss von Funktionsparametern auf Funktionsgraphen 313
5.10 Bestimmung von Funktionsgleichungen 322
5.11 Aufgaben 326
5.12 Lösungen 333
6 Zahlenfolgen 341
6.0 Vorbemerkung 341
6.1 Grundbegriffe 341
6.2 Arithmetische Folgen 344
6.3 Geometrische Folgen 348
6.4 Anwendungsbeispiele der geometrischen Folge 350
6.5 Grenzwert einer Zahlenfolge 355
6.6 Grenzwert einer Funktion 358
6.6.1 Grenzwert einer Funktion an der Stelle x = a 358
6.6.2 Grenzwert einer Funktion für x -> ±oo 362
6.7 Aufgaben 363
6.8 Lösungen 366
7 Differenzialrechnung 368
7.0 Vorbemerkung 368
7.1 Grundbegriffe 368
7.2 Ableitung der Potenzfunktion 373
7.3 Ableitung einer konstanten Funktion und einer Funktion mit konstantem Faktor 375
7.4 Ableitung einer Summe von Funktionen 375
7.5 Differenzial einer Funktion 376
7.6 Weitere Grundregeln der Differenzialrechnung 380
7.6.1 Ableitung eines Produktes von Funktionen 380
7.6.2 Ableitung eines Quotienten zweier Funktionen 381
7.7 Regeln für die Ableitung weiterer Funktionen 383
7.8 Höhere Ableitungen 385
7.9 Geometrische Interpretation der ersten und zweiten Ableitung 386
7.10 Kurvendiskussion 391
7.11 Extremwertaufgaben 397
7.12 Aufstellen von Funktionsgleichungen mittels der Ableitungen 400
7.13 Aufgaben 403
7.14 Lösungen 406
8 Integralrechnung 412
8.0 Vorbemerkung .' 412
8.1 Unbestimmtes Integral 412
8.2 Bestimmtes Integral 415
8.3 Eigenschaften bestimmter Integrale 420
8.4 Bestimmtes Integral als Grenzwert einer Summenfolge 421
8.5 Flächeninhalte ebener Flächen zwischen einer Kurve und der x-Achse ... 425
8.6 Flächen zwischen zwei Kurven 427
8.7 Integration durch Substitution 430
8.8 Der Rauminhalt von Rotationskörpern 432
8.9 Numerische Integration 435
8.10 Aufgaben 439
8.11 Lösungen 440
9 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung 442
9.0 Vorbemerkung 442
9.1 Zufällige Erscheinungen und Ereignisse 442
9.2 Wahrscheinlichkeitsbegriff 445
9.3 Anzahl von Ergebnissen und Wahrscheinlichkeiten mehrstufiger Zufallsversuche 452
9.4 Simulation von Zufallsversuchen 465
9.5 Aufgaben 470
9.6 Lösungen 472
10 Einführung in die Statistik 474
10.0 Vorbemerkung 474
10.1 Statistische Erhebung, Auswertung und Darstellung von Daten 474
10.2 Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilung 494
10.3 Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung 498
10.4 Binomialverteilte Zufallsgrößen 501
10.5 Anwendungen zur Binomialverteilung 503
10.6 Aufstellen und Testen von Hypothesen 509
10.7 Anwendungsaufgaben 513
10.8 Die Poisson-Verteilung 515
10.9 Die Normalverteilung 518
10.10 Anwendungen der Normalverteilung 523
10.11 Exponentialverteilung 525
10.12 Aufgaben 526
10.13 Lösungen 531
11 Komplexe Zahlen 536
11.0 Vorbemerkung 536
11.1 Die arithmetische Form der komplexen Zahlen 536
11.1.1 Imaginäre und komplexe Zahlen 536
11.1.2 Rechnen mit komplexen Zahlen in der arithmetischen Form 540
11.1.3 Die Darstellung komplexer Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene 543
11.2 Die trigonometrische Form der komplexen Zahlen 545
11.3 Die Exponentialform der komplexen Zahlen 549
11.3.1 Die Multiplikation und die Division komplexer Zahlen in der Exponentialform 549
11.3.2 Das Potenzieren, das Radizieren und das Logarithmieren komplexer Zahlen 551
11.4 Aufgaben 554
11.5 Lösungen 555
12 Vektorrechnung 559
12.0 Vorbemerkung 559
12.1 Punkte und Vektoren im kartesischen Koordinatensystem 559
12.1.1 Punkte im kartesischen Koordinatensystem 559
12.1.2 Vektoren im kartesischen Koordinatensystem 560
12.2 Rechnen mit Vektoren 564
12.2.1 Addition und Subtraktion von Vektoren 564
12.2.2 Die Multiplikation von Vektoren mit reellen Zahlen 567
12.2.3 Das Skalarprodukt 569
12.2.4 Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) 575
12.3 Die vektorielle Beschreibung von Geraden 578
12.3.1 Die Vektorgleichung einer Geraden 578
12.3.2 Die Lagebeziehungen zwischen Geraden 580
12.4 Die vektorielle Beschreibung von Ebenen 583
12.4.1 Die Vektorgleichung einer Ebene 583
12.4.2 Die Lagebeziehungen zwischen einer Ebene und einer Geraden.. 587
12.4.3 Die Lagebeziehung zwischen Ebenen 589
12.4.4 Der Normalenvektor einer Ebene 593
12.5 Aufgaben 597
12.6 Lösungen 604
Sachwortverzeichnis 608