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Vorbestellen	Zweigstelle: 07., Urban-Loritz-Pl. 2a	Standorte: NN.ET Laug Riemann / College 6a - Naturwissenschaften	Status: Verfügbar	Frist:	Vorbestellungen: 0

Das Riemannsche Integral lernen schon die Schüler kennen, die Theorien der reellen und der komplexen Funktionen bauen auf wichtigen Begriffsbildungen und Sätzen Riemanns auf, die Riemannsche Geometrie ist für Einsteins Gravitationstheorie und ihre Erweiterungen unentbehrlich, und in der Zahlentheorie ist die berühmte Riemannsche Vermutung noch immer offen. Riemann und sein um fünf Jahre jüngerer Freund Richard Dedekind sahen sich als Schüler von Gauss und Dirichlet. Um die Mitte des 19. Jahrhunderts leiteten sie den Übergang zur "modernen Mathematik" ein, der eine in Analysis und Geometrie, der andere in der Algebra mit der Hinwendung zu Mengen und Strukturen. Dieses Buch ist der erste Versuch, Riemanns wissenschaftliches Werk unter einem einheitlichen Gesichtspunkt zusammenzufassend darzustellen. Riemann gilt als einer der Philosophen unter den Mathematikern. Er stellte das Denken in Begriffen neben die zuvor vorherrschende algorithmische Auffassung von der Mathematik, welche die Gegenstände der Untersuchung, in Formeln und Figuren, in Termumformungen und regelhaften Konstruktionen als die allein legitimen Methoden sah. David Hilbert hat als Riemanns Grundsatz herausgestellt, die Beweise nicht durch Rechnung, sondern lediglich durch Gedanken zu zwingen. Hermann Weyl sah als das Prinzip Riemanns in Mathematik und Physik, "die Welt als das erkenntnistheoretische Motiv..., die Welt aus ihrem Verhalten im unendlich kleinen zu verstehen." (www.amazon.de)

 

 

Aus dem Inhalt:

