In dem Band werden Entstehung und Entwicklung der grundlegenden Begriffe der Analysis von der Antike bis heute ausführlich behandelt. Eingebettet sind diese Informationen in die Beschreibung historischer und kultureller Ereignisse, die Lebensläufe bedeutender Mathematiker und der von ihnen entwickelten Teilgebiete der Analysis. Zahlreiche gezeichnete Figuren veranschaulichen Begriffe, Lehrsätze und Methoden. Jedes Kapitel enthält eine Tabelle mit den Daten der wesentlichen Ergebnisse und Ereignisse aus 3000 Jahren Analysis. (Verlagsinformation)
Prof. Dr. Thomas Sonar, Technische Universität Braunschweig
Enth.: Albertus; Averroes; Avicenna; Bernhard Bolzano; Cantor; Cauchy; Cavalieri; Colin Maclaurin; Descartes; Eudoxos Euklids Elementen; Fermat; Galileo Galilei; George Berkeley; Gilles Personne; Gottfried Wilhelm; Harriot Neile; Henry; Huygens; Ibn Rusd; Ibn STnä; Isaac Barrow; Isaac Newton; Jakob Johann Bernoulli; James Gregory; Johannes Kepler; John Napier; John Wallis; Joseph-Louis Lagrange; Joseph Fourier; Leibniz Mainzer Diensten; Leonhard Euler; Mercator; Nelson; Newton Leibniz Giganten; Nicole Oresme; Paul Du Bois; Ren Frangois Walther; Richard Dedekind; Robert Grosseteste; Roberval; Robinson; Roger Bacon; Schriften; Sluse; Taylor; Thomas Bradwardine; Thomas Sonar Jahre Analysis Geschichte; Torricelli
/ AUS DEM INHALT: / / /
1 Prolog: 3000 Jahre Analysis 1
1.1 Was ist Analysis? 3
1.2 Vorläufer von n 4
1.3 Das n der Bibel 7
1.4 Volumen eines Pyramidenstumpfes 8
1.5 Babylonische Näherung an \[2 13
2 Das Kontinuum in der griechisch-hellenistischen Antike 15
2.1 Die Griechen formen die Mathematik 18
2.1.1 Der Beginn: Thaies von Milet und seine Schüler 19
2.1.2 Die Pythagoreer 21
2.1.3 Die Proportionenlehre des Eudoxos in Euklids Elementen 27
2.1.4 Die Methode der Exhaustion - Integration auf griechisch 33
2.1.5 Das Problem der Kontingenzwinkel 37
2.1.6 Die drei großen klassischen Probleme 38
2.2 Kontinuum versus Atome - Infinitesimale versus Indivisible 47
2.2.1 Die Eleaten 48
2.2.2 Atomismus und Kontinuum 49
2.2.3 Indivisible und Infinitesimale 51
2.2.4 Die Zenonschen Paradoxien 54
2.3 Archimedes 59
2.3.1 Leben, Tod und Anekdoten 59
2.3.2 Das Schicksal der archimedischen Schriften 67
2.3.3 Die Methodenschrift: Zugang hinsichtlich der mechanischen Sätze 71
2.3.4 Die Quadratur der Parabel durch Exhaustion 76
2.3.5 Über Spiralen 80
2.3.6 Archimedes fängt n 84
2.4 Die Beiträge der Römer zur Analysis 86
2.5 Aufgaben zu Kapitel 2 89
3 Wie Wissen wanderte - Vom Orient zum Okzident 91
3.1 Der Niedergang der Mathematik und die Rettung durch die Araber 93
3.2 Die Beiträge der Araber zur Analysis 98
3.2.1 Avicenna (Ibn Sïnâ): Universalgelehrter im Orient 98
3.2.2 Alhazen (Al-Haitam): Physiker und Mathematiker 99
3.2.3 Averroës (Ibn Rusd): Aristoteliker im Islam 106
3.3 Aufgaben zu Kapitel 3 108
4 Kontinuum und Atomistik in der Scholastik 109
4.1 Der Wiederbeginn in Europa 111
4.2 Die große Zeit der Übersetzer 120
4.3 Das Kontinuum in der Scholastik 127
4.3.1 Robert Grosseteste 130
4.3.2 Roger Bacon 131
4.3.3 Albertus Magnus 133
4.3.4 Thomas Bradwardine 136