Hinweise für den Leser Vorwort Einleitung BERNHARD RIEMANN in seiner Zeit Zum Verlauf des Lebens und zur Entwicklung der Persönlichkeit Zur politischen und wirtschaftlichen Situation Erziehung und Bildung Zu RIEMANNS Heimat Göttingen und Berlin als Studienorte Professor Ordinarius 1859-1866 Die Goldenen Fünfziger Jahre in Göttingen: von GAUSS und DIRICHLET ZU RIEMANN und DEDEKIND RIEMANN und DEDEKIND: Persönliche Umstände Hin zum Wandel in der Mathematik Momentaufnahmen eines englischen Beobachters Wirkungen in den letzten Jahren: RIEMANN zwischen Deutschland und Italien Konkurrierende Auffassungen der Analyis vor RIEMANN RIEMANN in der historischen Entwicklung der Analysis: Ein Überblick Algebraische Analysis Die Infinitesimalanalysis Geometrische Überlegungen: FOURIER Die Grenzwertauffassung: NEWTON Hin zur Epsilontik: CAUCHY und DIRICHLET Komplexe Analysis Die Genese der komplexen Analysis bis zur Zeit RIEMANNS Vorbemerkungen Die komplexen Zahlen Komplexe Funktionen und ihre Ableitungen Integration BERNHARD RIEMANN 1.1.5 Potenzreihen 87 1.1.6 Weitere Anwendungen 95 1.1.7 Mehrwertige Funktionen und RIEMANN sehe Flächen 98 1.1.8 Doppeltperiodische Funktionen 102 1.2 Die Dissertation von 1851 107 1.2.1 RIEMANNS Sicht von den Motiven für die Arbeit: Der Artikel 20 der Dissertation, Teil 1 107 1.2.2 Der Inhalt der Dissertation, eine Kurzfassung 108 1.2.3 RIEMANNS Zusammenfassung der Dissertation und das Programm: Artikel 20, zweiter Teil und Artikel 22 110 1.2.4 Zur Vorgeschichte der Dissertation 114 1.2.5 Die Wirkung der Dissertation 124 1.3 Die Ausgestaltungen 130 1.3.1 Gewöhnliche Differentialgleichungen 130 1.3.2 Die Entstehung der Topologie aus der Analysis 136 1.3.3 Das AßELsche Theorem 138 1.3.4 Die algebraischen Kurven 145 1.3.5 Minimalflächen 147 1.3.6 Studenten bei RIEMANN und ihre Notizen zur Funktionentheorie 149 1.3.7 Spätere Einschätzungen 152 1.3.8 DEDEKIND und die Algebraisierung der Funktionentheorie 156 1.4 Die Zetafunktion und die Primzahlverteilung 164 1.4.1 Vorbemerkungen 164 1.4.2 Ein Zugang 165 1.4.3 Die Funktionalgleichung 171 1.4.4 RIEMANNS explizite Formel für die Primzahlfunktion 175 1.4.5 Die Nullstellen und die RiEMANNsche Vermutung 177 1.4.6 Der Nachlass 179 1.4.7 Die Einschätzungen 180 2 Reelle Analysis 183 2.1 Grundlagen der reellen Analysis 183 2.1.1 Der Integralbegriff 183 2.1.2 Die «Strenge» in der Analysis 187 2.1.3 Der neue Status der Einzelfälle: Beispiele und Gegenbeispiele 189 2.2 Trigonometrische Reihen vor RIEMANN 192 2.2.1 Vorbemerkungen 192 2.2.2 Von EULER bis FOURIER 194 2.2.3 Zur Entwicklung der Funktionsauffassungen 198 2.2.4 Von FOURIER ZU DIRICHLET 200 Inhaltsverzeichnis 7 2.3 RIEMANNS Ergebnisse 206 2.3.1 Anwendung des Integralbegriffs auf die FouRiER-Koeffizienten 206 2.3.2 RIEMANNS assoziierte Funktion F(x) 207 2.4 Trigonometrische Reihen nach RIEMANN 210 2.4.1 Von den trigonometrischen Reihen zur Mengenlehre 210 2.4.2 Zur weiteren Entwicklung der trigonometrischen Reihen: über die Arithmetisierung der Funktionen hin zu ihrer Verselbständigung in der Funktionalanalysis 212 2.5 Ein Kapitel für sich: GAUSS, RIEMANN und die Göttinger Atmosphäre 214 3 Geometrie, Physik, Philosophie 219 3.1 Geometrie 223 3.1.1 Von EUKLID ZU DESCARTES und zur «nichteuklidischen» Geometrie 223 3.1.2 Die Flächentheorie von GAUSS (1827) 225 3.1.3 Die n-fach ausgedehnte Mannigfaltigkeit 229 3.1.4 Die Massbestimmungen 232 3.1.5 Die Krümmung 234 3.1.6 Wirkungen in Geometrie und Physik in den ersten 50 Jahren nach RIEMANN 236 3.1.7 Die algorithmischen Entwicklungen 239 3.1.8 Der Einfluss von FELIX KLEIN 244 3.1.9 DEDEKIND: Analytische Untersuchungen zu BERNHARD RIEMANNS Abhandlung über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen 250 3.2 Physik 251 3.2.1 Das Interesse an der Physik 251 3.2.2 Physik als Feldtheorie 253 3.2.3 Mathematische Methoden für die Physik 259 3.2.4 RIEMANNS Elektrodynamik aus der Sicht der Physiker 263 3.2.5 Die RiEMANNsche Geometrie in der Physik des 20. Jahrhunderts: EINSTEIN und WEYL 266 3.3 Zur Philosophie 271 3.3.1 Vorbemerkungen 271 3.3.2 Zur geistigen Atmosphäre 1853/54: Der Materialismusstreit 273 3.3.3 Neue mathematische Prinzipien der Naturphilosophie 275 3.3.4 Die Rolle der Philosophie HERBARTS 281 4 Wendepunkte in der Auffassung der Mathematik 285 4.1 Die Suche der Historiker nach Revolutionen in der Mathematik 285 8 BERNHARD RIEMANN 4.2 Der Wendepunkt in der Auffassung des Unendlichen in der Mathematik 288 4.3 Wendepunkt der Methode: Denken statt Rechnen 293 4.4 Der Wendepunkt in der Ontologie: Mathematik als Denken in Begriffen 296 4.4.1 Allgemeine Begriffe und ihre Bestimmungsweisen 296 4.4.2 Der Primat des Kontinuums gegenüber dem Diskretum in RIEMANNS Mathematik 298 4.4.3 RIEMANNS Mannigfaltigkeitsbegriff in der philosophischen Tradition 299 4.4.4 Denken in mathematischen Begriffen vor RIEMANN 301 4.5 Ontologie und Methodologie der Mathematik in der Zeit nach RIEMANN 303 4.5.1 Der Primat der Zahl bei DEDEKIND 303 4.5.2 Von der Arithmetisierung zur Axiomatisierung: HILBERT 1897/1899 307 4.5.3 Die Rolle GEORG CANTORS 311 4.5.4 Die Berliner Tradition 314 4.6 Schlussbemerkungen 317 Literaturverzeichnis 329 Namenverzeichnis 335 Abbildungsverzeichnis 345