4.3.5 Nicole Oresme 142
4.4 Scholastische "Abweichler" 148
4.5 Nicolaus von Kues 150
4.5.1 Die mathematischen Werke 152
4.6 Aufgaben zu Kapitel 4 156
5 Indivisible und Infinitesimale in der Renaissance 157
5.1 Renaissance: Die Wiedergeburt der Antike 159
5.2 Die Schwerpunktrechner 162
5.3 Johannes Kepler 170
5.3.1 Neue Stereometrie der Fässer 190
5.4 Galileo Galilei 195
5.4.1 Der Umgang Galileis mit dem Unendlichen 203
5.5 Cavalieri, Guldin, Torricelli und die hohe Kunst der Indivisiblen 208
5.5.1 Die Indivisiblenrechnung nach Cavalieri 212
5.5.2 Die Kritik durch Guldin 220
5.5.3 Die Kritik durch Galilei 221
5.5.4 Torricellis scheinbares Paradoxon 222
5.5.5 De Saint-Vincent und die Fläche unter der Hyperbel 224
5.6 Aufgaben zu Kapitel 5 233
6 An der Wende vom 16. zum 17. Jahrhundert 235
6.1 Analysis vor Leibniz in Frankreich 237
6.1.1 Frankreich an der Wende vom 16. zum 17. Jahrhundert 237
6.1.2 René Descartes 240
6.1.3 Pierre de Fermât 250
6.1.4 Blaise Pascal 260
6.1.5 Gilles Personne de Roberval 273
6.2 Analysis vor Leibniz in den Niederlanden 279
6.2.1 Frans van Schooten jr 281
6.2.2 René François Walther de Sluse 281
6.2.3 Johann van Waveren Hudde 283
6.2.4 Christiaan Huygens 286
6.3 Analysis vor Newton in England 289
6.3.1 Die Entdeckung der Logarithmen 289
6.3.2 England an der Wende vom 16. zum 17. Jahrhundert . 290
6.3.3 John Napier und die Napierschen Logarithmen 294
6.3.4 Henry Briggs und seine Logarithmen 301
6.3.5 England im 17. Jahrhundert 312
6.3.6 John Wallis und die Arithmetik des Unendlichen 315
6.3.7 Isaac Barrow und die Liebe zur Geometrie 325
6.3.8 Die Entdeckung der Reihendarstellung des Logarithmus durch Nicolaus Mercator 332
6.3.9 Die ersten Rektifizierungen: Harriot und Neile 337
6.3.10 James Gregory 346
6.4 Analysis in Indien 347
6.5 Aufgaben zu Kapitel 6 351
7 Newton und Leibniz - Giganten und Widersacher 353
7.1 Isaac Newton 355
7.1.1 Kindheit und Jugend 355
7.1.2 Der Student in Cambridge 358
7.1.3 Der Lucasische Professor 366
7.1.4 Alchemie, Religion und die große Krise 370
7.1.5 Newton als Präsident der Royal Society 375
7.1.6 Das Binomialtheorem 377
7.1.7 Die Fluxionsrechnung 378
7.1.8 Der Hauptsatz 381
7.1.9 Kettenregel und Substitutionen , 383
7.1.10 Das Rechnen mit Reihen 383
7.1.11 Integration durch Substitution 385
7.1.12 Newtons letzte Arbeiten zur Analysis 387
7.1.13 Differentialgleichungen bei Newton 387
7.2 Gottfried Wilhelm Leibniz 389
7.2.1 Kindheit, Jugend und Studium 389
7.2.2 Leibniz in Mainzer Diensten 392
7.2.3 Leibniz in Hannover 395
7.2.4 Der Prioritätsstreit 401
7.2.5 Erste Erfolge mit Differenzenfolgen 405
7.2.6 Die Leibnizsche Notation 407
7.2.7 Das charakteristische Dreieck 411
7.2.8 Die unendlich kleinen Größen 414
7.2.9 Das Transmutationstheorem 418
7.2.10 Das Kontinuitätsprinzip 421
7.2.11 Differentialgleichungen bei Leibniz . 423
7.3 Erste Kritik: George Berkeley 424
7.4 Aufgaben zu Kapitel 7 427
8 Absolutismus, Aufklärung, Aufbruch zu neuen Ufern 429
8.1 Historische Einführung 431
8.2 Jakob und Johann Bernoulli 439
8.2.1 Die Variationsrechnung 444
8.3 Leonhard Euler 448
8.3.1 Der Funktionsbegriff bei Euler 460
8.3.2 Das unendlich Kleine bei Euler 462
8.3.3 Die trigonometrischen Funktionen 465
8.4 Brook Taylor 467
8.4.1 Die Taylor-Reihe 469
8.4.2 Bemerkungen zur Differenzenrechnung 470
8.5 Colin Maclaurin 471
8.6 Die Algebraisierung beginnt: Joseph-Louis Lagrange 471
8.6.1 Lagranges algebraische Analysis 472
8.7 Fourier Reihen und mehrdimensionale Analysis 475
8.7.1 Joseph Fourier 475
8.7.2 Frühe Diskussionen um die Schwingungsgleichung 477
8.7.3 Partielle Differentialgleichungen und mehrdimensionale Analysis 478
8.7.4 Eine Vorausschau: Die Bedeutung der Fourier-Reihen für die Analysis 479
8.8 Aufgaben zu Kapitel 8 484
9 Auf dem Weg zu begrifflicher Strenge im 19. Jahrhundert 485
9.1 Vom Wiener Kongress zum Deutschen Kaiserreich 489
9.2 Die Entwicklungslinien der Analysis im 19. Jahrhundert 497
9.3 Bernhard Bolzano und die Paradoxien des Unendlichen 497
9.3.1 Bolzanos Beiträge zur Analysis 500
9.4 Die Arithmetisierung der Analysis: Cauchy 503
9.4.1 Grenzwert und Stetigkeit 508
9.4.2 Die Konvergenz von Folgen und Reihen 509
9.4.3 Ableitung und Integral 512
9.5 Die Entwicklung des Integralbegriffs 514
9.6 Die finale Arithmetisierung der Analysis: Weierstraß 521
9.6.1 Die reellen Zahlen 524
9.6.2 Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Konvergenz 525
9.6.3 Gleichmäßigkeit 527
9.7 Richard Dedekind und seine Wegbegleiter 529
9.7.1 Die Dedekindschen Schnitte 536
9.8 Aufgaben zu Kapitel 9 542
10 An der Wende zum 20. Jahrhundert: Mengenlehre und die Suche nach dem wahren Kontinuum 543
10.1 Von der Gründung des Deutschen Kaiserreiches zu den Weltkatastrophen 546
10.2 Der heilige Georg erlegt den Drachen: Cantor und die Mengenlehre 551
10.2.1 Cantors Konstruktion der reellen Zahlen 561
10.2.2 Cantor und Dedekind 562
10.2.3 Die transfiniten Zahlen 570
10.2.4 Die Rezeption der Mengenlehre 573
10.2.5 Cantor und das unendlich Kleine 574
10.3 Auf der Suche nach dem wahren Kontinuum: Paul Du Bois-Reymond 575
10.4 Auf der Suche nach dem wahren Kontinuum: Die Intuitionisten 577
10.5 Vektoranalysis 582
10.6 Differentialgeometrie 585
10.7 Gewöhnliche Differentialgleichungen 587
10.8 Partielle Differentialgleichungen 590
10.9 Die Analysis wird noch mächtiger: Funktionalanalysis 592
10.9.1 Grundbegriffe der Funktionalanalysis 592
10.9.2 Ein geschichtlicher Abriss der Funktionalanalysis 596
10.10 Aufgaben zu Kapitel 10 605
11 Ein Kreis schließt sich: Infinitesimale in der Nichtstandardanalysis 607
11.1 Vom Kalten Krieg bis heute 611
11.1.1 Computer und Sputnikschock 613
11.1.2 Der "Kalte Krieg" und sein Ende 615
11.1.3 Bologna-Reform, Krisen, Terrorismus 616
11.2 Die Wiedergeburt der unendlich kleinen Zahlen 618
11.2.1 Die Infinitesimalmathematik im "schwarzen Buch" 620
11.2.2 Die Nichtstandardanalysis von Laugwitz und Schmieden 623
11.3 Robinson und die Nichtstandardanalysis 625
11.4 Nichtstandardanalysis durch Axiomatisierung: Der Ansatz von Nelson 627
11.5 Nichtstandardanalysis und glatte Welten 628
11.6 Aufgaben zu Kapitel 11 634
12 Analysis auf Schritt und Tritt 635
Literatur 647
Abbildungsverzeichnis 663
Personenverzeichnis mit Lebensdaten 683
Sachverzeichnis 693